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初二数学同步辅导教材(第1讲)55928

34.爱学出勤奋,勤奋出天才
——郭沫若
初二数学同步辅导教材(第1讲)
【教学进度】
代数第二册 §8.1 §8.2
【主要内容】
1.因式分解
2.提公因式法
3.运用公式--平方式差公式分解因式
【重点、难点剖析】
一.因式分解
1.定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多因式分解,也叫做把这个多项式分解因式

2.对因式分解应在以下几方面加深理解
(1)多项式的因式分解是对多项式而言,把一个单项式写成几个单项式的积的形式,不属于因式分解
如:-6a3b3=(2a2b).(-3ab2)这个变形就不属于因式分解

(2)将一个多项式局部化成积的形式,亦不属于因式分解
如:ma-mb+c=m(a-b)+c这个变形不属于因式分解

(3)整式乘法和多项式的因式分解是互逆的两个变形,其关系如下:
单项式×单项式
整式乘法- 单项式×多项式
多项式×多项式 多项式的因式分解
(4)因式分解是代数中的一种重要恒等变形,乘法公式在因式分解中有着重要的作用

如:分解因式(1)9a2-4b2 , (2)16x2-8xy+y2
解:(1)9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)
(2)16x2-8xy+y2=(4x-y)2
这里都是利用乘法公式对多项式进行恒等变形,达到因式分解的目的

二.提公因式法
1.公因式:若多项式中各项都含一个公共的因式,则该因式叫做这个多项多的公因式

如何找一个多项式的公因式,方法是:一看系数、二看字母
公因式的系数应取各项系数的最大公约数,字母取相同字母,并且是相同字母的最低次幂
如:多项式9x3y-12x2y2+18x2y3z各项系数的最大公约数是3,各项都会有相同的字母x,y,x的指数最低是2,y的指数最低是1,因此,公因式为3x2y

2.提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号前,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法

提公因式法分解因式的一般步骤是:
(1)找出各项的公因式

(2)写出公因式与另一个多项式的积(这里的另一个多项式是原多项式除以公因式所得的商式)

其中步骤(1)是提公因式法的关键

3.几点提醒
(1)当一个多项式提出公因式以后,括号里再也不能提出式子出来了

(2)提公因式以后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致
如:分解因式4a3-6a2b+2a提公因式2a后,剩下的另一个因式应是2a2-3ab+1

(3)如果多项多的第一项系数是负数时,例如:-12x2y-16xy2,先要提出"-"号,使括号内的第一项的系数是正数,然后再对括号内的多项式进行提公

因式:
-12x2y-16xy2= -(12x2y+16xy2)= -4xy(3x+4y)
(4) 如果多项式的某一项恰巧就是公因式,那么提出公因式后,要在该项的位置上添"1"

(5)如果多项式中项的系数含有分数,那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数

三.运用公式法--平方差公式
1.把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的分法叫做运用公式法

2.运用平方差公式分解因式时,通常先把它们转化为两个单项式的平方差的形式,进而与公式a2-b2=(a+b)(a-b)对照,分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,最终写出分解结果,如:分解因式-16+64a2,原式=64a2-16=(8a)2-42=(8a+4)(8a-4)=16(2a+1)(2a-1)
3.当分解后的多项式中各项系数有公约数时,仍必必须提出,如2中所举例题

例1.下列各式由左边到右边的变形哪些是因式分解,哪些不是?
(1)x2++x=x2(1+)
(2) a2-17=(a+4)(a-4)+1
(3) (a+b)(a-b)=a2-b2
(4)x2y+xy2=xy(x+y)=x2y+xy2
(5) -9+x2=(3+x)(x-3)
解:(1)(2)(3)(4)都不是因式分解;(5)是因式分解
点评:因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式;(1)题虽然也是积的形式,但1+不是整式;(2)题的结果是(a+4)(a-4)+1的和的形式,而不是积的形式;(3)题是整式的乘法,与因式分解运算刚好相反;(4)题分解到半路又做乘法运算回去了;(5)题则以定义去衡量,完全符合

例2.把因式分解
解:原式=
点评:如果多项式中的系数含有分数,那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数,如果多项式的首项的系数是负的,一般要提出"-"号,使括号内的首项系数是正数,同时括号内的其他各项都要变号

例3.把一列各式分解因式
(1)a(a-b)2+(b-a)3
(2) (b+c)x+(c+a)x+(a+b)x
解:(1)原式= a(a-b)2+(b-a)3
=(a-b)2 [a-(a-b)]
=(a-b)2 (a-a+b)
=b(a-b)2
(2) 原式=x(b+c+c+a+a+b)
=x(2a+2b+2c)
=2x(a+b+c)
点评:(1)题首先把(b-a)3改写成-(a-b)3;因式分解后各个因式要进行化简;因式分解的结果,单项式要写在多项式的前面

(2)题提取的公因式后,括号内的因式要进行化简,有公因式的还需提出公因式,每个因式必须分解到不能分解为止

例4.把(b-a)2-2a+2b因式分解
解:原式=(a-b)2-2(a-b)
=(a-b)(a-b-2)
点评:本题进行了两次提取公因式,一次局部,一次整体
以创造条件把多项式因式(a-b)提出,达到因式分解的目的

例5.用简便方法计算33+112+66
解:原式=11(3+11+6)=1120=220
点评:本题对给出的式进行因式分解,以简化计算

例6.

把-16(2a-b)2+9(a-3b)2因式分解
解:原式=[3(a-3b)]2-[4(2a-b)]2
=[3(a-3b)+4(2a-b)][3(a-3b)-4(2a-b)]
=(11a-13b)(-5a-5b)
=-5(a+b)(11a-13b)
点评:平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a,b不仅表示单项式,也可表示多项式,3(a-3b)相当于a, 4(2a-b)相当于b;分解后的结果应化为最简形式,在化简过程中,要正确使用去括号法则和分配律,对于化简后得到的因式,可以分解的应继续分解,如本题中化简后得到的(-5a-5b), 应写成-5(a+b)的形式

例7.把下列各式分解因式
(1) (2)a3(a-b)2-a(a+b)2
解:(1)原式=
=
=
(2)原式=a[a2(a-b)2-(a+b)2]
=a[a(a-b)+(a+b)][a(a-b)-(a+b)]
=a(a2-ab+a+b)(a2-ab-a-b)
点评:(1)本例属于先提取公因式再运用平方差公式分解因式的类型

(2)要特别提醍的是,因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止,这是因式分解的一个基本要求,必须遵守

(3)因式分解的结果中通常不保留中括号
例8.把4x2-9y2-(2x+3y)
解:原式=(4x2-9y2)-(2x+3y)
=(2x+3y)(2x-3y)-(2x+3y)
=(2x+3y)(2x-3y-1)
点评:本题先局部运用平方差公式再整体提取公式,达因式分解目的

例9.证明58-1解被20∽30之间的两个整数整除
思路分析:可能通过用公式法对58-1进行因式分解

解:58-1=(54)2-1=(54+1)(54-1)=(54+1)[(52)2-1]
=(54+1)(52-1)(52+1)
=(54+1)(25-1)(25+1)
=24×26×262
∴ 58-1解被24和26整除
【巩固练习】
1.下列各题中从左边到右边的变形,哪些是因式分解?哪些不是?
(1)x2+2x-3=x(x+2)-3
(2) 6a2b-3ab2=3ab(2a-b)
(3)-2m(m+n)= -2m2-2mn
(4) x2-12x+36=(x-6)2
(5) ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)
2.ab+5ab2-2b2的公因式为 .
3.a2+ab与a2-ab的公因式为 .
4.把-12m3+8m2-4m分解因式为 .
5.分解因式-mx2+m2x+mx= .
6.分解因式 =m(a+b+c)
7.把3a(x-b)-9b(b-x)分解因式= .
8.将-m4+m2n2因式分解的结果是( )
(A)(-m2+mn)(-m2-mn) (B) -m2(m2+n2)
(C) -m2(m+n)(m-n) (D) -m2(n+m)(n-m)
9.将x2(x-y)2-y2(y-x)2因式分解的结果是( )
(A)(x-y)2(x2+y2) (B) (x-y)2(x2-y2)
(C) (x-y)2(x-y)(x+y) (D) (x-y)3(x+y)
10.分解因式48(x+y+z)2-75(x-y-z)2= .
11.把下列各式分解因式
(1)25x4-75x5

(2) -2x2n-4xn

(3) -b(a+b)2+b2(a+b)


(4) (m+n)(n-m)-n(m+n)(m-n)

(5) a(a+b-c)-b(c-a-b)-c(b-c+a)

(6) a2(a+2b)2-9(x+y)2

12.用简便方法计算13.7


13.把x(a-2)n-y(2-a)n分解因式



14.解方程(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0





【参考答案】
1.(1)(3)(5)不是,(2)(4)是;
 

 2.b
3.a
4.-4m(3m2-2m+1)
5.-mx(x-m-1)
6.ma+mb+mc
7.3(x-y)(a+3b)
8.C
9.D
10.3(9x-y-z)(-x+9y+9z);
11.(1) 25x4(1-3x), (2) -2xn(xn+2), (3)-ab(a+b),
(4) (m+n)(n-m)(1+n), (5)(a+b-c)2, (6) (a2+2ab+3x+3y)(a2+2ab-3x-3y),
12.17
13. 当n是偶数时,原式=(a-2)n(x-y), 当n是奇数时,原式=(a-2)n(x+y)
14.x=


??

??

??

??




12


1


34.爱学出勤奋,勤奋出天才
——郭沫若

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