高三文科数学一轮复习
《导数的应用（一）函数的单调性》教学设计
（一）、教材分析
导数是高中数学新增内容，它在解决数学有关问题中起到工具的作用，导数的应用是高考的必考内容。作为高三总复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.利用导数判断单调性起着基础性作用，能够培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力；激发学生独立思考和创新的意识，开发学生的自我潜能。
（二）、高考要求：
了解函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求
函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）
（三）、学习重点：
能利用导数求函数的单调区间
（四）、学习难点：
已知函数的单调性求参数的取值范围
（五）、课型：复习课
（六）、教法：讲练结合
（七）、课时安排：1课时
教学设计
知识梳理
1.函数的单调性与导数
”殛词T AV）在的）内I
在他切内『㈤好小于零卜在但劝内1
词+『优）在（码耐内是常数I
2.函数的极值与导?数⑴函数的极小值若函数y=f（x）在点x= a处的函数值f（a）
比它在点x= a附近其他点的函数值
____ ，且f' （a） = 0,而且在点x= a附近的左侧__________ ，右侧_________ 则点a叫做函数的极小值点，f（a）叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值若函数y=f（x）在点x= b处的函数值f（b）比它在点x= b附近其他点的函数值
____ ，且f' （b） = 0,而且在点x= b附近的左侧__________ ，右侧_________ 贝U 点
b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函■数的极大值， _________ 和 ______ 称为极值.
［设计意图］复习函数单调性的求法；函数极值的定义。通过复习让学生熟悉 单调性和极值的定义，巩固旧知。
二、问题探究
1 .如何利用导数求单调区间和极值？
2. 若函数f(x)在(a ，b)内单调递增，那么一定有f ‘ (x)>0吗？ f ‘ (x)>0 是否是f(x)在(a ，b)内单调递增的充要条件？
【设计意图】通过这两个问题由“定义”至厂'通法”，由“感性”至厂'理性”， 总结利用导数求单调区间和极值的通法， 启发学生发现问题，并培养学生发现问 题的意识。
三、基础自测
1. (2015辽宁高考)函数y=Qx 2
— In x 的单调递减区间为(
).
A . (— 1,1] C. [1，+ X) 2. (2016 年
全
卷)函数f(x) = 3x 3
— ax 2
+ x — 5在区间［1,2］上单调递增，则a 的取值范围是( (—X ，5)
B. ( — X ，5]
C. —X ，37
D. (— X ，3]
【设计意图】通过两个简单的例题，也是两道高考题，学生对该节高考所要考 察的重要内容有了一定的认识，增强学生的学习自信和学习热情。
四、典例分析:
［例］a € R ，函数f(x) = (— X 2 + ax)e — x ，(x € R ，e 为自然对数的底数)
⑴当a= — 2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2) 若函数f(x)在(一1,1)内单调递减，求a 的取值范围；
(3) 函数f(x)是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请 说明理由.
(设计意图：意图1:函数单调区间的求法；意图2:已知函数的单调区间, 求参数
的取值范围)
解析：⑴当a= — 2时，f(x)= (— X 2— 2x)e —x .
B? (0,1] D . (0，+X)
)A.
??? f' (x)=(X 2— 2)e —x . 令f' (x)<0,得X 2 — 2v0. —\/2< x< ^^2.
???函数的单调递减区间是(—\^,羽). (注：写成[—/2,/2]也对) ⑵??? f(x) = (— x 2 + ax)e —x ,
? f' (x)= (— 2x+ a)e x
+ (— x 2
+ ax)( — e x
) = [x 2
— (a + 2)x + a]e x
. 要使f(x)在(—1,1)上单调递减，则f' (x)<0对x € (— 1,1)都成立， ? x 2
— (a + 2)x + a W 0对x € (— 1,1)都成立. C g — 1 < 0,
令 g(x) = x 2 — (a+2)x + a,贝 U
g 1 < 0.
1+ a + 2 + a< 0, 3
…aw — T
1— a + 2 + aW 0.
2
(3)①若函数f(x)在R 上单调递减，则f' (x)<0对:^€ R 都成立. 即[x 2 — (a + 2)x + a]e —x < 0对x € R 都成立.
??? e — x >0,二 x 2 — (a + 2)x + a<0对x € R 都成立. 令 g(x) = x 2 — (a+2)x + a,
???图像开口向上，?不可能对x € R 都成立. 思维启迪
1.导数法求函数单调区间的一般流程：
2 .已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'(X)>0(或 f' (x)< 0), x € (a, b),转化为不等式恒成立问题求解. 变式训练1:
1a
1
已知函数f(x) 1nx ax -------- 1(a
R).当aW-时，讨论f (x)的单调性.
x
2
求定义域 求导数f' x
②当0
综上所述:
增;
2时，函数f(X)在(0,
1 1
a —时，f (X)在(0, 1) 上单调递减；f(x)在(1,— 1)上单调递增;
2 a
解:
f'(x) 1
a
坐厶
X X X X (0,),
令 g(x) 2
ax
X 1 a, X (0,
),
(1)当 a 0时,h(x) X 1, X
(0,
所以，当X (0,1)时,h(x) 0,此时 f(X) 函数f(x)单调递减; X (1, )时，h(x) 0,此时 f(X)
0,函数f(x)单调递
(2)当 a 0 时，由 f (x)=0 即 ax 2 X 1 a 0 ,解得 X 1 1,X 2
①当a
1
时
，X
1
X 2,h(x) 0恒成立，此时 f (x) 0,函数
f(x)在(0, +X)上单调递减;
(0,1)时，h(x) 0,此时f (x) 0,函数f (x)单调递减; 1
(1- 1)时，h(x) a (—
1,)时,h(x) a
0,此时f(X)0,函数f(x)单调递增; 0 ,此时f(X)0 ,函数f (x)单调递减;
1
③当a 0时，由于一 a
X (0,1)时，h(x) 0, 此时f (x) 0 ,函数f (x)单调递减; X (1,)时，h(x) 0,此时
f (X) 0 ,函数f (X)单调递增。
0 时，f (X)在(0,1)
上单调递减；f (x)在(1,+x)上单调递
+X)上单调递减;
f (3) 17 1,结合f(X)的单调性可知， m 的取值范围是(3,1)。
函数f (X)在(- 1,)上单调递减,
a
例2、(2009年陕西高考)已知函数f(x) X 3 3ax 1,a 0 求f(X)的单调区间;
的交点，求m 的取值范围。
(x) 0 解得 T a X T a ，
(2)Q f (X)在X
1处取得极大值,
' 2
f ( 1) 3(1) 3a 0, a 1. f(x) X 3 3x 1, f (X) 3x 2 3,
f (X) 0 解得 X 1
1,X 2 1。
X 1处取得极小值f(1)
直线y m 与函数y f (X )的图象有三个不同的交点，
若f (X)在X
1处取得极值, 直线y=m 与y f(x)的图象有三个不同
解：(1)f
(X) 3X 2 3a 3(X 2
a),
0时，对 X R ，有 f '(X) 0,
a 0时,
f(X)的单调增区间为(
0时，由 f (X ) 0解得X
T a 或X
当a 0时，f(X)的单调增区间为(
,
V a),^/
a,)
；
f(X)的单调减区间为
(1)中f (x)的单调性可知，f (x)在X
1处取得极大值f( 1) 1，
又 f( 3)
19 3，
设计意图：意图 1：函数单调区间和极值的求法；意图 2：已知函数的单
调区间，求参数的取值范围；意图 3：分类讨论思想和函数思想的应用；意图 4： 让学生了解高考的动向，克服畏惧心理，提高学生学习数学的兴趣） 练习、（浙江高考） 已知函数 f （X ） X 3
（1 a ）X 2 a （a 2）X b （a,b R ）．
（I ）若函数f （X ）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是
3，求a,b 的值;
（n ）函数f （x ）在区间（1,1）不单调，等价于
导函数f （X ）在（1,1）既能取到大于0的实数，又能取到小于 0的实数 即函数f （X ）在（1,1）上存在零点，根据零点存在定理，有
f ( 1) f (1) 0， 即： [3 2(1 a) a(a 2)][ 3 2(1 a) a(a 2)]
2
整理得： (a 5)(a 1)(a 1)2
0，解得 5 a 1
设计意图：意图 1：函数切线的求法；意图 2：已知函数的单调区间，
求参数的取值范围，更好的巩固本节所学内容， 提高学生解决问题的能力， 让学 生在解
决问题的过程中获得成就感， 从而更好的喜欢数学， 激发学生的学习兴趣 和热情。）
课堂小结（学生小结）：
1、 利用导数研究函数的单调性时， 应注意哪些问题？
2、 已知函数的单调性，如何求有关参数的取值范围？
3、 如何求函数的极值？函数的单调性与极值的关系？
反思
根据高考命题的特点，出题方向注重数学思想的考查和对知识的综合应用能 力考查，尤其在解答题中表现的最为突出。 他常在知识点的交汇处结合数学中的 一些常用思想综合考虑来出题目。 所以在解决此类问题中，注重学生对思想方法 的思考与运用，在解答过程也要注意规范性， 并要对计算能力一定要加强。因为 从以往的考试和练习中，大部分学生都有“会而不对，对而不全”的情况。所以 在教学过程中培养学生用化归（转化）思想处理数学问题的意识.数学问题可看 作是一系列的知识形成的一个关系链.处理数学问题的实
（II ）若函数f （x ）在区间（ 解析：（I ）由题意得f （X ）
1,1）上不．单．调．，求 a 的取值范
围．
3X 2 2（1 a ）X a （a 2）
又 f (0) b 0 f (0)
a(a 2) 3，解得b 0，a 3或a 1
质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。