第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.
如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式，称为矩阵A 的特 征多项式， 其中a 0=(-1)n ｜A ｜. (2)
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是的根. 反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x T y=0 .
9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H，那么，A称为Hermite矩阵.
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0)，误差eps； (2) k 1； (3)计算V(k)A(k 1)； (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1))； (5) (k)V(k)/m k； (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止； (7)k k 1, 转(3) 注：如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k