【例1】 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该
设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；
（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说
明理由．
E C
D
【考点】二次函数的应用 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2009年，日照
【解析】（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边
上的高为0.5米.所以，S △EMN =1
20.52
??=0.5（平方米）.即△EMN 的面积为0.5平方米.
（2）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时，
△EMN 的面积S =1
22
x ??=x ；
②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x
＜1 如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，
∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG
又∵ MN ∥CD ，
∴ △MNG ∽△DCG ． ∴
MN GH
DC GF =
，即MN = 故△EMN 的面积S
＝12x
＝2(1x ++；
综合可得：
(
)
(201111x x S x x x ≤??
=??++ ? ???
，＜．＜＜ （3）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤
②当MN 在三角形区域滑动时，S
=2(1x ++.
因而，当2b x a =-
=
（米）时， S 得到最大值，最大值S =2
44ac b a -
2
1-+
（
12（平方米）.
∵
112>，
∴ S
有最大值，最大值为12平方米.
【答案】（1）0.5；（2）(
)(201111x x S x x ≤??=??++ ? ???
，＜．＜＜；（3）S
有最大值，最大值为12平方米.
【例2】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，4
13
CE CF ==，,直线EF 交AB
的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y
⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；
⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？
N M
H G
F E
D C B
A
【考点】二次函数的应用
【难度】5星 【题型】解答 【关键词】南京
【解析】⑴ ∵正方形ABCD 的边长为4，4
13
CE CF ==，， ∴3BE =
又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CE
BG BG BE
==， 又HM BE ∥
∴HMG EBG △∽△，
MG HM
BG BE
=
∴44
833MG x AM x ==-，
∴()244880433y x x x x x ?
?=-=-+<≤ ???
⑵ ∵()2
244831233
y x x x =-+=--+
∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12
【答案】（1）()24
8043y x x x =-+<≤；（2）当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12