dirac符号,正规乘积

§1.2 坐标、动量表象和粒子数表象

表象(representation )原指客观事物在人类大脑中的映象,量子力学中的“表象”最早由Dirac 引入,用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示,力学量的本征函数即此空间的一组基矢。完备性是基矢成为表象的必要条件,但完备性的证明则因其烦琐和缺乏普适而有力的积分方法而成为历来困扰物理学家的一个难题,这极大地限制了新表象的发现。由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往可以达到事半功倍的效果,而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异常困难。IWOP 技术恰恰提供了构建各种新的表象的有效方法。它赋予基本的坐标、动量表象完备关系以清晰的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式,从而使其成为对于数学家而言“如同2×2=4一样简单的东西”;它也可以简化相干态完备性的证明,其结果与通常的展开相干态为粒子数态(Fock 表象)的方法殊途同归;对于给定的基矢,通过类似的方法也可以容易地检验其完备性或做出合适的推广,导致大量新表象的出现,如多粒子纠缠态表象、相干纠缠态表象等,它们使量子力学理论绚丽多彩。在介绍IWOP 技术之前,我们需要回顾一些必要的基础知识.

令Q 、P 分别为厄米的坐标和动量算符,满足Heisenberg 正则对易关系(h 为普朗克常数)

[] , .Q P i =h (

Q 和P 的本征态分别是q 和p ,则有

(), ''Q q q q q q q q δ==-;

(), ''P p p p p p p p δ==-; (

d

q P i q dq =-h

, d p Q i p dp

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=h , ( Dirac 给出的完备性关系是

1dq q q ∞

-∞

=?

1dp p p ∞

-∞

=?

。 (

Fock 态的引入可以从谐振子哈密顿量的因式分解法(factorization method )加以说明。在因

式分解中引入了升、降算符概念,把谐振子相邻能级和本征态联系起来。假设一维谐振子的

哈密顿量是

22211

22

H P m Q m ω=

+ , ( 用Q 和P 定义湮灭算符a 和产生算符?

a ,?

a 是a 的厄米共轭,即

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a i

?

=+,(

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?

a

?

=-,(则易得

?

, 1

a a

??=

??。(一维谐振子的哈密顿量可改写为

?

1

2

H a a

ω??

=+

?

??

h,(定义粒子数算符?

N a a

=,它的本征态记为n,则有

2

n N n a n

=≥,

n中的最低一个态0为基态,则必然有00

a=。容易证明

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n

n=,(n张成的空间是完备的

1,

n

n n

=

=

∑(而且

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1

a n=-,

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?1

a n n

=+,(基态0的波函数0

q可由下式给出

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000

q a

?

==+

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q

=+,(即

2

0exp

2

m

q c q

ω

??

=-??

??

h

,(其中c是归一化常数,可以由下式定出

2

2210000exp 2m dq q q c

dq q c ω∞

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-∞

-∞

??

==

=-=??????h ( 所以

14

20exp 2m q q m πωω????

=- ???????

h h 。 ( 以下为方便起见,取自然单位()1m ω===h ,则由(,(

?''0'n

q n q a q q dq ∞

=?

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()'''0n

d dq q q q q dq δ∞

-∞??=-- ??

??

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2

2n

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q d q e dq -?=-??。 ( 利用Hermite 多项式表达式

()2

22

2

n

q q n d H q e q e

dq -

??

=- ??

? (

()()()[]

()2

2

/220!2!2!

n

k

n n k

q q n k n d H q e e q dq k n k --=-??=-=

?-??

∑。 ( 则( 式变为

()2

2

q n q n e

H q -=

, (

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由(,可以写出坐标本征态q 的Fock 表象

()22

q n n n q n n q e

H q -∞∞

====∑∑

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221/4exp 022q a π+-+????

=-+-??????

, (

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其中用了Hermite 多项式的母函数公式

()()20

exp 2!n n

n H q t qt t n ∞

==-∑。 ( 类似可以导出

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?

'''00

n

n

n i d

p n dp p a p p p p

dp

∞-?

==-?

?

?

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()

2

2

n p

n

i

e H p

-

-

=,(

于是,动量本征态的Fock表象为

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()

2?

1/42

00

1

!

n

p

n

n n

p n n p e H p

n

π

-

∞∞

-

==

==

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∑∑

2

2

1/4exp0

22

p a

π

+

-+

??

??

=-++

??

??

??

,(

当恢复 , ,

mωh后,q和

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p的表达式应分别是

2

1/4

2

exp0

22

m m a

q q

ωω

π

-+

+

??

??

??

=-+-

??

?

????

??

h h

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2

1/42

1

exp0

22

p a

p

m m

ωπω

-+

+

??

??

??

=-++

??

?

????

??

h h

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,q与p的内积是

()12

2exp

iqp

q pπ-??

?= ?

??

h

h

,(

这恰是Fourier变换的核。

§1.3 有序算符内积分技术

Pierre-Simon Laplace(拉普拉斯)曾说:“认识一个天才的研究方法,对于科学的进步。。。并不比发现本身更少用处”。量子力学的另一位创始人Schrodinger

&&也十分重视理论方法,他曾说:“De Broglie能从一个巨大的理论框架上思考问题,这一点确实比我高明,那是我过去所不知道的。…De Broglie在数学技巧上的处理和我过去的工作差不多,只是稍微正规些,却并不优美,更没有从普遍性上加以说明。”正是这种对普遍性规律的追求,促使Schrodinger

&&在汲取De Broglie科学思想的基础上,去寻找波动方程的数学表达式,从而建立一种更普遍的波动理论。本节介绍如何用正规乘积内的积分方法发展符号法, 以便对天才的Dirac的研究方法有更深刻的了解。

虽然正规乘积起源于量子场论, 并在Louisell的书[5]中有所介绍,我们觉得其有关性质需作进一步阐明。关于玻色算符a和?a的任何多项式函数不失一般性可写为

()(),......,,,...,j

l

k m j

m

f a a a a a a f j k l m +++=∑∑

其中,,,...,j k l m 是正整数或零。利用玻色算符对易关系?,1a a ??=??,总可以将所有的产生

算符?a 都移到所有湮灭算符a 的左边,这时我们称()

?,f a a 已被排列成正规乘积形式,以

::标记[6]。其有关性质是:

()1 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。即::a a a a ++=,又因::a a aa ++=,所以又有::::a a aa ++=

()2 C 数可以自由出入正规乘积记号。

()3 由于性质()1,故可对正规乘积内的C 数进行积分或微分运算,前者要求积分收敛。 ()4 正规乘积内的正规乘积记号可以取消。

()5 正规乘积::W 与正规乘积::V 之和为()::W V +。

()6 正规乘积算符()?:,:f a a 的相干态矩阵元为()()

?':,:','z f a a z f z z z z =.

()7 真空投影算符00的正规乘积展开式是?

:00::a a e -=。

下面我们给出其严格证明,由粒子态的完备性可得

()*'

**0

,'0

1n

n n n n z d n n n n z dz ∞

===?==

??

∑∑

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**?*0

exp 00z a

z d a e dz =?

?= ???

, (

设00=::W (W 待定),则

******0

1exp :::exp :z a

z a z z d d a W e a We dz dz ++==?

??

?== ? ???

??

::::::a a a a e W e W ++

==, (

即,有00=::W ?::a a

e

-=成立。利用这个关系可得

()()()()0

1...11...1n N N N l n n n l n n ∞

=--+=--+∑

()???0:

:!

n

n l a a

l l a a e a a n l ∞

-===-∑ ( 以及

00=()()()()?0

111

1112...!2!3!l

l l l a a N N N N N N l ∞

=-=-+----+∑ ( ()8 厄米共轭操作可以进入::内部进行,即 ()()?

?:...::...:W V W V =

这条也与性质()1密切相关,例如 (

)

::::m

n

n

n

m m a a

a a a a +

+++==。

()9 正规乘积内部以下两个等式成立,它们也来源于性质()1

()()()():

,::,:,:,:,:,:f a a f a a a a

f a a a f a a a +++

+++???=??????=???。 (

对于多模情况,上式可作如下推广

()()

:

,,,,::,,,,:,,i j i j i j i j j i i j

f a a a a f a a a a a a a a ++++++

?????=?????? (

dp p p μ-∞

(*1)

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(ket-bra 型算符)的被积算符函数化成正规乘积内的积分形式,将::内的玻色算符作积分参

数处理,使积分得以实现。当然,在积分过程中和积分后的结果中都含有::记号。如果将最后的结果的算符排成正规乘积形式,就可以将::记号去掉。我们称此技术为正规乘积内的积分技术。

根据上述的对算符函数的积分思想,我们具体处理(*1)式。现将(,并令1m ω===h ,得

22?21exp 22p dp p p dp a a μμμ∞

∞+

-∞??=-++ ?????

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22100exp 2

2p a ??

?--+ ??? , (

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把00::a a e +

-=代入,得

22?21exp 22p dp p p dp a a μμμ∞

+

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-∞

??=-++ ????

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221::exp 2

2a a

p e

a +-???-+ ???, (

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可以看出,在::a a

e

+-的左边是产生算符函数,右边是湮灭算符函数,根据前面的性质,整

个被积的算符函数已经是正规乘积形式,所以可将左边的:移到第一个exp 函数前,将右边的:移到第三个exp 函数后。根据性质()1在::内所有玻色子算符相互对易, 就可以将三个

exp 函数进行指数上的普通加法,这样就实现了算符积分函数的c 数化. 于是(

()()22211:exp :22dp p p dp p a a a a μμμ∞+

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+-∞??+=-+-+- ????, ( 现在a 和?a 在“::”内对易,可被视为普通积分参数,利用性质()3积分得

()221/2

sec :exp tanh sec 1tanh :22a a dp p p h h a a μλλλλ++

-∞

??=-+-+ ???? , (

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其中

e λ

μ=, 2

2sec 1h μ

λμ=+, 221tanh 1μλμ-=+。

进一步要去掉(::,为此,用性质()1,()2和()5导出算符恒等式

?

n

a a n n

n n e e n n e n λλλ∞∞

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====∑∑ ()()??

01:::exp 1:!

n

a a n e a a e e a a n λλ∞

+-=??==-??∑。 ( 则,(

22?1exp tanh exp ln sec exp tanh 222a a dp p p a a h μλλλ+-∞

????????=-+ ? ? ???????????

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()1S μ≡, e λμ= 。 (

这样我们就实现了对符号算符的积分。以上讨论也表明:投影算符具有测量算符的性质,在

这个意义下,所以表象的完备性可以看成是测量的完备性,由此又可以看到波函数表达式

(

)x x ψψ=

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中,左边的意义不如右边的意义深刻,因为x ψ隐含了x x 投影算符对ψ的测量。

因为

(

)1S p p μμ=, (

)1/S p p μμ+=, (

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故知()1S μ为单模压缩算符, 且有如下性质:

1. 么正性。根据()''p p p p δ=-,则

()?11

'''S S

dpdp p

p p p μμμδ∞

-∞

=-?

?

?

111dp p p S S ∞

-∞

=

==?

。 ( 2. 压缩性。利用算符恒等式 [][][]11

,,,,,,...2!3!

A A e Be

B A B A A B A A A B -??????=++++??????, ( 诱导出压缩变换

?

?11cosh sinh S aS a a λλ=+,

?

?11cosh sinh S a S a a λλ+=+, (

这就是著名的Bogolyubov 变换(也称为压缩变换)[7],它被广泛地应用于量子光学、超导理论和原子核理论中。上述讨论表明用Dirac 的动量本征态按前言中的(*1)式构造算符,并用IWOP 技术积分后就给出诱导Bogolyubov 变换的么正算符;即在经典相空间中的尺度变换p p μ→能够映射出量子么正变换111S QS Q μ-=,111/S PS P μ-=。另外,因为

(2

?/2a

,2/2a ,?1/2a a +构成()1,1SU 李代数, 单模压缩算符1S 具有()1,1SU 结构。

看到这式子的对称美,

这些例子都表明了:Dirac 的符号是可以用IWOP 技术积分的, 构造有物理意义的ket-bra 积分式并积分之, 就可以从Dirac 的基本表象出发构造出许多量子力学么正变换,从而定义新的量子力学态矢。

§1.4 量子力学坐标, 动量表象和相干态表象完备式的纯高斯型积分形式

初学量子力学时,坐标和动量表象的完备性常是作为坐标系完备的基本常识(即在全空间找到粒子的几率为1)来理解,给我们留下很少的思考余地,以致很难发掘出它的深层次数理结构;然而用IWOP 技术处理表象的完备性却是“柳暗花明又一村”。如坐标表象现在可以进一步写为

()(){

}

2

2exp 2:dq q q q q a a a a

++

-∞

?=

-+++???

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()()22:exp :122a a a a ++??

++?

?=-=???? , (

Q +

=,则

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()

2

:

:1q Q dq q q ∞

---∞

==??

。 (

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这是一个纯Gauss 积分,这使人想起有关法国数学家Claud -Joseph Liouville (刘维尔)的一个小故事,Liouville 对复变函数,椭圆函数,微分方程,积分方程,代数几何,超越数,数论都作出了贡献,发表了约400篇论文,《纯粹与应用数学》就是他在1836年创办的 (当时我国正处在清道光年间),并担任编辑达40年之久。英国物理学家 ,用了“数学家”这个词,话还没有讲完,就转向学生说:“你们知道数学家是什么吗?”他走向黑板,在黑板上写

下高斯积分:

2

x e

dx ∞

--∞

=?

“数学家就是这样

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的人,他觉得这个公式很明显,就像224?=一样, Liouville 就是这样一个数学家。”

作为式(,我们可以立即导出算符2

fQ e

的正规乘积展开,

(

)2

2

2

2:::exp():1q Q fq fQ

f

e

e

Q f ∞

--+-∞

=

=

-?

, (

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所以2

fQ e

0()

?2exp(

)21f

a f =

-0

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是一个单模压缩态。同样,动量表象可以改写为高斯积分形式

()(){}

2

2:

/2:dp p p p a a a a ∞

++-∞

=--+-??

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()

2

::1p P e ∞

--=

=?

)P a a +=

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-。 (

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Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zw ecken verwendet werden.

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