指数运算与指数函数
高考要求
知识梳理
知识点一：有理数指数幂
1. n 次方根概念与表示
一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ．
n
2.根式概念
式子a n
叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
3.根式的性质
①
n a =.
②
||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂
正分数指数幂：a m
n
=√a m n
(a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n =
1
a m n
=
√a m
n
a >0,m,n ∈N ?,n >1)
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质
a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a
b )r =a r b r (a >0,s ∈Q )
知识点二：指数函数的图像和性质
1.指数函数概念：
形如0(>=a a y x
且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质
R
知识点三：指数函数性质的运用（比较大小）
指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大
考点解析
典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算
例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算
例2、已知 01x <<，且1
3x x -+=，求112
2
x x -
-的值.
典型习题二：指数函数的图像问题
例1、已知函数2
()x f x m
-=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数
||1
()()x b g x a
+=的图象为（ ）
)6
5
)(41(561
312112
13
2-----y x y x y
x
例2、函数221()2
x x
y -+=的值域是（ ）
A.R
B.1[,)2
+∞ C.(2,)+∞ D.(0,)+∞
例3、函数12y ?= ?
??
的单调递增区间是 ．
例4、若2
1
21
2()4
x
x +-≤，则函数2x y =的值域是（ ） A.1[,2)8 B.1,28??
????
C.1(,]8-∞
D.[2,)+∞
例5、函数()()23201x
x f x a
a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为8，则它在这个
区间上的最小值是 ．
典型习题三：指数函数性质的运用（比较大小）
例1、已知3
116=a
，5
42=b ，3
25=c ，则（ ）
A.c a b >>
B.b c a >>
C.a b c >>
D.b a c >>
达标训练
1．若0a >，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是（ ） A ．m m
n
n
a
a a
÷= B ．m
n mn a
a a ?= C ．()n
m m n a a +=
D ．01n n a a -÷=
2．化简12
60
[()]()21---的结果为（ ）
A ．9-
B ．7
C ．10-
D ．9
3 A ．0
B ．2()a b -
C ．0或2()a b -
D ．a b -
4．下列函数中：①23x
y =?；②13x y +=；③3x y =；④3
y x =.其中，指数函数的个数是
（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．若函数x
a y )1(-=在实数集R 上为减函数，则a 满足（ ） A ．1＜a
B ．10＜＜a
C ．21＜＜a
D ．21＜＜a
6．函数1
2+=x y 的大致图象是（ ）
7．若10
2,104m
n
==，则32
10
m n
-= ．
8．化简并求值：
（1）25
2008.0)9
49
(8273
25.032
?
+--）（
；（2
）4133
223
3
8(14a a b a b
-÷-+
9．已知函数()1
31
x
f x a =
++为奇函数，则a 的值为 . 10．求下列函数的定义域与值域：
（1
）y =
（2）21
21
x x y -=+；
（3
）y =
11．已知函数)(x f 的定义域是)2,1(，则函数)2(x
f 的定义域是（ ） A ．)1,0(
B ．)4,2(
C ．)1,2
1(
D ．)2,1(
12．化简625625++-=___________
13．已知0a >，0b >，且b
a
a b =，9b a =，求a 的值.
14．已知1
3x x
-+=,求下列各式的值：
（1）112
2
x x -+；（2）332
2
x x -+
15．设函数11()7,0
()22,0x
x x f x x -?-
，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(3,)-+∞
C ．(3,1)-
D ．(,3)
(1,)-∞-+∞
16．函数x
a
k x f -?=)((a k ,为常数，10≠a a ，且＞)的图象过点)1,0(A ，)8,3(B ．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若函数()1
()()1
f x
g x f x -=+，试判断函数)(x g 的奇偶性，并给出证明．
课后训练
1．若210
25x
-=，则10x 的值为（ ）
A ．15±
B ．
15 C ．1
5
- D ．
1
625
2．已知2
2
x x
-+=，且1x >，则22x x --的值为（ ）
A ．2或2-
B ．2-
C ．6
D ．2
3．化简：10.5
23
3
277(0.027)2______1259-
????
+-= ? ?
????
4．设 1.2
0.80.4614,8,2a b c -??
=== ?
??
，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >> 5．已知x
a x f -=)((10≠a a ，且＞)，且)3()2(f f ＞-，则a 的取值范围是（ ） A ．0＞a
B ．1＞a
C ．1＜a
D ．10＜＜a
6．当10≠a a ，且＞时，函数3)(2
-=-x a x f 的图象必过定点 .
7.= ． 8.已知函数1
2log )(2
--=x x
x f 的定义域为集合A ，关于的不等式x a a --22＜的解集为B ，若B A ?，求实数a 的取值范围．
9.（11
421()0.25(
2-+?； （2）已知1
12
2
3x x -
+=，求221
1
2
x x x x --++++的值.
10.是否存在实数a ，使得函数
()()22101x x f x a a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为14？若存在，求出a 的值；
若不存在，说明理由.
11.
12．已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x （ ）
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
13.求函数11()()14
2
x
x
y =++的值域.
14．设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .
15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足
1
(2
)(a f f ->，则a 的取值范围是 .
16．已知函数)10()(≠+=a a b a x f x
，＞的定义域和值域都是]0,1[-，则b
a += .