习题11
11-1．直角三角形ABC 的A 点上，有电荷C 108.191-?=q ，B 点上有电荷
C 108.492-?-=q ，试求C 点的电场强度(设0.04m BC =，0.03m AC =)。
解：1q 在C 点产生的场强：1
12
04AC
q E i r πε=
，
2q 在C 点产生的场强：2
22
04BC
q E j r =
， ∴C 点的电场强度：4412 2.710 1.810E E E i j =+=?+?
；
C
点的合场强：43.2410V
E m
==?，
方向如图： 1.8
arctan
33.73342'2.7
α=== 。 11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环，两端间空隙为cm 2，电量为C 1012.39
-?的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为2 3.12l r d m π=-=，
∴电荷线密度：911.010q
C m l
λ--=
=??
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d 02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O 点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
2
1cos 4O x Rd dE R λθ
θπε=
?
，
∴2
000cos 2sin 2444O d E d R R R
α
α
λλλθθααπεπεπε-
=
=
?≈?=?1
0.72V m -=?； 解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r <<，该小段可看成点电荷：11
2.010q d C λ-'==?，
则圆心处场强：11
9
122
0 2.0109.0100.724(0.5)
O q E V m R πε--'
?==??=?。 方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强。
x
解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：
有：0
0(cos cos )42(sin sin )42Ax A y
E R E R λπππελπππε=-=-?
??????
②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：
有：0
0(sin sin )42(cos cos )42B x B y
E R E R λπππελπππε=-=-?
??????
③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
00
2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=??????=--?
?? ∴总场强：04O x
E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()4O E i j R
λ
πε=+ 。
或写成场强：0E =
=
，方向45
。
11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。
解：电荷元dq 产生的场为：2
04d q
d E R πε=
；
根据对称性有：0y d E =?
，则：
20
0sin sin 4x R d E dE d E R π
λθθθπε===???
02R
λ
πε=，
方向沿x 轴正向。即：02E i R
λπε=
。
11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλ?=，式中0λ为一常数，?为半径R 与x 轴
λ
x
y
E
所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。 解：如图，02
00sin 44d dl
dE R R
λ??λπεπε=
=， cos sin x y
dE dE dE dE ?
?==???
??考虑到对称性，有：0=x E ； ∴20000
0000sin (1cos2)sin 4428y d d E dE dE R R R
π
πλ??λλ??
?πεπεε-=====
???
?， 方向沿y 轴负向。
11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。 利用例11-3结论，有：3
322222
0024()
4(x dq r xdl
d E x r x r σππεπε?=
=
++
∴32
22
02cos sin 4[(sin )(cos )]
R R Rd dE R R σπθθθ
πεθθ???=
+，
化简计算得：2
1sin 2224E d πσ
σθθεε=
=?
，∴04E i σε=
。 11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设
原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，
当2
d
x ≤时，由12S E dS E S ?=??? 和2q x S ρ=?∑， 有：0
x
E ρε=
； 当2
d
x >
时，由22S E dS E S ?=???
和2q d S ρ=?∑，
有：0
2d
E ρε=
。图像见右。 11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)， 平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面
x
为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有22R d r +=，
球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r rd πθθ=?
∴球冠面的面积：200
cos 2sin 2cos d r
S r rd r θ
θπθθπθ
=
=
?=?
22(1)d
r r
π=-】
∵球面面积为：24S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：0
q
εΦ=
闭合球面，
由：
S S Φ=
Φ球冠球面球面
球冠
，∴001(1)(122d q q r εεΦ=
-?=球冠。
11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的
场强分布，并作E ~r 关系曲线。 解：由高斯定律
1
i S
S E dS q ε?=∑??
内
，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r ，长为l 的高斯面。
（1）当r R <时，20
2r l
r l E ρππε?=，有02E r ρε=；
（2）当r R >时，202R l r l E ρππε?=，则：2
02R r
E ρε=；
即：0
2
0()2()2r
r R E R r R r
ρερε???； 图见右。
11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。 解：利用高斯定律：
1
i S
S E dS q ε?=∑??
内
。
（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =；
（2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：202l r l E λπε=
，则：202E r
λπε=； （3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；
O
θ
r
即：1
1202
0?20E r R E r
R r R r E r R E λπε?=
?=<?
。 11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离
d O O ='，如图所示。求：
（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；
（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。
解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。
（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：
1
3043S E d S d ρπε?=?? ?00
3d
E ρε=，方向从O 指向O '； （2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定理有：
1
3043S E d S d ρπε?=?? ?10
3P d
E ρε=，方向从O 指向P ， 过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。根据高斯定理有： 23043S E d S r ρπε?=-?? ?32203P r E d ρε=-，
∴1
2
3
20()34P P r E E E d d
ρε=+=-，方向从O 指向P 。
11-12．设真空中静电场E 的分布为E cxi =
，式中c 为常量，求空间电荷的分布。
解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有：
0S
E d S cx S ?=????
由高斯定理：
1S
S E d S q ε?=
∑??
内
，
设空间电荷的密度为()x ρ，有：00
00
()x x Sd x cx S ρε???=
?
∴
00
()x x x d x cd x ρε=?
?，可见()x ρ为常数?0c ρε=。
11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为1R 和2R ，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点)
解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：tan
2
r x θ
=，环面圆宽：cos
2
d x d l θ
=
22tan 2cos 2
d x
dS r d l x θππθ=?=??
， 利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：
14U πε=
环，
有：0
02tan 2
cos
1tan 422d x
x dU d x θσπθσθπεε??
=
=?，
考虑到圆台上底的坐标为：11cot
2
x R =，22cot
2
x R θ
=，
∴U =210
tan 22x x d x σθε??21cot 2cot 02tan 22R R d x θ
θσθε=??210()2R R σε-=
。 11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。
解：利用高斯定律：01
S
S E dS q ε?=∑?? 内
可求电场的分布。
（1）r R <时，32
304Q r r E R
πε=?内；有：3
04Q r E R πε=内； （2）r R >时，2
04Q r E πε=外；有：2
04Q E r
πε=外； 离球心r 处（r R <）的电势：R
r r
R
U E dr E dr ∞
=
?+??
?外内，即：
3200
44R
r r R Q r Q U dr dr R r πεπε∞=?+???2
300388Q Q r R R πεπε=-。 11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，
当12R r R <<时，有：2
03132
031323)(4)
(3
4r R r r R r E ερπεπρ-=-=
，
当2r R >时，有：2
031322
0313
233)(4)
(3
4r
R R r R R E ερπεπρ-=-=
， 以无穷远处为电势零点，有：
2
1223R R R U E d r E d r ∞=?+??? ??∞-+-=2R dr r
R R dr r R r R R 203
1
32203133)(3)(21ερερ)(221220R R -=ερ。 11-16．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为110r cm =和220r cm =的两个同心球面上，设
无限远处电势为零，球心处的电势为V 3000=U 。
（1）求电荷面密度σ；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度σ'为多少？
（21212
0m N C 10
85.8---??=ε）
解：（1）当1r r <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，
x
cos
2
dx θ
当12r r r <<时，利用高斯定理可求得：2
122
0r E r σε=，
当2r r >时，可求得：221232
0()
r r E r σε+=，
∴212023r r r U E d r E d r ∞=?+???
21
2
222
1122200()r r r r r r d r d r r r σσεε∞+=+??)(210
r r +=εσ 那么：293
12210
01085.810
30300
1085.8m C r r U ---?=???=+=εσ （2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：
0120'(')/0U r r σσε=+=，∴12'2
r r σσσ=-=- 则应放掉电荷为：
2'222
34()42
q r r πσσσπ?=-=?124 3.148.85103000.2-=?????96.6710C -=?。 11-17．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处
的电势为零）。 解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x 轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：2
04q
E r πε=
（r R >）。
取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E dq =
，
∴00
20000?44()
r l r q ql r F dr x r r l λλπεπε+==+? （?r 为r 方向上的单位矢量） （2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：04q
U r
πε=（r R >，∞为电势零点）。
对细线上的微元dq dr λ=，所具有的电势能为：04q
dW d r r
λπε=?，
∴000000
ln
44r l r r l q dr q W r r λλ
πεπε++==?。 11-18. 一电偶极子的电矩为p ，放在场强为E 的匀强电场中，p 与E 之间夹角为θ，如图
所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p 、E 平面的轴转
180，外力需作功多少？
解：由功的表示式：d A Md θ= 考虑到：M p E =?
，有：sin 2cos A pE d pE πθ
θ
θθθ+=
=?。
11-19．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。
解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：
00
)2U x σε=，那么，
(2Ob
O b U U U R b σ
ε=-=+-，
由能量守恒定律，
222000
111()(2222Ob q m v mv qU mv R b σε=--=++， 有：)(220
2
0b R b R m q v v +-++
=
εσ
习题12
12-1．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。
解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：00
4Q R
U R
σπεε=
=
， 则：129208.85101008.85100.1
U
C m R εσ--??===?。 12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038
-?的
电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为1r 的电量为1q ，2r 电量为2q ， 由题意，有：
1201
02
44q q r r πεπε=
┄①，821106-?=+q q ┄②，
①②联立，有：81210q C -=?，82410q C -=?。
12-3．有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．
解：由高斯定理，可求出场强分布：
13232
2
0321412
00
4024E r R q E R r R r E R r R q
E r R r πεπε=
?
=<???
∴3213
2
1
012340
R R R R R R U E d r E d r E d r E d r ∞=?+?+?+?????
2
3
122
00
244R R R q
q
dr dr r r πεπε∞
=+?
?
0321
112
(
)4q
R R R πε=-+。 12-4．一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线.
解：由高斯定理，可求出场强分布：
r
r
12
112
021232
200404q E r R r E R r R q E r R r πεπε?=<
=<
?=
>??
∴电势的分布为： 当10r R <≤时，12
12
2
0044R r
R q q U dr dr r
r
πεπε∞
=
+?
?
012
111
()4q
r R R πε=
-+； 当12R r R <≤时，2
22
002
44R q q U dr r R πεπε∞
==?
；
当2R r ≥时，32
0044r
q
q
U dr r r
πεπε∞
=
=
?
。
12-5．半径10.05,R m =，带电量8310C q -=?的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-?。试求距球心r 处的P 点的场强与电势。（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。
解：由高斯定理，可求出场强分布：
112122032343
200404E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=
<
=<
>???
∴电势的分布为： 当1r R ≤时，21
312200
44R R R q Q q U dr dr r
r πεπε∞
+=
+?
?0120311()44q Q q
R R R πεπε+=-+
， 当12R r R <≤时，2322
200
44R r R q
Q q U dr dr r
r πεπε∞
+=+?
?020311()44q Q q
r R R πεπε+=-+
， 当23R r R <≤时，332
04R Q q U dr r πε∞
+=?03
4Q q
R πε+=， 当3r R >时，42
0044r Q q Q q
U dr r r
πεπε∞
++=
=?， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：
3
420910N 4Q q E r πε+==?，4
0900V 4Q q U r
πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有： 422
07.510N 4q E r πε=
=?，320203
11
() 1.6410V 44q
Q q U r R R πεπε+=
-+=?； （3）0.03r m =，适用于1r R <情况，有：
10E =，310
1203
11
(
) 2.5410V 44q Q q U R R R πεπε+=
-+=?。 12-6．两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2
cm 150，电量分别为C 1066.28
-?±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的电势。 解：（1）由0E σε=
有：0q
E S
ε=， 则：0AB qd
U Ed S
ε==
，而0A U =， ∴83
122
2.661051010008.8510 1.510B U V ----???=-
=-???， 离A 板mm 0.1处的电势：3
1(10)2005
P U V =?-=-
12-7．平板电容器极板间的距离为d ，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t (t 无金属板时电势差为：0100 U E d d σ ε=?=， 有金属板时电势差为：0200 ()()U E d t d t σ ε=?-=-， 电势差比为：0 010 20 ()d U d U d t d t σεσε==--； （2）设无金属板时极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ， 有金属板时极板带电量为Q ，面电荷密度为σ。 由于12U U =，有0()E d E d t ?=?-，即000 ()d d t σσ εε?=- ∴00Q d t Q d σσ-==。 解法二： 无金属板时的电容为：00S C d ε= ，有金属板时的电容为：00S C d t ε= -。那么： （1）当极板电荷保持不变时，利用Q C U = 知：12U d U d t =-； （2）当极板电压保持不变时，利用Q C U =知：0Q d t Q d -=。 12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度． d U B 5mm 解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用00 E σ ε=考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为0130E V =-，所以： 129208.8510(130) 1.1510E C m σε--==??-=-?； （2）如图，由高斯定理 01 i S S E dS q ε?=∑?? 内 ，有： 00 '()h S E S E S ρε??+-?= ，则：3 12 1.51025(130)8.8510ρ-??---=?， 得：1336.210C m ρ-=?。 12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆 筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴 为r 处(1R λ πε=， ∴内外圆柱间电势差为：2 1 212001 ln 22R R R V V dr r R λλ πεπε-==? 则： 12021()2ln() V V R R λ πε-= 同理，r 处的电势为：2 2200ln 22R r r R U V dr r r λλ πεπε-==? （*） ∴220ln 2r R U V r λ πε=+ 212221ln()()ln()R r V V V R R =-+。 【注：上式也可以变形为：r U =111221ln() ()ln() r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*） 式用：1 1001 ln 22r r R r V U dr r R λλπεπε-= =? 计算，结果如上】 12-10．半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将 两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a 和b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等： 0044a b a b q q r r πεπε= ┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄② 两式联立得：a Qa q a b = +，b Qb q a b =+； （2）根据电容的定义：0a Q Q C U q πε==（或0b Q Q C U q πε==），将（1）结论代入， 有：04()C a b πε=+。 12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：2 04Q E r πε=， km '25 E =-2 而电势差：200 44b b a a Q Q b a U E d r d r r ab πεπε-= ?== ? ?? ， ∴04Q Uab b a πε= -，那么，场强表达式可写为：2a b U E b a r =?-。 因为要考察内球表面附近的场强，可令a r =，有：()a bU E b a a =-， 将a 看成自变量，若有0a dE da =时，出现极值，那么：22 (2)0()bU b a ab a --=- 得：2b a =，此时：min 4a U E b =。 12-12．一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C 的电势。 解：由题意，22AB BC d d V E E =?+?，而：0 A A B E σε=，0A B C E σσ ε+= 且q S σ=，∴002A d q d V S σεε=+，则：0 0()2A q d V S d εσε=-。 导体片C 的电势：022 A C C B CB d d U U E σσε+==?=?， ∴01()22C q U V d S ε=+。 12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球1r R =，大球24r R =，两球各自带有电量为q ，有： 接触之前的电势能：22000444q q W R R πεπε= + ； （2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为1q ，大金属球带电为2q ， 有： 1201 02 44q q R R πεπε= ┄①和122q q q +=┄②，①②联立解得：125q q = ，285 q q =。 那么，电势能为：22 2 21 2 0000046416 252544444425 q q q q W W R R R R πεπεπεπε= +=+=。 习题13 13-1．如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。 （1）0P P =；（2）R x P P 0=。 解：可利用公式'cos S S q P d S P d S θ=-?=-???? 算出极化电荷。 首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()dS R Rd πθθ=， （1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=， P θ 22 100 'cos 2sin sin 2202 R P q P R d d π π πθπθθθθ=-?=- =?? ； （2）R x P P 0 =时，2200 0cos 'cos cos cos x R P P P R R θ σθθθ===， 2 2 2 22000 'cos 2sin 2cos cos q P R d R P d π π θπθθπθθ=-?=?? 22300 024cos 3 3 R P R P π ππθ ==- 。 13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87 -?±，在两板间充满电介质后， 其场强为V/m 104.16 ?，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密 度。 解：（1）由0r E σεε=，有：18.710100104.11085.8109.84 6127 0=??????==---ES Q r εε （2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=? 13-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为3 d ，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3 d 的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为：00 E σε=， 而电介质内的场强为：0r r E σεε= ， 所以，两板间电势差为：00233 r d U d σσεεε=?+?， 那么，03(21)r r S Q S C U U d εεσε===+，而00S C d ε=，∴0321 r r C C εε= +； （2）插入厚度为 3 d 的导电板，可看成是两个电容的串联， 有：00123/3S S C C d d εε===， ∴0021212 323C d S C C C C C ==+=ε? 03 2C C =。 13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。 解：（1）由： 1(')S E d S q q ε?= +∑?? ，有： 00 'E σσε-=（∵'σ给出的是绝对值） （2）又由00r E σεε=，有：0000 0000'' r E σσεσεεεσσσσ==?=--。 13-5 ．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷 3 d 3 d 3 d σ +σ - 面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由'S q P d S =- ??? ，考虑到0(1)r P E εε=- ， 有：0' (1)S r q E d S εε?=- -?? ， 与 ' S q q E d S ε+?= ?? 联立，有：00'' (1)r q q q εεε+- = -， 得：(1)'r r q q εε-=- ，∴1 'r r εσσε-=- 。 13-6．如图所示，半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。 解：利用介质中的高斯定理 i S S D dS q ?=∑?? 内 。 （1）导体内外的电位移为：0r R >，2 4Q D r π=；0r R <，0D =。 （2）由于0r D E εε= ，所以介质内外的电场强度为： 0r R <时，10E =；10R r R >>时，22 04D Q E r επε= = ； 21R r R >>时，32 04r r D Q E r εεπεε= = ；2r R >时，42 04D Q E r επε= = 。 13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为cm 4，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为0200/E kV m =，试求该电容器可能承受的最高电压。 解：由介质中的高斯定理，有：02r E r λ πεε=， ∴00ln 22R R r r r r r R U E d r d r r r λλπεεπεε=?==?? ， ∵击穿场强为0E ，∴002r r E λ πεε=，则0ln r R U rE r =， 令 0r r r dU d r ==，有：000ln 0R E E r -=，∴0 ln 1R r =?e R r =0， ∴0 max 000ln 147R E R U r E KV r e ===。 13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d 和2d 的电介质，它们的相对介电常数为1r ε和2r ε，极板面积为S ，求电容量。 解：∵12D D σ==，∴101 r E σ εε= ，202r E σεε=， 而：12 11220102 r r d d U E d E d σσεεεε=+=+ ， 有：0012122112 1 2 r r r r r r S S Q C U d d εεεεεεεε= ==++。 13-9．利用电场能量密度2 12 e w E ε=计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R ，带电量为Q 。 解：首先求出场强分布：130 22044Q r E r R E R Q E r R r πεπε?=? =? ∴222 2200032 000()4( )42242 4R R Q r Q W E dV r d r r d r R r εεεπππεπε∞ ==+????? 2 0320Q R πε= 。 13-10．半径为cm 0.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm 0.4和cm 0.5，当内球带电量为C 100.38-?时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用 导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布： 112122032333 200 404E r R q E R r R r E R r R q E r E r R πεπε= < ? =< ? =>? 考虑到电场能量密度2 12 e w E ε= ，有：球与球壳之间的电能： 212222 00120012 11()4()2248R R q q W E dV r dr r R R εεππεπε===-????41.0110J -=? 球壳外部空间的电能： 3 22 22 22 003 ( )42 248R q q W E dV r dr r R εεππεπε∞ == = ??? ? 58.110J -=?， ∴系统储存的电能：412 1.8210W W W J -=+=?； （2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以1'0W = 而外表面所带电荷不变，那么：5 2'8.110W W J -==?。 13-11．球形电容器内外半径分别为1R 和2R ，充有电量Q 。（1）求电容器内电场的总能量； （2）证明此结果与按C Q W 2 e 21=算得的电容器所储电能值相等。 解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：2 04Q E r πε=，（12R r R <<） 利用电场能量密度2 12 e w E ε=，有电容器内电场的能量： 2 1 222 2 2 212 0012012 ()11 ()4()2 2 488R R Q R R Q Q W E dV r d r r R R R R εεππεπεπε-== =-=??? ? ； （2）由2 121 212 00 12012 ()11 ( )444R R R R Q R R Q Q U dr r R R R R πεπεπε-= =-= ? ， 则球形电容器的电容为：12 120 21 4R R R R Q C U R R πε= =-， 那么，2221012 () 128e Q R R Q W C R R πε-== 。（与前面结果一样） 13-12．一平行板电容器的板面积为S ，两板间距离为d ，板间充满相对介电常数为r ε的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U 不变而把介质取出。 解：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变，有介质时：22 01001122r r Sd W E Sd σεεεε==， （0r D E εε=，0D σ=） 取出介质后：22 0200 1122Sd W E Sd σεε==， 外力所做的功等于静电场能量的增加：2 021011 (1)2r Sd W W W σεε?=-=-； （2）维持两板上电压U 不变，有介质时：202 12121U d S CU W r εε= =， 取出介质后：202 22121U d S CU W ε= =， ∴02 211(1)2r S W W W U d εε?=-=-。 习题14 14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。 解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I I B R R μθμπ==，方向： ； 直导线在O 点的磁感应强度：0000 20 [sin 60sin(60)]4cos602I I B R R μππ= --= ，方向：?； ∴总场强：01 ( )23 I B R μπ= -，方向?。 14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。 （1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小； （2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2 032 22 2() I R B R z μ=+。 （1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2 013222 2[()] 2P I R B a R x μ= ++， 右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2 02 3222 2[()]2 P I R B a R x μ=+-， 1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向右， ∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=23302 222 22[()][()]2 22I R a a R x R x μ--? ?++++-????； （2）因为P B 随x 变化，变化率为 d B d x ，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数： d B d x 255 02222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--??=-++++-+-???? 当0x =时，0d B d x =，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。 对B 求二阶导数： 22()d d B d B d x d x d x == 222 057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ?? +-????--+-???? +++++-+-???? 当0x =时，20 2x d B d x ==222 07222 3[()]2 a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，202 0x d B d x =>，O 点的磁感应强度 B 有极小值， 当a R <时， 20 20x d B d x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值， 当a R =时， 20 2 0x d B d x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀 强磁场。 【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】 14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。 解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用 0S B d l I μ?=∑? 求得， 有：04a I B R μπ=，∴04a I B j R μπ=- b 段的延长线过O 点，0b B =， c 段产生的磁感应强度为：0044c I I B R R μμππ=?=，∴04c I B k R μ= 则：O 点的总场强：0044O I I B j k R R μμπ=- +，方向如图。 14-4．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈 均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 的磁感强度。 解：从O 点引出一根半径线，与水平方向呈θ角，则有水平投影： cos x R θ=，圆环半径：sin r R θ=，取微元dl Rd θ=， 有环形电流：2N I d I d θπ =， 利用：B 2 02 232 2() I R R x μ= +，有： dB 2022322()r dI r x μ=+220222232 sin (sin cos )N IR d R R μθθ πθθ= +20sin N I d R μθθπ=， ∴B 0220sin N I d R πμθθπ=?02 01cos 22N I d R πμθθπ-=?04N I R μ=。 14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线 平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁 感应强度B 。 解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了j ± 的电流，那么， 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用 0S B d l I μ?=∑? ，有：2102R B j R πμπ?=， ∴012 j B R μ=? ， 同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路： 2202()r B j r πμπ?=-，有：022 j B r μ=-? ， 由图示可知：()R r a +-= 那么，12B B B =+ 002 2 j j R r μμ= ?- ? 01 2j a μ=? 。 14-6．在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所 示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。 解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl R d θ=的长直电流， ' O O P a R r 有：dl d d I R θ ππ ==，利用0S B d l I μ?=∑? 。 在P 点处的磁感应强度为：002 22d I I d dB R R μμθ ππ= =， ∴02 sin sin 2x I dB dB d R μθθθπ== ，而因为对称性，0y B = 那么，005220sin 6.37102x x I I B B dB d T R R πμμθθππ-=====???。 14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体 圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞< 0S B d l I μ?=∑? 分段讨论。 （1）当10r R <≤时，有：2102 1 2r I B r R ππμπ?= ∴012 1 2I r B R μπ= ； （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ?=，∴022I B r μπ= ； （3）当23R r R ≤≤时，有：22 2 3022 32 2()r R B r I I R R πππμππ-?=--， ∴22 32 0322 32I B R r R r R μπ--=?； （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ?=-，∴40B =。 则：02 1 011222323223230(0)()()0 ()222r R R r R B R r R r R I r R I r R r r I R R μπμπμπ?<≤???≤≤??=??-??≤≤-?? >?? 14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密 度为σ。 （1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的大 小； （2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的 磁场B 和电场E 之间满足下述关系：21B v E c =? （式中0 01 με=c ）。 解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i v σ=，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据 安培环路定理有： 0abcd B dl L i μ?=? ?02B L L v μσ?=， ∴磁感应强度B 的大小：02 v B μσ=； （2）非相对论情形下： 匀速运动的点电荷产生的磁场为：02?4qv r B r μπ?=? ， 点电荷产生的电场为：201?4q E r r πε=? ， ∴0002220?11?44q qv r v E v r B c r r μεμπεπ??=??=?= ， 即为结论：21B v E c =? （式中0 01 με=c ）。 14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ， 半径为R 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为ω， 求：（1）圆柱体内距轴线r 处的磁感应强度的大小； （2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线r 处到半径R 的圆环等效电流。 ∵2d q rLd r d I Lr d r t T ρπρω?= ==，∴221 ()2 R r I L r d r L R r ρωρω==-?， 选环路a b c d 如图所示， 由安培环路定理：0S B d l I μ?=∑? ， 有：22 01()2 B L L R r μρω?=?- ∴220()2 B R r μρω = - （2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：2 0R B μρω= 端面中心。 14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离d O O =21，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。 解：因为一个阴影的横截面积为S ，那么面电流密度为： I i S =，利用补偿法，将真空部分看成通有电流i ±，设 其中一个阴影在真空部分某点P 处产生的磁场为1B ，距离 为1r ，另一个为2B 、2r ，有：12r r d -= 。 利用安培环路定理可得： 201011122I r I r S B r S μπμπ==，202022222I r I r S B r S μπμπ==， 则：0111?2I r B r S μ⊥= ，0222?2I r B r S μ⊥ = ， a b c d L a b d c L L d 1 O 2 O 2?⊥ ?
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