2018年江苏省苏锡常镇高考数学一模试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合A ={?1,?1}，B ={?3,?0,?1}，则集合A ∩B =________．
2. 已知复数z 满足z ?i =3?4i （i 为虚数单位），则|z|=________．
3. 双曲线
x 24
?
y 23
=1的渐进线方程是________．
4. 某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =________．
5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．
6. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．
7. 若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm 2，则它的体积为________cm 3．
8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2+a 4=2，S 2+S 4=1，则a 10=________．
9. 已知a >0，b >0，且2
a +3
b =√ab ，则ab 的最小值是________．
10. 设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tanA
tanB =3c?b b
，则
cosA =________．
11. 已知函数f(x)={a ?e x ,x <1,
x +4x ,x ≥1, 若y =f(x)的最小值是4，则实数的取值范围为________．
12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →
|=√3，|CA →
|=4，∠ACB =
2π
3
，则CP →
?
CA →
=________．
13. 已知直线l:x ?y +2=0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x ?2)2+y 2=2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．
14. 若二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1,?2]上有两个不同的零点，则
f(1)a
的
取值范围为________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知向量a →
=(√2sinα,1)，b →
=(1,sin(α+π4
))．
(1)若角α的终边过点(3,?4)，求a →
?b →
的值；
(2)若a →?//?b →
，求锐角α的大小．
如图，正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的高为√6，其底面边长为2．已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：
(1)B 1M?//?平面A 1BN ；
(2)AD ⊥平面A 1BN ．
已知椭圆C:
x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)经过点(√3,1
2)，(1,√
3
2)，点A 是椭圆的下顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y =x 分别相交于E ，F 两点，已知OE =OF ，求直线l 1的斜率．
如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB ．在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC =
2π3
．计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB =θ(0<
θ<π
2)．
(1)当θ=π
3时，求∠OPQ 的大小；
(2)当∠OPQ 越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，g(x)=lnx ．
(1)若a =0，b =?2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围；
(2)若b =?3，且函数y =f(x)在区间(?1,?1)上是单调递减函数． ①求实数a 的值；
②当c =2时，求函数?(x)={f(x),f(x)≥g(x),
g(x),f(x) 的值域． 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=3，且2S n =a n+1?3(n ∈N ?)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对于正整数i ，j ，k(i (3)设数列{b n }前n 项和是T n ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式a 1b n +a 2b n?1+ a 3 b n?2+?+a n b 1=3n+1?3n ?3成立．求满足等式T n a n =1 3的所有正整数n ． 【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA =DC ． (1)求证：AB =2BC ； (2)若AB =2，求线段CD 的长． [选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A =[4001]，B =[12 05]，列向量X =[a b ]． (1)求矩阵AB ； (2)若B ?1A ?1X =[5 1]，求a ，b 的值． [选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2√2,π 4)，圆心为直线ρsin(θ?π 3)=?√3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲] 已知x ，y 都是正数，且xy =1，求证：(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9． 【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD =AD =2AB ，点Q 为线段PA （不含端点）上一点． (1)当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； (2)已知二面角Q ?BD ?P 的正弦值为2 3，求PQ PA 的值． 在含有n 个元素的集合A n ={1,?2,?...,?n}中，若这n 个元素的一个排列(a 1,?a 2,…,a n )满足a i ≠i(i =1,?2,…,n)，则称这个排列为集合A n 的一个错位排列（例如：对于集合A 3={1,?2,?3}，排列(2,?3,?1)是A 3的一个错位排列；排列(1,?3,?2)不是A 3的一个错位排列）．记集合A n 的所有错位排列的个数为D n ． (1)直接写出D 1，D 2，D 3，D 4的值； (2)当n ≥3时，试用D n?2 ，D n?1表示D n ，并说明理由； (3)试用数学归纳法证明：D2n(n∈N?)为奇数． 参考答案与试题解析 2018年江苏省苏锡常镇高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 【答案】 {1} 【考点】 交集及其运算 【解析】 根据交集的定义写出集合A∩B． 【解答】 解：集合A={?1,?1}，B={?3,?0,?1}， 则集合A∩B={1}． 故答案为：{1}. 2. 【答案】 5 【考点】 复数的模 复数代数形式的乘除运算 【解析】 z?i=3?4i（i为虚数单位），可得z?i?(?i)=?i(3?4i)，化简利用模的计算公式即可得出． 【解答】 解：∵z?i=3?4i（i为虚数单位）， ∴z?i?(?i)=?i(3?4i)， 则z=?4?3i， 则|z|=√(?4)2+(?3)2=5． 故答案为：5. 3. 【答案】 √3x±2y=0 【考点】 双曲线的渐近线 【解析】 由x2 4?y2 3 =0，可得双曲线x2 4 ?y2 3 =1的渐近线方程 【解答】 解：由x2 4?y2 3 =1， 可得a=2，b=√3， 双曲线x2 4?y2 3 =1的渐近线方程为y=±b a x=±√3 2 x， 即√3x±2y=0． 故答案为：√3x±2y=0． 4. 【答案】 63 【考点】 分层抽样方法 【解析】 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】 解：∵高二年级被抽取的人数为21， ∴21 600=n 1800 ，得n=63， 故答案为：63. 5. 【答案】 3 16 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 古典概型及其概率计算公式 【解析】 基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出两次数字之和等于6包含的基本事件个数，由此能求出两次数字之和等于6的概率． 【解答】 解：将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次， 观察其朝下一面的数字， 基本事件总数n=4×4=16． 则两次数字之和等于6包含的基本事件有(2,?4)，(4,?2)，(3,?3)，共3个， ∴两次数字之和等于6的概率为p=3 16 ． 故答案为：3 16 . 6. 【答案】 25 【考点】 程序框图 【解析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】 解：当n=1时，满足进行循环的条件，S=1，n=3； 当n=3时，满足进行循环的条件，S=4，n=5； 当n=5时，满足进行循环的条件，S=9，n=7； 当n=7时，满足进行循环的条件，S=16，n=9； 当n=9时，满足进行循环的条件，S=25，n=11； 当n=11时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为25. 故答案为：25. 7. 【答案】 4√3 3 【考点】 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 根据侧面积计算出棱锥的斜高，利用勾股定理计算棱锥的高． 【解答】 解：设四棱锥为P?ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连结PE，OE，如图所示， 则PE⊥CD，OE=1 2 BC=1cm， ∵S 侧面=4S△PCD=4×1 2 ×CD×PE=8cm2， ∴PE=2cm． ∴PO=√PE2?OE2=√3cm，∴正四棱锥体积为 V=1 3 ×S 正方形ABCD ×PO =1 3×22×√3=4√3 3 cm3． 故答案为：4√3 3 . 8. 【答案】 8 【考点】 等差数列的前n项和 等差数列的通项公式 【解析】 设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a4=2，S2+S4=1，可得2a1+4d=2，6a1+ d+4×3 2 d=1，联立解出利用通项公式即可得出． 【解答】 解：设等差数列{a n}的公差为d， ∵a2+a4=2，S2+S4=1， ∴2a1+4d=2，6a1+d+4×3 2 d=1， 解得：a1=?1，d=1， 则a10=?1+9=8． 故答案为：8. 9. 【答案】 2√6 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 根据a>0，b>0，即可得出2 a +3 b ≥√6 √ab ，从而得出√ab≥√6 √ab ，从而可求出ab的最小 值． 【解答】 解：a>0，b>0； ∴√ab=2 a +3 b ≥√6 √ab ， 即√ab≥√6 √ab ， ∴ab≥2√6， ∴ab的最小值是2√6． 故答案为：2√6． 10. 【答案】 1 3 【考点】 余弦定理 正弦定理 同角三角函数间的基本关系【解析】 先化切为弦，再由正弦定理及余弦定理求解． 【解答】 解：由tanA tanB =3c?b b ，得sinAcosB cosAsinB = 3c?b b ， 则acosB bcosA = 3c?b b ，即acosB =(3 c ?b)cosA ， 3ccosA =acosB +bcosA =a × a 2+c 2? b 2 2ac +b × b 2+ c 2?a 2 2bc =c ， ∴ cosA =1 3． 故答案为：1 3. 11. 【答案】 [e +4,?+∞) 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 分段函数的应用 指数函数单调性的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】 考虑x <1的函数的单调性，可得f(x)的范围；由基本不等式可得x ≥1时f(x)的最小值，即可得到所求a 的范围． 【解答】 解：函数f(x)={ a ?e x ,x <1, x +4x ,x ≥1, 当x <1时，f(x)=a ?e x 递减，可得f(x)>a ?e ， 由x ≥1时，f(x)=x +4 x ≥2√x ?4 x =4， 当且仅当x =2时，取得最小值4， 由题意可得a ?e ≥4， 即a ≥e +4． 故答案为：[e +4,?+∞). 12. 【答案】 6 【考点】 平面向量数量积的性质及其运算律 向量的三角形法则 【解析】 用CA → ,CB → 表示出CP → ，根据CP =√3计算CB ，再计算CP → ?CA → 的值． 【解答】 解：∵ 点P 是边AB 的中点， ∴ CP → =12 CA → +12 CB → ， ∴ CP →2=14 CA →2+12 CA →×CB →+14 CB → 2， ∴ 3=4+12 ×4×|CB →|×cos 2π3 +14 ×|CB → |2， ∴ |CB → |=2， ∴ CA → ×CB → =4×2×cos 2π3 =?4， ∴ CP →?CA →=(12 CA →+12 CB →)×CA → =12 CA →2+12 CB → ×CA → =6． 故答案为：6. 13. 【答案】 {13 ,5} 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】 由题意得A(?2,?0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切．设P(m,?m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为( m?22 , m+22 )，半径为√22 |m +2|，由外切和内切两种情况进行讨论，能求出m ． 【解答】 解：由题意得A(?2,?0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切， 设P(m,?m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为(m?22 , m+22 )，半径为√22 |m +2|， 外切时，√2 2|m +2|+√2=√( m?62)2 +(m+22 )2 ，解得m =1 3， 内切时，√22|m +2|?√2=√( m?62 )2+( m+22 )2 ，解得m =5． 综上，点P 的横坐标的取值集合为{1 3,?5}． 故答案为：{1 3,?5}． 14. 【答案】 [0,?1) 【考点】 由函数零点求参数的取值范围 二次函数的性质 求线性目标函数的最值 简单线性规划 【解析】 首先利用二次函数的性质建立不等量关系，进一步利用线性规划问题求出结果． 【解答】 解：二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1,?2]上有两个不同的零点， 则： { 1 2a <2,f(1)≥0, f(2)≥0, f(?b 2a )<0, 即：{ 1 2a <2,a +b +c ≥0,4a +2b +c ≥0,4ac?b 2 4a <0, 设：b a =x,c a =y ， 即有：{?4 4+2x +y ≥0,4y ?x 2<0, 画出可行域，如图， 由A ，B ，C 组成的图形(包括线段AB ，AC ，不包括曲线BC )， 由 f(1)a =1+b a +c a =1+x +y ， 可得：1+x +y 的最小值为0， 当1+x +y 经过点(?4,?4)， 可得：1+x +y =1， 则：1+x +y ∈[0,?1) 故： f(1)a 的取值范围是：[0,?1)． 故答案为：[0,?1)． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】 解：(1)角α的终边过点(3,?4)， ∴r=√32+42=5， ∴sinα=y r =4 5 ，cosα=x r =3 5 ， ∴a→?b→=√2sinα+sin(α+π 4 ) =√2sinα+sinαcos π 4 +cosαsin π 4 =√2×4 5 + 4 5 × √2 2 + 3 5 × √2 2 =3√2 2 . (2)若a→?//?b→，则√2sinαsin(α+π 4 )=1， 即√2sinα(sinαcosπ 4+cosαsinπ 4 )=1， ∴sin2α+sinαcosα=1， ∴sinαcosα=1?sin2α=cos2α， 对锐角α有cosα≠0， ∴tanα=1， ∴锐角α=π 4 ． 【考点】 两角和与差的正弦公式 任意角的三角函数 平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量共线（平行）的坐标表示 平行向量的性质 同角三角函数间的基本关系 【解析】 （1）由三角函数的定义求出sinα、cosα，再根据平面向量数量积的定义计算a→?b→的值；（2）根据a→?//?b→，列方程求出α的三角函数值以及锐角α的值． 【解答】 解：(1)角α的终边过点(3,?4)， ∴r=√32+42=5， ∴sinα=y r =4 5 ，cosα=x r =3 5 ， ∴a→?b→=√2sinα+sin(α+π 4 ) =√2sinα+sinαcos π 4 +cosαsin π 4 =√2×4 + 4 × √2 + 3 × √2 =3√2 2 . (2)若a→?//?b→，则√2sinαsin(α+π 4 )=1， 即√2sinα(sinαcosπ 4+cosαsinπ 4 )=1， ∴sin2α+sinαcosα=1， ∴sinαcosα=1?sin2α=cos2α， 对锐角α有cosα≠0， ∴tanα=1， ∴锐角α=π 4 ． 【答案】 证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC?A1B1C1中，如图， AA1?//?CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形， 因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点， 所以MN?//?AA1且MN=AA1， 又正三棱柱ABC?A1B1C1中AA1?//?BB1且AA1=BB1， 所以MN?//?BB1且MN=BB1， 所以四边形MNBB1是平行四边形， 所以B1M?//?BN，又B1M平面A1BN，BN?平面A1BN， 所以B1M?//?平面A1BN. (2)正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1， 正△ABC中，N是AC的中点， 所以BN⊥AC，又AA1、AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A， 所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C， 所以AD⊥BN， 由题意，AA1=√6，AC=2，AN=1，CD=√6 3 ， 所以AA1 AC =AN CD =√3 2 ， 又∠A1AN=∠ACD=π 2 ， 所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N=∠CAD， 所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π 2 ， 则AD⊥A1N，又BN∩A1N=N，BN，A1N?平面A1BN， 所以AD⊥平面A1BN． 【考点】 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 【解析】 （1）证明四边形MNBB1是平行四边形得出B1M?//?BN，故而B1M?//?平面A1BN；（2）根据BN⊥平面ACC1A1可得BN⊥AD，根据三角形相似可得AD⊥A1N，故而AD⊥平面A1BN． 【解答】 证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC?A1B1C1中，如图， AA1?//?CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形， 因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点， 所以MN?//?AA1且MN=AA1， 又正三棱柱ABC?A1B1C1中AA1?//?BB1且AA1=BB1， 所以MN?//?BB1且MN=BB1， 所以四边形MNBB1是平行四边形， 所以B1M?//?BN，又B1M平面A1BN，BN?平面A1BN， 所以B1M?//?平面A1BN. (2)正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC， 所以BN⊥AA1， 正△ABC中，N是AC的中点， 所以BN⊥AC，又AA1、AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A， 所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C， 所以AD⊥BN， 由题意，AA1=√6，AC=2，AN=1，CD=√6 3 ， 所以AA1 AC =AN CD =√3 2 ， 又∠A1AN=∠ACD=π 2 ， 所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N=∠CAD， 所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π 2 ， 则AD⊥A1N，又BN∩A1N=N，BN，A1N?平面A1BN， 所以AD ⊥平面A 1BN ． 【答案】 解：(1)根据题意，椭圆C: x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)经过点(√3,1 2)，(1,√3 2 )， 则有{3a 2+ 14b 2=1,1a 2+3 4b 2=1, 解得{1a 2=1 4 , 1b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为 x 24 +y 2=1. (2)由题意知A(0,??1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零， 设直线l 1:y =k 1x ?1，与直线y =x 联立方程有{ y =k 1x ?1 y =x ， 得E(1 k 1?1 , 1 k 1?1 )， 设直线l 2:y =?1 k 1 x ?1，同理F(1 ?1k 1 ?1,1 ?1k 1 ?1)， 因为OE =OF ， 所以|1k 1?1|=|1 ?1k 1 ?1|， ①1k 1?1=1 ?1k 1 ?1，k 1+1 k 1 =0无实数解； ②1k 1?1=?1 ?1k 1 ?1，k 1?1 k 1 =2，k 12?2k 1?1=0， 解得k 1=1±√2， 综上可得，直线l 1的斜率为1±√2． 【考点】 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】 （1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有{3 a 2+ 14b 2 =1 1a 2 +3 4b 2=1 ，解可得1a 2、1 b 2的值， 即可得椭圆的方程； （2）设直线l 1:y =k 1x ?1，与直线y =x 联立方程有{ y =k 1x ?1 y =x ，可得E 的坐标，设直线l 2:y =?1 k 1 x ?1，同理可得F 的坐标，又由OE =OF ，所以|1k 1?1|=|1 ?1k 1 ?1|， 解可得k 的值，即可得答案． 【解答】 解：(1)根据题意，椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√3,1 2)，(1,√3 2 )， 则有{3 a +1 4b =1,1a 2+34b 2=1, 解得{1 a =1 4,1 b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为 x 24 +y 2=1. (2)由题意知A(0,??1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零， 设直线l 1:y =k 1x ?1，与直线y =x 联立方程有{ y =k 1x ?1 y =x ， 得E(1 k 1?1 , 1 k 1?1 )， 设直线l 2:y =?1 k 1 x ?1，同理F(1?1k 1 ?1,1 ?1k 1 ?1)， 因为OE =OF ， 所以|1 k 1?1|=|1 ?1k 1 ?1|， ①1k 1?1=1 ?1k 1 ?1，k 1+1 k 1 =0无实数解； ②1k 1?1=?1 ?1k 1 ?1，k 1?1 k 1 =2，k 12?2k 1?1=0， 解得k 1=1±√2， 综上可得，直线l 1的斜率为1±√2． 【答案】 解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π?∠AQC =π? 2π3 =π 3 ， 所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2?θ=π2?π3=π 6， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?π6 )， 所以√3sinα=sin(π?α?π6)=sin(5π 6?α)， 则√3sinα=sin 5π6 cosα?cos 5π6 sinα =1 2cosα+ √3 2 sinα， 所以√3sinα=cosα， 因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√3 3 ，得α=π 6. (2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π 2?θ， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?(π2 ?θ))， 所以√3sinα=sin(π?α?(π 2?θ)) =sin(π 2?(α?θ))， 从而(√3?sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3?sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=√3?sinθ ， 记f(θ)= √ 3?sinθ ，f ′(θ)=√3sinθ(√3?sinθ) 2， θ∈(0,π 2)， 令f ′(θ)=0，sinθ=√33 ，存在唯一θ0∈(0,π 2)使得sinθ0=√3 3 ， 当θ∈(0,?θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π 2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大， 又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√3 3 ． 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√3 3 ． 【考点】 利用导数研究函数的最值 两角和与差的正弦公式 利用导数研究函数的单调性 正弦定理 【解析】 （1）根据题意，设∠OPQ =α，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ，变形可得√3sinα=sin 5π6 cosα?cos 5π6 sinα=1 2cosα+ √3 2 sinα，所以√3sinα=cosα，由同角三角函数基 本关系式分析可得答案； （2）设∠OPQ =α，在△OPQ 中，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ，变形可得(√3?sinθ)sinα=cosαcosθ，即tanα= √ 3?sinθ ，记f(θ)=√ 3?sinθ ，求导可得f ′ (θ)=√3sinθ(√3?sinθ)2 ，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案． 【解答】 解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π?∠AQC =π? 2π3 =π 3， 所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2?θ=π2?π3=π 6， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?π6 )， 所以√3sinα=sin(π?α?π6)=sin(5π 6?α)， 则√3sinα=sin 5π6 cosα?cos 5π6 sinα =1 2cosα+ √3 2 sinα， 所以√3sinα=cosα， 因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√3 3 ，得α=π 6. (2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π 2?θ， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ， 即√3sinα=3 sin(π?α?(π2 ?θ))， 所以√3sinα=sin(π?α?(π 2?θ)) =sin(π 2?(α?θ))， 从而(√3?sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3?sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=3?sinθ ， 记f(θ)= √ 3?sinθ ，f ′(θ)=√3sinθ(√3?sinθ) 2， θ∈(0,π 2)， 令f ′(θ)=0，sinθ=√33 ，存在唯一θ0∈(0,π 2)使得sinθ0=√3 3 ， 当θ∈(0,?θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π 2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大， 又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√3 3． 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√3 3 ． 【答案】 解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0,?+∞)． 当a =0，b =?2，f(x)=x 3?2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立， ∴ x 3?2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx ?x 3+2x ． 令φ(x)=lnx ?x 3+2x ， 则φ′(x)=1 x ?3x 2+2 = 1+2x?3x 3 x = (1?x)(1+3x+3x 2) x ， 令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0,?1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1,?+∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1． (2)①当b =?3时，f(x)=x 3+ax 2?3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax ?3， 由题意，f ′(x)=3x 2+2ax ?3≤0对x ∈(?1,?1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a ?3≤0,f ′(?1)=3?2a ?3≤0, ∴ a =0，即实数a 的值为0， ②函数y =?(x)的定义域为(0,?+∞)， 当a =0，b =?3，c =2时，f(x)=x 3?3x +2， f ′(x)=3x 2?3，令f ′(x)=3x 2?3=0，得x =1， 对于g(x)=lnx ， 当x ∈(0,?1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，g(x)>0， ∴ 当x ∈(0,?1)时，?(x)=f(x)>0，当x =1时，?(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，?(x)>0． 故函数y =?(x)的值域为[0,?+∞)． 【考点】 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 分段函数的应用 【解析】 （1）根据题意，f(x)≥g(x)恒成立，即x 3?2x +c ≥lnx 恒成立，变形可得c ≥ lnx ?x 3+2x ，令φ(x)=lnx ?x 3+2x ，对其求导，利用函数的导数与函数的单调性分析可得[φ(x)]max =φ(1)=1，分析可得c 的范围； （2）①，当b =?3时，f(x)=x 3+ax 2?3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax ?3．利用函数的导数与函数的单调性分析可得f ′(x)=3x 2+2ax ?3≤0对x ∈(?1,?1)恒成立，即可得{f ′(1)=3+2a ?3≤0 f ′ (?1)=3?2a ?3≤0 ，解可得a 的值，即可得答案； ②，由①的结论，当a =0，b =?3，c =2时，f(x)=x 3?3x +2，利用函数的导数与函数的单调性分析可得当x ∈(0,?1)时，f(x)>0，当x =1时，f(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，f(x)>0，g(x)=lnx ，当x ∈(0,?1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1,?+∞)时，g(x)>0，结合函数?(x)的解析式，分析可得答案． 【解答】 解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0,?+∞)． 当a =0，b =?2，f(x)=x 3?2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立， ∴ x 3?2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx ?x 3+2x ． 令φ(x)=lnx ?x 3+2x ， 则φ′(x)=1 x ?3x 2+2 = 1+2x?3x 3 x = (1?x)(1+3x+3x 2) x ， 令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0,?1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1,?+∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1． (2)①当b =?3时，f(x)=x 3+ax 2?3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax ?3， 由题意，f ′(x)=3x 2+2ax ?3≤0对x ∈(?1,?1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a ?3≤0,f ′(?1)=3?2a ?3≤0, ∴ a =0，即实数a 的值为0， ②函数y =?(x)的定义域为(0,?+∞)， 2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上， cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值； 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否 数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效---------------- 2018年高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞） 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，） 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞）D．[1，+∞） 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（） A．B．C．D． 9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3 10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（） A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为． 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a 的值为． 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为． 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是． 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B， 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （新课标 III 卷） 文 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{} 012，， 1．答案：C 解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C. 2．()()12i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i + 2．答案：D 解答：2 (1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D. 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中 木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 3．答案：A 解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．若1 sin 3 α=，则cos 2α=（ ） A ．89 B ． 79 C ．79 - D ．89- 4．答案：B 解答：2 27 cos 212sin 199 αα=-=- =.故选B. 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 5．答案：B 解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．函数 ()2tan 1tan x f x x = +的最小正周期为（ ） A ． 4 π B ． 2 π C ．π D ．2π 6．答案：C 解答： 22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x x x x x f x x x x x x x x x == ===+++ ，∴()f x 的周期22 T π π= =.故选C. 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．() ln 2y x =+ 7．答案：B 解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B. 8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（ ） 2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上， f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC． 2018年高考江苏卷 地理试题 一、选择题（共60分） （一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 公元399年～412年，僧人法显西行求法，游历三十余国，其旅行见闻《佛国记》是现存最早关于中国与南亚陆海交通的地理文献。图1为“法显求法路线示意图”。读图回答下列小题。 1. 《佛国记》中有“无冬夏之异，草木常茂，田种随人，无有时节”的记载，其描述的区域是 A. 印度河上游谷地 B. 帕米尔高原 C. 斯里兰卡沿海平原 D. 塔里木盆地 2. 法显从耶婆提国乘船返回中国最适合的时间是 A. 1月～5月 B. 5月～9月 C. 9月～12月 D. 11月～次年3月 【答案】1. C 2. B 【解析】 1. 根据题干所述“无冬夏之异”，说明该地区全年气温差异不大，再结合该地区“草木常茂，田种随人， 无有时节”可以推断，该地区全年气温较高，且降水丰富。印度河上游谷地位于喜马拉雅山区，海拔较高，不会草木常茂，A项错误；帕米尔高原深居内陆，且海拔较高，冬季漫长，气温较低，B项错误；斯里兰卡沿海平原地势平坦，且为季风气候，全年高温，降水丰富，符合《佛国记》的叙述，故C项正确；塔里木盆地降水少，且气温年变化大，不可能草木常茂。 2. 古代船只主要是帆船，其航行的动力来自于盛行风，从耶婆提返回中国，一路向东北前行，最适合的是遇到西南风，可以顺风而行，东南亚地区吹西南风的季节是每年的夏半年，即5～9月这段时间，故B项正确，A、C、D项错误。 图2为“某地二分二至日太阳视运动示意图”。读图回答下列小题。 3. 线①所示太阳视运动轨迹出现时的节气为 A. 春分 B. 夏至 C. 秋分 D. 冬至 4. 该地所属省级行政区可能是 A. 琼 B. 新 C. 苏 D. 赣 【答案】3. D 4. B 【解析】 3. 根据太阳视运动图，二分二至，太阳高度角最高的时候，太阳方位都位于该地的正南方向，所以该地区位于北回归线以北，①所示节气，日出东南方向，日落西南方向，此时太阳直射南半球，所以其太阳视运动轨迹出现的节气为冬至。故D项正确，A、B、C项错误。 4. 根据①所示太阳视运动图和第1问可知，该地冬至日的正午太阳高度角约为23°，又因为该地位于北回归线以北，可以假设当地纬度为α，则冬至日该地的正午太阳高度角公式为：23°=90°-（α+23.5°），该地纬度约为43.5°N，琼、新、苏、赣四个省级行政区，琼、苏、赣三省的纬度均低于40°N，43.5°N 横穿新。故B选项正确，A、C、D项错误。 2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 2018年江苏省高考说明－数学科 一、命题指导思想 2018年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度. 1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查 对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查. 2．重视数学基本能力和综合能力的考查 数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力. （1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合. （2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断. （3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性. （4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算. （5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题. 数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题. 3．注重数学的应用意识和创新意识的考查 数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决. 创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题. 二、考试内容及要求 数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）. 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）. 了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题. 2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ． 温馨提示：全屏查看效果更佳。 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4 页，包含非选择题（第1 题~ 第20 题，共20 题）.本卷满分为160 分， 考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。 5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、填空题：本大题共14 小题，每题5 小分，共计70 分。请把答案填写在答题卡相应 位置上。 1.已知集合A={ 0, 1, 2, 8} , B ={ -1, 1, 6, 8} ,那么A ?B =. 2.若复数z 满足i ?z =1+ 2i ,其中i 是虚数单位,则z z 的实部为. 3.已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5 位裁判打出的分数的平均数为. 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为. 5.函数f (x)= 的定义域为. log 2 -1 -=>> ? 为直径的圆与直线交于另一点D ,若AB CD = 0 ,则点A 的横坐标为. 6.某兴趣小组有2 名男生和3 名女生,现从中任选2 名学生去参加活动,则恰好选中2 名女生 的概率是. 7.已知函数y =sin(2x +)(-<< 2 2 ) 的图像关于直线x = 对称,则的值是 3 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 x a2 y2 b2 1(a 0, b 0) 的右焦点F (c, 0) 到一条渐 近线的距离为 c ,则其离心率的值是. 2 9.函数f (x) 满足f (x + 4) = ? cos x , 0 2018年天津高考数学真题（附答案解析） 1.选择题(每小题5分，满分40分)：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. A. B. C. D. 2. A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. A. B. C. D. 6. 7. A. A B. B C. C D. D 8. A. A B. B C. C D. D 填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。） 9.. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 10. 11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为____. 12.已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为____. 13.已知，且，则的最小值为____. 14.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是____. 简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。） 15..解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （本小题满分13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小； （II）设a=2，c=3，求b和的值. 16. (本小题满分13分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ 2018年江苏高考数学真题及答案 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 锥体的体积1 3 V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．． ． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()2 2 y x ??π π=+-<<的图象关于直线3 x π = 对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一 3 ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2 ()1||,20,2 x x f x x x π?<≤??=? ?+<≤??-则((15))f f 的值为 ▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． （第3题） 2018年江苏高考数学全真模拟试卷（1） 试题Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．． ． 1．已知集合{}1A =，{}1,9B =，则A B =U ▲ ． 2．如果复数 2i 12i b -+（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，那么b = ▲ ． 3．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，样 本容量为400，检测结果的频率分布直方图如图 所示．根据产品标准可知：单件产品的长度在区间 ［25，30）内的为一等品，在区间［20，25）和［30， 35）内的为二等品，其余均为三等品．那么样本中 三等品的件数为 ▲ ． 4．执行下面两段伪代码． 若Ⅰ与Ⅱ的输出结果相同，则Ⅱ输入的x 的值为 ▲ ． 5．若将一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程220x mx n ++=无实数根的概率是 ▲ ． 6．如图1，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，则 AEC BEC S AC S BC ??=．将这个结论类比到空间：如图2，在三棱锥A BCD -中，平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于点E ，则类比的结论为 ▲ ． 7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．已知集合{} ()0A x x x a =-<，{ } 2 7180B x x x =--<．若A B ?，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数2 4()2. x x a f x x x x a + 2018年普通高等学校招生全国统一考试(卷) 数学Ⅰ 1． 已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么_____=B A I 2． 若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_____ 3． 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位 裁判打出的分数的平均数为_____ 4． 一个算式的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______ 5． 函数1log )(2-=x x f 的定义域为______ 6． 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中选2名学生去参加， 则恰好有2名女生的概率为_______ 7． 已知函数)22)(2sin(π?π?<<-+=x y 的图象关于直线3 π =x 对称，则?的值是______ 8． 在平面直角坐标系xOy 中．若双曲线0)b 0(122 22>>=-，a b y a x 的右焦点F(c ，0)到一 条渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是_____ 9． 函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R)，且在区间]2,2(-上，??? ??? ?≤<-+≤<=,02,21 ,20,2cos )(x x x x x f π则))15((f f 的值为______ 10． 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为_______ 11． 若函数)(12)(2 3 R a ax x x f ∈+-=在),0(+∞有且只有一个 零点，则)(x f 在[－1，1]上的最大值与最小值的和为_______ 12． 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限的点，B (5，0)，以 8 99 9 011 (第3题) I ←1 S ←1 While I<6 I ←I+2 S ←2S End While Pnint S (第4题) 2018年江苏省无锡市高考数学一模试卷 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则? U M= ． 2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ． 3．函数f（x）=的定义域为． 4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为． 6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为． 9．设等比数列{a n }的前n项和为S n ，若S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列．且a 2 +a 5 =4，则 a 8 的值为． 10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为． 11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为． 12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= ． 13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为． 14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为． 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且 A﹣B= （1）求边c的长； （2）求角B的大小． 16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，侧面AA 1 C 1 C是菱形，AC 1 与A 1 C交于点O， E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC 1B 1 （1）求证：E是AB中点； （2）若AC 1⊥A 1 B，求证：AC 1 ⊥BC． 17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l． （1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）； （2）问当α为何值时l最小？并求最小值． 绝密★启用前 2019年09月01日xx 学校高中数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 总分 得分 评卷人 得分 一、填空题 1.已知集合=-{1,1,6,8}A B ,那么A B ?=__________. 答案：{} 1,8 解析：观察两个集合即可求解。 2.若复数z 满足i 12i z ?=+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为__________. 答案：2 解析：因为i 12i z ?=+，所以12i 2i i z += =-，则z 的实部为2. 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________. 答案：90 解析： 8989909191 905 ++++= 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为__________. 答案：8 解析：代入程序前1 1I S =?? =?符合6I <, 第一次代入后3 2I S =??=? ,符合6I <,继续代入； 第二次代入后5 4I S =?? =?,符合6I <,继续代入; 第三次代入后7 8I S =??=? ,不符合6I <,输出结果8S =, 故最后输出S 的值为8. 5.函数2()log 1f x x =-__________. 答案：[)2,+∞ 解析：2log 10 0x x -≥?? >? ,解之得2x ≥,即[)2,+∞. 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女 生的概率为__________. 答案： 310 解析：假设3名女生为,,a b c ,男生为,d e ,恰好选中2名女生的情况有:选a 和b ,a 和 c ,b 和c 三种。 总情况有a 和b ,a 和c ,a 和d ,a 和e ,b 和c ,b 和d ,b 和e ,c 和d ,c 和e ,d 和e 这10 种,两者相比即为答案3 10 7.已知函数sin(2)()2 2 y x π π ??=+-<< 的图象关于直线3 x π = 对称,则?的值是 __________. 答案：6 π- 解析：函数的对称轴为+k 2 π π ()+k 2 k Z π π∈, 故把3 x π =代入得 2,326 k k πππ ?π?π+=+=-+ 因为2 2 π π ?- << ,所以0,6 k π ?==- . 8在平面直角坐标系中,若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ,则其离心率的值是 .2018江苏高考数学试卷与解析
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