习题八
8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷
2
2
2
0)
3
3
(
π4
1
30
cos
π4
1
2
a
q q
a
q'
=
?
ε
ε
解得q
q
3
3
-
='
(2)与三角形边长无关．
题8-1图题8-2图
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解:如题8-2图示
??
?
?
?
=
=
=
2
2
)
sin
2(
π4
1
sin
cos
θ
ε
θ
θ
l
q
F
T
mg
T
e
解得θ
πε
θtan
4
sin
2
mg
l
q=
8-3 根据点电荷场强公式
2
4r
q
E
πε
=，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: 02
0π4r r q E
ε=
仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电
荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =
2
024d q πε,又有人
说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S
q 02
ε．试问这两种说法对吗?为什么?
f 到底应等于多少?
解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S
q
E 0ε=
看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S
q E 02ε=
，另一板受它的作用力
S
q S q
q f 02
022εε=
=，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r
与l
的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为
r E =
302cos r p πεθ, θ
E =3
04sin r p πεθ
证:如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r
的分量
θsin p ．
∵l r >>
∴场点P在r方向场强分量
3
π2
cos
r
p
E
rε
θ
=
垂直于r方向，即θ方向场强分量
3
0π4
sin
r
p
E
ε
θ
=
题8-5图题8-6图
8-6 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C·m-1的
正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距
1
a=5.0cm处P点的场强；
(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距
2
d=5.0cm处Q点的场强．
解：如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元x d，其上电量q d在P点产生场强为
2
)
(
d
π4
1
d
x
a
x
E
P-
=
λ
ε
2
2
2
)
(
d
π4
d
x
a
x
E
E
l
l
P
P-
=
=?
?
-
ε
λ
]
2
1
2
1
[
π4
l
a
l
a+
-
-
=
ε
λ
)
4(
π2
2
l
a
l
-
=
ε
λ
用15
=
l cm，9
10
0.5-
?
=
λ1
m
C-
?, 5.
12
=
a cm代入得
21074.6?=P E 1C N -?方向水平向右
(2)同理
22
20d d π41d +=
x x
E Q λε方向如题8-6图所示
由于对称性?
=l Qx
E 0d ，即Q E
只有y 分量，
∵22
2
222
20d
d d d π41d ++=
x x x E Qy
λε
2
2π4d d ελ?==l
Qy
Qy E E ?
-+22
2
3
222)
d (d l
l x x
2
2
2
0d
4π2+=
l l
ελ
以9
10
0.5-?=λ1cm C -?,15=l cm ,5d 2=cm 代入得
21096.14?==Qy Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向
8-7一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．
解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =
题8-7图
?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 2
0π4d d R
R E ε?
λ=
方向沿半径向外