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数理统计 2014—2015 学年度第二学期期中考试
注意事项：1. 所有答案请直接答在试卷上 2．考试形式：闭卷
3. 本试卷共四大题，满分100分，考试时间100分钟
一、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1、参数估计中评价估计量好坏的常用标准有（请至少写出两项）__________________ 。
2、设ξ为一个随机变量，α<<01，如果αx 使得αξ
α≤={},P x 则称αx 为ξ的下侧
α分位数；如果αy 使得αξα>={},P y 则称αy 为ξ的上侧α分位数，则对于正态
分布，αx , α--1y , α-y 与α--1x 中，与其余三项不相等的是 _________________ 。
3、补全抽样分布定理：设总体ξσ2~(,)N a ，ξξξ12,,...,n 为总体ξ的样本，则
（1）σξ2
~(,
)N a n
；
（2）_____________________； （3）
χσ-2
22
~(1)nS n .
4、假设检验的基本原理为 _______________________________________ 。
5、设指数分布总体ξΓλ~(1,)，其中λ>0，试由
λξΓχ=21
2~(,)(2)2
n n n 确定λ的α-1置信区间为 _____________________________________ 。
6、点估计常用的方法有（请至少写出两项）___________________________________ 。
二、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）
1、(8分) 设
ξξξ12,,...n 为总体ξ的一个样本，即ξξξ12,,...n
独立同分布，且
ξ=()E a ，ξσ=2()D 都存在，求：
()()()
ξξξξξξ-=-+-++-12231...n n Q D D D
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2、(8分) 设离散均匀分布总体ξ的概率函数ξ==1
{}P x N
，=1,2,...,x N , N 为正整数，且为未知参数，求N 的矩法估计量。
3、(8分) 设总体ξ
(,9)N a ，ξξξ12,,...n 为ξ的样本，求n 的值，使得
{}ξξ-<<+=110.90P a . 提示：以下分位数可供选择使用=0.951.645u ，
=0.975 1.960u .
4、(8分) A, B 两机器生产的钢管内径分别服从正态分布σ211(,)N a ，σ2
22(,)N a ，现从两机器生产的钢管中分别随机抽取8个和9个，测得其内径的方差（单位：平方毫米）分别为
=210.0794S ,=220.0328S ，调整后的方差分别为=210.0907%S ,=220.0369%S . 试检验这两台机
器生产的钢管内径的方差是否相等（α=0.05）？ 提示：以下分位数可供选择使用
=0.975(7,8) 4.529F ,=0.975(8,9) 4.102F ,=0.025(7,8)0.204F ,=0.025(8,9)0.230F
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5、(8分) 要求某种元件使用寿命（单位：小时）服从正态分布σ2(1000,),N σ2未知。现从某厂生产的这类元件中抽26件，测得其平均使用寿命为964小时，样本方差=22100S ，试问这个厂生产的这类元件是否合格（α=0.05）？提示：以下分位数可供选择使用=0.95 1.645u ,=0.975 1.960u ,=0.95(25) 1.708t ,=0.975(25) 2.060t .
6、(8分) 19世纪，伟大的生物学家孟德尔按照颜色与形状将豌豆分为四类：黄圆，绿圆，黄皱和绿皱。孟德尔根据遗传学的理论指出，这四种豌豆的数量之比应为9:3:3:1，他在=556n 粒豌豆中，观察到这四类豌豆的数量分别为：315,108,101,32，试检验这四类豌豆的个数之比是否符合孟德尔指出的9:3:3:1（α=0.05）？
提示：以下分位数可供选择使用χ=20.95(3)7.81, χ=20.95(4)9.49,χ=20.975(3)9.35,
χ=20.975(3)11.14.
三、证明题（本题共2小题，共16分）
1、(6分) 设12,,...,n ξξξ是来自正态总体(0,1)N 的样本，证明：可以取得适当的a 值，使得
统计量T =服从t 分布，并求出a 的值。
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2、(10分) 设总体ξ
σ2(0,)N ，ξξξ12,,...n 为ξ的样本，求：
（1）2
σ的矩估计量2?σ
； （2）2
σ的极大似然估计量2?ML σ
； （3）证明：2
?ML σ
是2
σ的有效估计量。
四、综合题（本题共2小题，每小题9分，共18分）
1、(9分) 入户推销有四种方法，某大公司想比较这四种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从尚无推销经验的应聘人员中随机挑选一部分，并随机的将他们分为四个组，每组用一种推销方法培训。一段时期后得到他们在一个月内的推销额ij η，
1,2,3,4i =, 1,2,3,4,5j =如下表所示：
记总离差平方和2
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()ij i j Q ηη===-∑∑，组间离差平方和21
()A i i i Q n ηη==-∑，组内离差平方
和4
5
2
11()e ij i i j Q ηη===-∑∑，计算得165A Q =, 126.8e Q =, 设各方法下推销额服从正态分布且
方差相等，试在显著性水平α=0.05下，检验各种推销方法下的平均推销额有无显著差异。
提示：下列分位数可供选择使用
=0.95(3,16) 3.239F ,=0.975(3,16) 4.077F ,=0.95(4,20) 2.866F ,=0.975(4,20) 3.515F .
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2、(9分) 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/l ）与消光系数读数的结果如
已知i y 与i x 之间有关系式：01i i i y x =++，且(0,)i N 并相互独立，求01,β的最
小二乘估计。
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