,为独立同分布的随机变量序列，若
2,则有p
ξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,
n
,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,
D μξ<∞则有k =∑1
)exp(x
=
?
η，并计算样本均值,,
n
Kolmogorov
,,)]
S，
T
,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期
n t T <<=
2,)n，
1,2,n），则
如果用日数据计算波动率，
从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，
+
，并令其解为
2,) 2,,}k，跳跃尺度
()
2()(,)
()!N t W S r N t λτλτσ-
exp(λλμ=，()(exp()1)(N t r r λ=--+1
σσστ=+
◆无形资产——专利池的期权定价模问题
专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：
()(1)dX
dt dW Y dN X
μλνσ=-++-
通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。
构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--
一方面V
∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--
另一方面，
2222
11()()22
((,,)(,,))S t S SS C CC S C SC S S S S S E d V S V C V SCV dt
E V Y S C t V S C t dt v V Sdt
σσσσλλ?∏=+
+++-- 新产品发明专利池的市场价值V 所遵循的方程为
欧式期权蒙特卡洛模拟程序 function [eucall,varprice,ci]=blsmc(S0,K,r,T,sigma,N) % 输入参数 %S0 初使资产价格T 到期时间 % K敲定价格 % r无风险利率 % sigma 波动率 % N 模拟次数 %%%%%%%% %输出参数 %eucall 欧式期权价格 %varprice 方差 % ci 95%置信区间 randn('seed',0); randT=randn(N,1); nuT=(r-sigma^2/2)*T; siT=sigma*sqrt(T); dispayoff=exp(-r*T)*max(0,S0*exp(nuT+siT*randT)-K); [eucall,varprice,ci]=normfit(dispayoff); 蒙特卡洛模拟亚式期权 %Asianmc.m function [p,aux,ci]=Asianmc(S0,K,r,T,sigma,NRteps,NRepl) % 蒙特卡洛模拟亚式期权 % 输入参数 %S0 初使资产价格 % T 到期时间 % K敲定价格 % r无风险利率 % sigma 波动率 % NSteps 时间离散数目 % NRepl 模拟次数 %%%%%%%% %输出参数 %p 权价格 %varprice 方差 % ci 95%置信区间 dt=T/NRteps; nudt=(r-.5*sigma^2)*dt; sidt=sigma*sqrt(dt); randn('seed',0);
randt=randn(NRepl,NRteps); rand1=nudt+sidt*randt; rand2=cumsum(rand1,2);%按列求和 path=S0*exp(rand2); payoff=zeros(NRepl,1); for i=1:NRepl payoff(i)=exp(-r*T)*max(0,mean(path(i,:))-K); end [p,aux,ci]=normfit(payoff);
（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律： 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 其等价形式为。 ◆Black-Scholes期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程
蒙特卡罗模拟与欧式期权定价 蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。9.2节中，在期权到期的T 时刻，标的股票价格的随机方程为： )exp()exp(T T T T S Y S S εσμ+== 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量T Y 服从正态分布，其均值为T T )5.0(2σμμ-=，方差为T T σσ=，μ为股票的收益率，σ为股票的波动率。期权的收益依赖于T S 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率（μ）可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。于是风险中性定价的T S 随机方程为： ] )5.0exp[(2T T q r S S T εσσ+--= 其中ε服从标准正态分布。上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。 蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值T S 的样本值，即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后，就可以得到期权收益的分布，通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。 图1中欧式期权的有效期是六个月，其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。表中有36个期权收益的模拟试验，用它们可以估计出期权收益期望值的折现。 Using Monte Carlo Simulation to Value BS Call Option ： 利用蒙特卡罗模拟来为布莱克-舒尔斯看涨期权定价
图1 期权信息及5个（从36个模拟数据得到）期权收益模拟结果 每个模拟试验产生一个终值股价（T S 的一个样本值）和一个期权收益值。在B 列中用Excel 的RAND 函数来产生服从均匀分布的随机数，然后在C 列用标准正态分布函数NORMSINV 将其转换成随机样本。RAND 函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。将其作为累积概率值（值在0到1之间），用NORMSINV 即可得到服从标准正态分布的随机变量值，其结果大部分处在-3与3之间。例如，第一次模拟试验C22中的公式为： =NORMSINV(B22) 其输入值为0.1032(大约10％)，产生的标准正态变量的值则为-1.2634。 得到随机样本值（ε），就可以用下面公式计算期权到期日的股票价格： ] )5.0exp[(2T T q r S S T εσσ+--= 为了将其转换为单元格公式的形式，有必要先计算出T 时刻的风险中性漂移项和波动率， 也就是T q r )5.0(2σ--和T εσ（分别处于B16和B17中）。因此，E22中的公式为： =$B$4*EXP($B$16+C22*$B$17) 相应的期权收益为（H22）： =MAX($E$4*(E22-$B$5),0) E4中存放的是参数iopt ，它用来区分看涨期权和看跌期权。 计算模拟出的36个期权收益的平均值，然后折现即可得到看涨期权价值的估计量（E9）。用于折现的风险中性因子（exp(-rT)）放在B18中。 图1显示，期权价格的蒙特卡罗估计值（12.85）与布莱克-舒尔斯期权价格有较大的差异。E10中，期权价值估计值的标准差（模拟期权收益的标准差除以模拟次数的平方
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov 强大数定律： 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 [],1,2,k E k ξμ=<∞=L 则有1 1(lim )1n k n k p n ξμ→∞===∑ 显然，若12,,,n ξξξL 是由同一总体中得到的抽样，那么由 此大数定律可知样本均值1 1n k k n ξ=∑当 n 很大时以概率1收敛于
总体均值μ。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 2 [],[],1,2,k k E D k ξμξσ=<∞=<∞=L (0,1)n k d n N ξ μ -??→∑ 其等价形式为2 1 1lim ()exp(),2n x k k n t n P x dt x ξμσ =→∞ -∞ -≤= --∞<<∞∑?。 ◆Black-Scholes 期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 dS dt dW S μσ=+ 其中，标的资产的价格S 是时间t 的函数，μ为标的资产 的瞬时期望收益率，σ为标的资产的波动率，dW 是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r 为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价 1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价 利用风险中性的方法计算期权定价： ?()rt T f e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，?E 是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动： dS Sdt sdW μσ=+ 则在风险中性测度下，标的资产运动方程为： 2 0exp[()]2T S S r T σ=-+ 对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下： 2 (/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+- 其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。 对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。 例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。 下面用MA TLAB 编写一个子程序进行计算： function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sigma 股票波动标准差 %Nu 模拟的次数 %输出参数 %eucall 欧式看涨期权价格 %varprice 模拟期权价格的方差 %ci 95%概率保证的期权价格区间
randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0, %这样保证每次模拟的结果相同 nuT=(r-0.5*sigma^2)*T sit=sigma*sqrt(T) discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K) %期权到期时的现金流 [eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff) %在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000) 2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价 障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期内有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。 当障碍值b S 高于现在资产价格0S ，称上涨期权，反之称下跌期权。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲入看跌期权，该期权首先是看跌期权，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前何时生效的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权开始生效。 当障碍值b S 确定时，障碍期权存在解： 4275{()()[()()]}rT P Ke N d N d a N d N d -=--- 03186{()()[()()]}S N d N d b N d N d ---- 其中 212/0()r b S a S σ-+=， 212/0()r b S b S σ+=， 2 1d =
谈谈期权的蒙特卡洛定价法 蒙特卡洛方法又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，最早应用于20世纪40年代中期的原子能领域。 蒙特卡洛方法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，利用随机数（实际应用中通常为伪随机数）来产生随机的基于一定分布假设的数字序列，进而解决各种计算问题。通过对问题的结果分布进行假设和拟合，利用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。 从理论上来说，蒙特卡洛方法需要大量的实验。实验次数越多，得到的结果才越精确。计算机技术的发展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。 现代的蒙特卡洛方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。 借助计算机技术，蒙特卡洛方法兼具了两大优点：一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速，简单和快速是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。 在实际应用中，蒙特卡洛方法通过执行统计抽样实验来解决各种数学问题，提供了近似的解决方案。在金融行业数量化工具的设计和定价中蒙特卡洛方法被广泛运用，如为一些难以求出解析解的奇异期权进行定价。 有些投资者不太清楚蒙特卡洛方法在期权定价领域里面的必要性，事实上产生这样的疑惑和国内期权市场发展情况息息相关。国内期权市场发展落后于欧美发达国家，场内期权数量屈指可数，相关的指数和资产管理产品寥寥无几，同时场外期权主要交易的品种也以简单的香草期权（vanilla options）为主，夹杂少量特殊定制的奇异期权。 由于接触的大多是已经有解释解，或者说期权交易和对冲中的希腊字母相对容易计算的期权品种，无论是投资者还是大量金融机构的从业人员对相对复杂的期权品种的定价以及希腊字母的计算方式还是比较陌生的。 实际上在交易者频繁交易各种奇异期权的国外市场，蒙特卡洛方法是相当常用而且具有实战意义的定价方式。下面我们以最为简单的美式期权展开讨论： 美式期权与欧式期权相对应，其持有者有权利在期权续存期内的任意时间行权。在国外成熟的交易市场，绝大部分交易的期权合约都是美式的。相比而言，欧式期权的定价更加容易，实际情况中，交易者会考虑利用相似的欧式期权的价格对美式期权价格进行推导。
第八章蒙特卡洛期权定价方法 在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。 如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。 蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；
在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。我们以概述由蒙特卡洛抽样产生的估计期权敏感性的基本问题来结束本章；在8.5节我们考虑一个普通的看涨期权A的简单案例。在第10.4节将讨论到随机模拟期权定价的另一个应用，它应用于美式期权；而一个简单的模拟方法在早期的应用中不可实行，并且这个问题在随机动态优化的框架里被强制转换。 8.1 路径生成 蒙特卡洛期权定价方法的应用的出发点是对样本基本因素路径的产生。对于一般的期权就像在第四章里面一样不需要产生路径：只需要关注标的资产到期日的价格。但是如果路径依赖型期权，我们就需要整条路径或者至少需要在给定时刻的一系列价值。如果服从几何布朗运动，情况的处理就非常简单。事实上，必须认识到在路径生成中有两个误差源：样本误差、离散误差。 样本错误时因为蒙特卡洛方法的随机性，这个问题可以通过减小方差的办法得到缓解。为了理解什么是离散错误，我们考虑一个典型的离散连续时间模型，例如：伊藤随机微分方程：
第一章：Monte Carlo方法概述 讲课人：Xaero Chang | 课程主页: https://www.doczj.com/doc/3213589348.html,/notes/intro2mc 本章主要概述Monte Carlo的一些基础知识，另外包括一个最简单的用Monte Carlo方法计算数值积分的例子。 一、Monte Carlo历史渊源 Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和Simulation有细微区别。单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo 在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。 十一、Monte Carlo方法适用用途 （一）数值积分 计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。 数值积分简单示例 如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。这样做
第8章蒙特卡洛模拟金融衍生产品定价 本章介绍蒙特卡洛模拟期权定价的内容，要求读者掌握随机数生成方式，了解蒙特卡洛定价就是模拟风险中性测度下标的资产的运动过程，学会蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价，掌握提高模拟精度的常用方法。 §随机模拟基本原理 1977年，菲力埔·伯耶勒(Phelim Boyle)提出了模拟方法求解金融资产定价问题，其想法是假设资产价格分布是随机波动，如果知道了这个波动过程，就可以通过随机模拟不同的路径，每做完一次模拟，就产生了一个最终资产价值，再进行若干次这样的过程，那么所得到的结果就是一个最终的资产价值分布，从这个分布中我们可以得到期望的资产价格。 随机数生成函数 1．均匀分布随机数生成函数 MATLAB中的unidrnd函数可以生成1到N的均匀分布随机数。 调用方式 R=unidrnd(N); R=unidrnd(N,m); R=unirnd(N,m,n); 其中，N所要生成的随机数个数，m确定输出随机矩阵R的行数,n确定输出随机矩阵R的列数 2．生成服从连续均匀分布的随机数 如果需要生成服从连续分布的随机数，则需调用unifrnd函数，其调用格式为调用方式1 R＝unifrnd(A，B)生成位于A、B之间的一个随机数。 调用方式2 R＝unifrnd(A,B,m)生成位于A、B之间的随机数。m=[m1,m2]表示行数列数。 调用方式3 R＝unifrnd(A,B,m,n),m,n分别表示行数、列数 unifrnd(1,2,[5,6]),unifrnd(1,2,5,6) 8．1．2 生成正态分布随机数 调用方式 R=normrnd(mu,sigma) R=normrnd(mu,sigma,m) R=normrnd(mu,sigma,m,n) 8．1．3 特定分布随机数发生器 MATLAB中有统一格式的随机数发生器，函数名称为random，可生成许多服从不同分布的随机数。 y=random('name',A1,A2,A3,m,n) 表生成特定分布的随机数函数参数表 beta分布：beta,二项分布：bino,卡方:chi2,指数分布：exp,F-分布：f, Gamma:gam Lognormal:logn, uniform:unif;Poisson:poiss,T:t;Normal->norm; Noncentral F ->ncf, Noncentral->nct
第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。 如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。 蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。在
第一章：Monte Carlo 方法概述
讲课人：Xaero Chang | 课程主页: https://www.doczj.com/doc/3213589348.html,/notes/intro2mc 本章主要概述 Monte Carlo 的一些基础知识，另外包括一个最简单的用 Monte Carlo 方法计算数值积分的例子。
一、Monte Carlo 历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法， 基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和 Simulation 有细微区别。单独的 Simulation 只 是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo 在计算的中间过程中出现的数是 随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的 Monte Carlo 试验始于十八世纪末期 （约 1777 年） 当时布丰 ， （Buffon） 为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例 子）。虽然方法已经存在了 200 多年，此方法命名为 Monte Carlo 则是在二十世纪四十年， 美国原子弹计划的一个子项目需要使用 Monte Carlo 方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作 用。 出于保密缘故， 每个项目都要一个代号， 传闻命名代号时， 项目负责人之一 von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称， 自此这种方法也就被命名为 Monte Carlo 方法广为流传。
十一、Monte Carlo 方法适用用途 （一）数值积分
计算一个定积分，如 ，如果我们能够得到 f(x)的原函数 F(x)，那么直接由表 达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于 f(x)太复杂，我们无法 计算得到原函数 F(x)的显示解， 这时我们就只能用数值积分的办法。 如下是一个简单的数值 积分的例子。 数值积分简单示例
如图， 数值积分的基本原理是在自变量 x 的区间上取多个离散的点， 用单个点的值来代 替该小段上函数 f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来， 用这个面积来近似函数 f(x)（蓝色曲线）与 x 轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是 随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价 1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价 利用风险中性的方法计算期权定价： ?()rt T f e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，?E 是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动： dS Sdt sdW μσ=+ 则在风险中性测度下，标的资产运动方程为： 2 0exp[()]2T S S r T σ=-+ 对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下： 2 (/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+- 其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。 对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。 例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。 下面用MA TLAB 编写一个子程序进行计算： function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sigma 股票波动标准差 %Nu 模拟的次数 %输出参数 %eucall 欧式看涨期权价格 %varprice 模拟期权价格的方差 %ci 95%概率保证的期权价格区间
randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0, %这样保证每次模拟的结果相同 nuT=(r-0.5*sigma^2)*T sit=sigma*sqrt(T) discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K) %期权到期时的现金流 [eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff) %在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000) 2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价 障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期内有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。 当障碍值b S 高于现在资产价格0S ，称上涨期权，反之称下跌期权。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲入看跌期权，该期权首先是看跌期权，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前何时生效的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权开始生效。 当障碍值b S 确定时，障碍期权存在解： 4275{()()[()()]}rT P Ke N d N d a N d N d -=--- 03186{()()[()()]}S N d N d b N d N d ---- 其中 212/0()r b S a S σ-+=， 212/0 ()r b S b S σ+=， 2 1d =
第7章蒙特卡洛模拟金融衍生产品定价本章介绍蒙特卡洛模拟期权定价的内容，要求读者掌握随机数生成方式，了解蒙特卡洛定价就是模拟风险中性测度下标的资产的运动过程，学会蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价，掌握提高模拟精度的常用方法。 §随机模拟基本原理 1977年，菲力埔·伯耶勒(Phelim Boyle)提出了模拟方法求解金融资产定价问题，其想法是假设资产价格分布是随机波动，如果知道了这个波动过程，就可以通过随机模拟不同的路径，每做完一次模拟，就产生了一个最终资产价值，再进行若干次这样的过程，那么所得到的结果就是一个最终的资产价值分布，从这个分布中我们可以得到期望的资产价格。 随机数生成函数 1．均匀分布随机数生成函数 MATLAB中的unidrnd函数可以生成1到N的均匀分布随机数。 调用方式 R=unidrnd(N); R=unidrnd(N,m); R=unidrn(N,m,n); 其中，N所要生成的随机数个数，m确定输出随机矩阵R的行数,n确定输出随机矩阵R的列数 2．生成服从连续均匀分布的随机数 如果需要生成服从连续分布的随机数，则需调用unifrnd函数，其调用格式为调用方式1 R＝unifrnd(A，B)生成位于A、B之间的一个随机数。 调用方式2 R＝unifrnd(A,B,m)生成位于A、B之间的随机数。m=[m1,m2]表示行数列数。 调用方式3 R＝unifrnd(A,B,m,n),m,n分别表示行数、列数 unifrnd(1,2,[5,6]),unifrnd(1,2,5,6) 7．1．2 生成正态分布随机数 调用方式 R=normrnd(mu,sigma) R=normrnd(mu,sigma,m) R=normrnd(mu,sigma,m,n) 7．1．3 特定分布随机数发生器 MATLAB中有统一格式的随机数发生器，函数名称为random，可生成许多服从不同分布的随机数。 y=random('name',A1,A2,A3,m,n) 表生成特定分布的随机数函数参数表 beta分布：beta,二项分布：bino,卡方:chi2,指数分布：exp,F-分布：f, Gamma:gam Lognormal:logn, uniform:unif;Poisson:poiss,T:t;Normal->norm; Noncentral F ->ncf, Noncentral->nct