八年级上册第二章 特殊三角形
一、将军饮马
例1 如图,在正方形ABCD 中,AB=9,点E 在CD 边上,且DE=2CE ,点P 是对角线AC 上的一个动点,则PE+PD 的最小值是( )
A 、3√10
B 、10√3
C 、9
D 、9√2 【变式训练】
1、如图,在矩形ABCD 中,AD=4,∠DAC=30°,点P 、E 分别在AC 、AD 上,则PE+PD 的最小值是( ) A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、8√3
3
2、如图,∠AOB=30°,P 是∠AOB 内一定点,PO=10,C ,D 分别是OA ,OB 上的动点,则△PCD 周长的最小值为
3、如图,∠AOB=30°,C ,D 分别在OA ,OB 上,且OC=2,OD=6,点C ,D 分别是AO ,BO 上的动点,则CM+MN+DN 最小值为
4、如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B ,D 作AB ⊥BD ,DE ⊥BD ,连结AC ,CE . (1)已知AB=3,DE=2,BD=12,设CD=x .用含x 的代数式表示AC+CE 的长; (2)请问点C 满足什么条件时,AC+CE 的值最小?并求出它的最小值;
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式√x 2+4+√(8?x )2+16的最小值
二、等腰三角形中的分类讨论
例2(1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ,则它的周长为
(2)已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ,则它的腰长为 (3)已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ,则它的底边为 【变式训练】
1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ,则周长为
2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,则它的各个内角的度数为
3、已知等腰三角形的一个外角等于150°,则它的各个内角的度数为
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,则它的各个内角的度数
5、已知等腰三角形底边为5cm ,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ,则腰长为
6、在三角形ABC 中,AB=AC ,AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°,则底角∠B 的度数为
E
B
C A
D
P
第2题 B
O
A
P
C
D
第1题 B
O
A
C
N
第3题
D E
y =?3
4x +6 7、如图,A 、B 是4×5的网格中的格点,网格中每个小正方形的边长都是单位1,请在图中清晰地标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置
三、两圆一线定等腰
例3在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (2,3),在坐标轴上找一点P ,使得△AOP 是等腰三角形,则这样的点P 共有 个 【变式训练】
1、在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (1,√3),在坐标轴上找一点P ,使得△AOP 是等腰三角形,则符合条件的点P 的个数为( )
A .5
B .6
C .7
D .8
2、在平面直角坐标系中,若点A (2,0),点B (0,1),在坐标轴上找一点C ,使得△ABC 是等腰三角形,这样的点C 可以找到 个.
3、在坐标平面内有一点A (2,?√3),O 为原点,在x 轴上找一点B ,使O ,A ,B 为顶点的三角形为等腰三角形,写出B 点坐标
4、平面直角坐标系中,已知点A (4,2),B (4,-3),试在y 轴上找一点P ,使△APB 为等腰三角形,求点P 的坐标
5、如图1,已知一次函数 分别与x 、y 轴交于A 、B 两点,过点B 的直线BC 交x 轴负半轴
与点C ,且OC=1
2OB .
(1)求直线BC 的函数表达式;
(2)如图2,若△ABC 中,∠ACB 的平分线CF 与∠BAE 的平分线AF 相交于点F ,求证:∠AFC=1
2∠ABC ; (3)在x 轴上是否存在点P ,使△ABP 为等腰三角形?若存在,请直接写出P 点的坐标;若不存在,请说明理由
A
B
x
y
O
四、折叠问题 例4:如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使得点D 落在线段BC 的点F 处,则线段DE 的长为
【变式训练】
1、如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使得点B 落在对角线AC 的点F 处,则线段BE 的长为
2、如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,沿EF 将矩形折叠,使A 、C 重合,若,则折痕EF 的长为
3、如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,沿AC 将矩形折叠,使得点B 落在点E 处,则线段EF 的长为
4、如图,将边长为4的正方形纸片,置于平面直角坐标系内,顶点A 在坐标原点,AB 在x 轴正方向上,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,M 在DC 上,将△ADM 沿折痕AM 折叠,使点D 折叠后恰好落在EF 上的P 点处.
(1)求点M 、P 的坐标;
(2)求折痕AM 所在直线的解析式;
(3)设点H 为直线AM 上的点,是否存在这样的点H ,使得以H 、A 、P 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出点H 的坐标;若不存在,请说明理由.
例5 如图,在△ABC 中,BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线. (1)如果BD=CE ,那么△ABC 是等腰三角形,请说明理由;
(2)如果∠A=60°,取BC 中点F ,连结点D 、E 、F 得到△DEF ,请判断该三角形的形状,并说明理由;
E D C A B F
E F D C A B 第1题 E F G D C A B 第2题 F
E D C A
B 第3题
(3)如果点G是ED的中点,求证:FG⊥DE
【变式训练】
1、如图,点M是Rt△ABC斜边BC的中点,点P、Q分别在AB、AC上,且PM⊥QM.
(1)如图1,若P、Q分别是AB、AC的中点,求证:PQ2=PB2+QC2;
(2)如图2,若P、Q分别是线段AB、AC的动点(不与端点重合)(1)中的结论还成立吗?若成立请给与证明,若不成立请说明理由
2、问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)填空:∠AEB的度数为;
拓展探究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,点M为AB的中点,连接BE、CM、EM,求证:CM=EM.
全等之三垂直(K 型图)
例1 如图,已知AC ⊥CF ,EF ⊥CF ,AB ⊥BE ,AB=BE 求证:AC=BF,BC=EF
1、如图,已知,AC ⊥CF ,EF ⊥CF ,AB ⊥CE ,AC=CF 求证:AB=CE
2、已知,AC ⊥CF ,EF ⊥CF ,AG ⊥CE ,AG=CE 求证:AG=CF
3、如图: 已知,AE ⊥BD ,CD ⊥BD ,∠ABC=90°,AB=AC ,求证:AE=BD ,BE=CD
4、如图,点A 是直线 在第一象限内的一点;连接OA ,以OA 为斜边
向上作等腰直角三角形OAB ,若点A 的横坐标为4,则点B 的坐标为
5、已知:如图,点B,C,E 在同一条直线上,∠B=∠E=60°,∠ACF=60°,且AB=CE 证明:△ACB ≌△CFE
全等之手拉手模型
例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: (1) △ABE ≌△DBC (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。
(4) △AGB ≌△DFB
y =12
x +3 E
A
B D C
G
F
E
C A
B
G
E
A
60°
60°
60°
A E
H F G
E
D
(5)△EGB≌△CFB
(6)BH平分∠AHC
(7)GF∥AC
1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
3、如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H
问:(1)△ADG≌△CDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分∠AHE?
4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H. 问(1)△ADG≌△CDE是否成立?
(2)AG是否与CE相等?
(3)AG与CE之间的夹角为多少度?
(4)HD是否平分∠AHE?
5、两个等腰三角形ABD与BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a
连接AE与CD.
问(1)△ABE≌△DBC是否成立?
(2)AE是否与CD相等?
(3)AE与CD之间的夹角为多少度?
(4)HB是否平分∠AHC?
钢架中的等腰三角形
例 1 如图钢架中,∠A=10°,焊上等长的钢条来加固钢架.若
AB=BC=CD=DE…一直作下去,那么图中这样的钢条至多需要根
1、如图钢架中,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5…至多需要8根加固钢架,若P1A=P1P2,则∠A= .
2、如图钢架BAC中,焊上等长的钢条来加固钢架,若P1A=P1P2,量得
∠BP5P4=100°,则∠A=()度.
A.10 B.20 C.15 D.25
3、如图钢架BAC中,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5来加固钢架,若P1A=P1P2,则∠A的取值范围.
4、如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若
AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是H G
A D
C
E
H
D
A
B
C
E