直 线平 置 关 系 强 化练
一、选择题 1 ?已知平面 外不共线的三点 A, B,C 到 的距离都相等，则正确的结论是（ A.平面ABC 必平行于 C.平面ABC 必不垂直于
2?给出下列关于互不相同的直线 B. D. l 、m 、 n 平面ABC 必与相交 存在 和平面 ABC 的一条中位线平行于 B Y 的三个命题： 或在 内 a 、 ① 若l 与m 为异面直线,l a ,m ② 若 all B ,l a ,m B 则 I ll m; ③ 若 aQ=B l, BA m, Y Q 菇 n,l ll Y 则 m ll n. 其中真命题的个数为（ ） B; A.3 B.2 3?如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的 直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
（A ） 48
4. 已知二面角 C.1 D.O
(B ) 18 ( C ) 24 (D ) 36 l 的大小为600，m 、n 为异面直线，且 m (B ) 600 (C ) 90° (D 1200 ，则m 、n 所成的角为（ （A ） 300 5.如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD 丄平面ABCD,PD = AD,则PA 与BD 所成角的度数为 A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.90 ° )
7.设m 、n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面.考查下列命题, 其中正确的命题是 A. m ,n ,m B . // ,m ,n // C. 8 设 A 、B ,m , n // C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确 的是（ D. m, n m )
A. AC 与 BD 共面，_则 C.若 AB=AC D&DC AD 与 BC 共面 B ?若AC 与 BD 是异面直线， 贝U AD=BC D . 若 ABAC D&DC 贝U AD BC
AD 与 BC 是异面直
线
9.若I 为一条直线,
为三个互不重合的平面，给出下面三个命题: :② l
l
:③ l ll ，
l 其中正确的命题有（ .1个 C . 2个 P — ABC 中,E 、F 分别是PA 、 A. 0 个 B 10.如图，在正三棱锥 AB .3个 的中点，/ CEF = 90°,若AB = a 则该三棱锥的全面积为（ ） A.』a 2 2
B. C. 3a 2
4 D.
6 43 2
--------- a 4
11 .如图，正三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各棱长都为
B
E 、
F 分别为AB
AC 的中点，贝U EF 的长是（ ）
(A ) 2
(B) 73 (C ) 75 (D ) 77
12 ?若P 是平面 外一点，则下列命题正确的是( (A )过P 只能作一条直线与平面 (C )过P 只能作一条直线与平面 13 ?对于任意的直线l 与平面 ，在平面 (B )相交 (C )垂直 (D 和共面的直线 m 、n,下列命题中真命题是 (A )平行 14 .对于平面 (A )若 m ,m n,则 n// (C )若 m ,n // ，
则 mil 15 .关于直线m 、 n 与平面 ①若 m// ，n // // ③若m ，n// // 其中真命题的序号式( A.①② B .③④ P 可作无数条直线与平面 P 可作无数条直线与平面 ) 相交 平行 内必有直线m ，使m 与I ( (C )垂直 (B ) (D ) (B )若 m// (D )右 m 、 ，有下列四个命题: 互为异面直线 ( ) ,n // ,则 m// n n 与所成的角相等, ，则m// n ;②若m ，则m n ；④若m // ，n ①④ D .②③ 16.给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线与同一平面所成的角相等，则l 1,l 2互相平行 ④若直线l 1,l 2是异面直线，则与 11 ,12都相交的两条直线是异面直线
其中假命题 的个数是( (A ) 1 (B ) 2
(C ) 3 (D ) 4 17 .如图平面 平面 ,B ,AB 与两平面 所成的角分别为 垂直 平行
m// n
，则 m n ;
，则 m//
n 。
—和—。过A 、B 分别作两平面交线 4 的垂线，垂足为 (A ) 4 A'、B ，若 AB =12 则 A'B' (B ) 6 (C ) 8 (D ) 18?已知正四棱锥S ABCD 中，SA 2J 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A. 1 B. ^/3
C. 2
D. 19.已知三棱锥S ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面 平面SBC 所成角的正弦值为 ABC ， SA =3,那么直线AB 与 ( )
B ^5
4 D. 20 .有四根长都为2的直铁条, 则 若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,
A. C
.
a 的取值范围是 B.( 1,242)
D.(0,242)
21.在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发
沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是( )
A. 2 R C.
8 R
3
7 R
D. ----------
6
22.已知S, A, B,C是球0表面上的点，SA 平面ABC，AB BC，SA AB 1，BC ，则球O 的
表面积等于（
A. 4
B. 3
C. 2
D.
23 ?将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的
最
"小值为（
）
B. 2+迹
3
C. 4+空6
3 D.
24.如图,正方体AC1的棱长为
A.点H是^ A i BD的垂心
C.AH的延长线经过点C i 二、填
空题
1.
1,过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H,则以下命题中，错误的命题是（
B.AH垂直于平面CB1D1
直线AH和BB所成角为45°
D.
2.
多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个
顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到分别为1，
2和4, P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面
①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7
以上结论正确的为______________ 。（写出所有正确结论的编号.）
平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中
有两个顶点到的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面
①1; ②2; ④4;
以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号）
D
的距离
的距离可能是：
3.
的距离可能是:
/J
5.
6.
如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长均为1,则点B1到平面ABC1的距离为
已知A,B,C三点在球心为0，半径为R的球面上，AC BC，且AB R，那么A, B两点的球面距离
如图，在正三棱柱ABC
距离为
，球心到平面ABC的距离为
C AB C i的大小为60，则点C到平面ABC i的
如图（同理科图），在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB 1 ?若二面角C AB C1的大小为60°，则点C1到直线
AB 的距离为 ___________ 。
（如图，在6题上）正四面体ABCD 勺棱长为I ，棱AB//平面
，则正四面体上的所有点在平面a 内的射影构成的图形面
积的取值范围是 _____________ 。
13.如图，正四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中,AA 1 = 2AB = 4,点 E 在 dC 上且 C 1E = 3EC. （1）证明A 1C 丄平面BED; ⑵求二面角 A 1-DE-B 的正切值。.
u u
Dk-
在正△ ABC 中,E 、F 、P 分别是 AB 、AC 、BC 边上的点，满足 AE : EB = CF : FA = CP : PB = 1 : 2〔如图（1）〕.将△ AEF 沿 EF 折起到△ A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P 〔如图 ⑵〕. （1）求证:A 1E 丄平面BEP;
⑵求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
⑶求二面角B-A 1P-F 的余弦值。
7. 8. 如图，矩形 ABCD 中, DC=J 3 , AD=1,在DC 上截取DE=1, 将^ ADE 沿AE 翻折至U D
9. 点，点D 在平面ABC 上的射影落在 AC 上时, 是
。
若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 二面角n —AE- B 的平面角的余弦值 ,则 COS
10?已知正四棱椎的体积为 12,地面的对角线为
2j 6，则侧面与底面所成的二面角为
11. m 、n 是空间两条不同直
线，
① m ,nP , P
③ m n, P ,mP 其中真命题
、 是空间两条不同平面，下面有四个命题：
n P ;
n ；
② m n, P ,m ④ m ,mPn, P
（写出所有真命题的编号）。
12 .如图，已知三棱锥 S - ABC 中，底面ABC 为边长等于「2的等边三角形, SA 丄底面 ABC ,
SA = 3,那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为 三、解答题：
◎ I
氷、
I2j
15
BC 1
—且/ B 1BC =/ BCC 1 = 90°，
B 1B 2
所以△ BB i C sA BCE.
所以/ BB i C =/ CBE.所以由互余可得/ BFC = 90。.所以BE 丄B i C.所以BE 丄A i C;由四边形ABCD 为正方形， 所以BD 丄AC.
所以 BD 丄 A 1C 且 BD n BE = B. 所以A J C 丄平面BDE.
⑵连结OE ，由对称性知必交 A 1C 于G 点，过G 点作GH 丄DE 于点H,连结A 1H.由（1）的结论，及三垂线定理可
5V 6
得，/GHA 1就是所求二面角的平面角，根据已知数据，计算A 1G ——
3
在 Rt △ DOE 中,GH
所以 tan GHA 1
解法一：不妨设正△ ABC 的边长为3.
1. D 2 . C
3
.D
4 . B
5 . C 7 . B
8. C 9
. C 10 .B 11 . C 12 . D 13 . C 14
. 15. D 16 . D 17
.B
18. C ；19. D ；
20 .A ; 21. B ; 22. A ; 23. B ; 24.D
二、填空题
1.①③④⑤
2
①③ 3
.殛
4
. 1 R
C
一、选择题 3 5. —
6
4
.>/3 7
迈1
拧，2]
8.
73
9 .摩
3
10 —11
3
.①，② 12.
13
解法二:(1)证明:如图，连结 BCC 1B 1 中，B 1B = C 1C = 4，BC = B 1C 1= 2，C 1E = 3，
EC = 1.
B i
C 交BE 于点 F 连结AC 交B
D 于点O.由题知B i C 是A i C 在面BCC i B i 内的射
影,在矩形 因为n 故二面角A I DEB 的大小为 arctan5J5.
(1)证明：在图(1)中,取BE的中点
?/ AE : EB = CF : FA = 1 : 2,
AF = AD = 2.而/ A = 60°
???△ ADF是正三角形.
又AE = DE = 1,. EF 丄AD.
在图(2)中,A1E丄EF,BE丄EF,
?/ A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.
由题设条件知此二面角为直二面角，
? A1E 丄BE.
又BE A EF = E,. A1E丄平面BEF,
即A1E丄平面BEP.
⑵在图⑵中，??? A1E不垂直于A1B,
? A1E是平面A1BP的斜线.
又A1E 丄平面BEP,??? A1E丄BP.
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则/ EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP丄A1Q.
在△EBP中，
??? BE = BP = 2,/ EBP = 60°,
???△ EBP是等边三角形.??? BE = EP.
又A1E丄平面BEP,??? A1B = A1P.
??? Q为BP的中点，且EQ J3.
又A i E = 1,在Rt△ A i EQ 中,
tan EAQ ■EQ73,
A1E
.?./ EA iQ = 60 °
???直线A i E与平面A i BP所成的角为60 °
??? CF= CP = 1,/ C = 60°
???△ FCP 是正三角形.??? PF = 1.c
).
1
又 PQ = _ BP = 1,
2
??? PF =PQ.① ??? A I E 丄平面 BEP,EQ = EF =73 , ?- A 1F = A 1Q. ???△ A 1FPN A 1QP. 从而/ A 1PF = / A 1PQ ②
由①②及 MP 为公共边知 △ FMPQMP,
???/ QMP = / FMP = 90°且 MF = MQ. 从而/ FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角. 在 Rt △ A 1QP 中,A 1Q = A 1F = 2,PQ = 1,
??? AjP #5.
■/ MQ 丄A i P,
?- MF
在^ FCQ 中,FC = 1,QC = 2丄 C = 60°
由余弦定理得
QF 73.
在^ FMQ 中,
2 2 2
MF 2
MQ 2 QF 2
2MF ?MQ
? MQ
AQ?PQ 2 晶
A i P
???二面角 B-A i P-F 的大小为
7 arccos
—. 8
COS FMQ