第八章 期权定价的数值方法
在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures ）为期权定价，其中包括二叉树方法（Binomial Trees ）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation ）和有限差分方法（Finite Difference Methods ）。当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。
第一节 二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是由J. C. Cox 、S. A. Ross 和M. Rubinstein 于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。
一、二叉树模型的基本方法
我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。 二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ?，并假设在每一个时间间隔t ?内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；下降到原先的d 倍，即Sd 。其中，1u >，1d <，如图8.1所示。价格上升的概率假设为p ，下降的概率假设为1p -。
S
图8.1 t ?时间内资产价格的变动
相应地，期权价值也会有所不同，分别为u f 和d f 。
注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。
（一）单步二叉树模型
运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价方法。 1.无套利定价法
由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图8.1的单步二叉树中，我们可以构造一个证券组合，包括?股资产多头和一个看涨期权空头。如果我们取适当的?值，使
u d Su f Sd f ?-=?-
则无论资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。也就是说，当
u d
f f Su Sd
-?=
-时，无论股票价格上升还是下跌，该组合的价值都相等。显然，该组合为无风
险组合，因此我们可以用无风险利率对u d Su f Sd f ?-?-或贴现来求该组合的现值。在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即
()r t u S f Su f e -??-=?-
将u d
f f Su Sd
-?=
-代入上式就可得到：
()1r t u d f e pf p f -?=+-????
其中
d
u d e p t r --=?
2.风险中性定价法
在第六章中我们已经探讨过，期权定价可以在风险中性世界中进行，同样，我们也可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数p 、u 和d ，从而为期权定价。这是二叉树定价的一般方法。
在风险中性世界里：
（1） 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2） 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r ，因此若期初的证券价格为S ，则在很短的时间间隔t ?末的证券价格期望值应为t
r Se ?。因此，参数p 、u 和d
的值必须满足这个要求，即：
Sd p pSu Se t r )1(-+=?
d p pu e
t
r )1(-+=? (8.1)
二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，根据第六章的讨论，在一个小时间段t ?内证券价格变化的方差是t S ?2
2
σ。根据方差的定义，变量Q 的方差等于
()()2
2E Q E Q -????，因此：
2
2222222])1([)1(d p pu S d S p u pS t S -+--+=?σ
[]2
2
22)1()1(d p pu d p pu t -+--+=?σ (8.2)
式（8.1）和(8.2)给出了计算p 、u 和d 的两个条件。第三个条件的设定则可以有所不
同， Cox 、Ross 和Rubinstein 所用的条件1
是：
1
u d
=
（8.3） 从以上三个条件求得，当t ?很小时：
d
u d
e p t r --=? （8.4）
t
e u ?=σ
（8.5） t
e d ?-=σ （8.6）
从而
()1r t u d f e pf p f -?=+-????
比较以上两种方法，我们可以看到，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。在风险中性定价过程中，我们无需考虑资产价格上升和下降的概率，也就是说资产预期收益具有无关性，这正好符合风险中性的概念。但是在最后的期权公式中，两种方法都包含了概
率p ，这里的概率是风险中性世界中的概率，参数p 、u 和d 实际上都隐含在给定条件中。
一般来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，而无套利定价法则主要是提
供了一种定价思想。
（二）证券价格的树型结构
应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图8.2所示。
1
这是二叉树模型中最常用的第三个条件，后文我们将会谈到对第三个条件的其他设定方法。
Su 2
4
S
24
图8.2 资产价格的树型结构
当时间为0时，证券价格为S 。时间为t ?时，证券价格要么上涨到Su ，要么下降到Sd ；时间为2t ?时，证券价格就有三种可能：2
Su 、Sud （等于S ）和2
Sd ，以此类推。一般而言，在t i ?时刻，证券价格有1i +种可能，它们可用符号表示为：
j i j d Su - 其中0,1,
,j i =
注意：由于1
u d
=
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
（三）倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T 时刻开始往回倒推，为期权定价。由于在到期T 时刻的预期期权价值是已知的，例如看涨期权价值为)0,m ax (X S T -，看跌期权价值为),m ax (o S X T -，因此在风险中性条件下在求解t T ?-时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T 时刻的期权价值的预期值在t ?时间长度内以无风险利率r 贴现求出。同理，要求解t T ?-2时的每一结点的期权价值时，也可以将t T ?-时的期权价值预期值在时间t ?内以无风险利率r 贴现求出。依此类推。采用这种倒推法，最终可以求出零时刻（当前时刻）的期权价值。
以上是欧式期权的情况，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t ?时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。
例8.1
假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。
为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（8.4）到（8.6），可以算出：
4924
.015076
.08909
.01224.1=-=--=====??-?p d u d e p e d e u t r t
t σ
σ
据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图8.3所示。在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率总是等于0.5076，下降概率总是等于0.4924。
在t i ?时刻，股票在第j 个结点（0,1,,j i =）的价格等于j i j d Su -。例如，F 结点（4,1i j ==）的股价等于元69.398909
.01224.1503
=??。在最后那些结点处，期权
价值等于max(,0)T X S -。例如，G 结点（5,1i j ==）的期权价格等于50－35.36=14.64。
图8.3 不付红利股票美式看跌期权二叉树
从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是t ?时间内期权价值期望值的现值。例如，E 结点（4,2i j ==）处的期权价值等于：
元66.2)45.54924.005076.0(0833.01.0=?+??-e
而F 结点处的期权价值等于：
元90.9)64.144924.045.55076.0(0833.01.0=?+??-e
然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E 结点，提前执行将使期权价值为0，因为股票市价和协议价格都等于50，显然不应提前执行。因此E 结点的期权价值应为2.66
元。而在F 结点，如果提前执行，期权价值等于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F 结点，就应提前执行期权，从而F 结点上的期权价值应为10.31元，而不是9.90元。
用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。
如果我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。当t ?非常小时，期权价值将等于4.29元。
（四）二叉树方法的一般定价过程
下面我们给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，仍然举无收益证券的美式看跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N 个长度为t ?的小区间，令)0,0(i j N i f ij ≤≤≤≤表示在时间t i ?时第j 个结点处的美式看跌期权的价值，我们将ij f 称为结点),(j i 的期权价值。同时用j
i j
d
Su -表示结点),(j i 处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是
),m ax (o S X T -，所以有：
max(,0)j N j N j f X Su d -=-，，其中0,1,
,j N =
当时间从t i ?变为t i ?+)1(时，从结点),(j i 移动到结点)1,1(++j i 的概率为p ，移动到),1(j i +的概率为1p -。假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
1,11,[(1)]r t ij i j i j f e pf p f -?+++=+-
其中i j N i ≤≤-≤≤0,10。如果考虑提前执行的可能性的话，式中的ij f 必须与期权的内在价值比较，由此可得：
1,11,max{,[(1)]}j i j r t ij i j i j f X Su d e pf p f --?+++=-+-
按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间t ?趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30步就可得到较为理想的结果。
二、基本二叉树方法的扩展 （一）有红利资产期权的定价 1.支付连续红利率资产的期权定价
当标的资产支付连续收益率为q 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该
为r q -，因此式（8.1）就变为：
d p pu
e t q r )1()(-+=?-
同时，式（8.4）变为：
d
u d e p t q r --=?-)( （8.7）
式（8.5）和（8.6）仍然适用。
对于股价指数期权来说，q 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，q 为国外无风险利率，因此式（8.5）至（8.7）可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
对于期货期权，布莱克曾证明，在对期货期权定价时，期货可以看作支付连续红利率r 的证券2
，即式（8.7）可以进一步修正为：
d
u d
p --=
1 （8.8）
这样式（8.5）、（8.6）和（8.8）就可用于美式期货期权的定价。 2.支付已知红利率资产的期权定价
若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率δ（红利与资产价格之比），我们只要调整在各个结点上的证券价格，就可算出期权价格。调整方法如下：
如果时刻t i ?在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
i j d Su j i j ,,1,0, =-
如果时刻t i ?在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
j i j d u S --)1(δ 0,1,
,j i =
对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若i δ为0时刻到t i ?时刻之间所有除权日的总红利支付率，则t i ?时刻结点的相应的证券价格为：
j i j i d u S --)1(δ
3. 已知红利额
若标的资产在未来某一确定日期将支付一个确定数额的红利而不是一个确定的比率，则除权后二叉树的分支将不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额红利的情况将更为复杂（见图8.4）。
2参见
F.Black , “The Pricing of Commodity Contracts ,” Journal of Financial Economics ，3（March 1976），167—79）。
S
图8.4 假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图
为了简化这个问题，我们可以把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利，除息日τ在
k t ?到(1)k t +?之间，则在t i ?时刻不确定部分的价值*S 为：
*()()S i t S i t ?=? 当i t τ?>时
*()()()r i t S i t S i t De τ--??=?- 当i t τ?≤时 （8.9）
其中D 表示红利。设*σ为*S 的标准差，假设*σ是常数，用*
σ代替式（8.4）到（8.6）中的σ就可计算出参数p 、u 和d ，这样就可用通常的方法构造出*
S 的二叉树了。通过应用式（8.9），把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使*
S 的二叉树图转化为S 的二叉树。假设零时刻*
S 的值为*
0S ，则在t i ?时刻：
当i t τ?≤时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
*()0j i j r i t S u d De τ---?+ 0,1,
,j i =
当τ>?t i 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
*0j i j S u d - 0,1,,j i =
这种方法和我们曾经分析过的在已知红利数额的情况下应用布莱克－舒尔斯公式中所
用的方法一致，通过这种分离，我们可以重新得到重合的分支，减少结点数量，简化了定价过程。同时，这种方法还可以直接推广到处理多个红利的情况。
（二）利率是时间依赖的情形
在二叉树的风险中性定价过程中，无风险利率r 是非常重要的参数，通常我们假设其为常数。但是当利率的期限结构呈陡峭的上升或下降趋势的时候，这个假设显然是不合理的。更合理的假设是()r f t =，即在时刻t 的结点上，其应用的利率等于t 到t t +?时间内的远期利率（该远期利率是站在零时刻得出的）。由于u 和d 并不随着r 的改变而改变，所以这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图：
()f t t e d p u d ?-=-
()1f t t
u e p u d
?--=-
在定价过程中，贴现率也要相应地改为远期利率，其他过程和普通的二叉树方法相同。类似地，在为指数期权、外汇期权和期货期权定价时，可以对红利率和外汇无风险收益率做类似的修正，使其成为时间的函数，进而为这些期权定价。
三、构造树图的其他方法和思路
（一）0.5p =的二叉树图
在式（8.1）到（8.3）中，前两个式子是确定参数p 、u 和d 的固定条件，而第三个
条件1
u d
=
是人为给定的，也是最常用的条件，但它并不是唯一的。我们也可以放弃这个假设，转而令0.5p =，当t ?的高阶小量可以忽略时，我们得到：
()2
2r q t u e
σσ--?+=()2
2r q t d e
σσ--?-=
这种方法的优点在于无论σ和t ?如何变化，概率总是不变的，缺点在于二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等。 （二）三叉树图
另一种替代二叉树图的方法是三叉树图法，该树图的形状如图8.5所示。在每一个时间间隔t ?内证券价格有三种运动的可能：从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；保持不变，仍为S ；下降到原先的d 倍，即Sd 。u p 、m p 、d p 分别为每个结点价格上升、持平和下降的概率。当t ?的高阶小量可以忽略时，满足资产价格变化均值和方差的参数分别为：
u e =
1
d u
=
2126d p r q σ?=--+??
21
26
u p r q σ?=
--+??
23
m p =
三叉树图的计算过程与二叉树图的计算过程相似。可以证明：三叉树图的方法与我们第
三节将要介绍的显性有限差分方法是一致的。
S
3
2
Su S Sd 32
图8.5 资产价格的三叉树图
（三）控制方差技术
控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，可以应用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上。其基本原理为：期权A 和期权B 的性质相似（比如其他条件都相同的欧式期权和美式期权，以及在第九章中将谈到的几何平均亚式期权和算术平均亚式期权），我们可以得到期权B 的解析定价公式，而只能得到期权A 的数值方法解。用B f 代表期权B 的真实
价值（解析解），A f 表示关于期权A 的较优估计值，?A f 和?B
f 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值。这时，我们假设用数值方法计算出的期权B 的误差应等于用数值方法计算出的期权A 的误差：
?B B f f -=?A A
f f - 进而得到期权A 的更优估计值为：?A A f f =?B B
f f +- 可以证明，当?A f 和?B
f 之间的协方差较大时，()()
?var var A A f f <，也就是说这个方法减少了对期权A 的价值估计的方差，我们利用B f 和?B
f 的信息改进了对期权A 的价值的估计。
可以看出，控制方差技术实际上是利用数值方法计算两个类似期权之间的价格差异而不
是计算期权价格本身。虽然从计算工作量来看，我们需要计算两个估计值?A f 和?B
f ，但是由于两个期权的性质相似或路径相同，实际增加的工作量并不大。
（四）适应性网状模型
Figlewski 和Gao 3提出了一种适应性网状模型（The Adaptive Mesh Model ）来改进数值估计方法的效率。他们的方法是：在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行
3
S.Figlewski and B. Gao, “The Adaptive Mesh Model: A New Approach to Efficient Option Pricing,” Journal of Financial Economics , Forthcoming.
价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长t ?进一步细分，如分为4
t
?，每个小步长仍然采用相
同的三叉树定价过程，这样使得树图更好地反映了实际情形，从而大大提高了定价的效率和精确程度。
（五）隐含树图 在第七章中，我们讨论了隐含波动率问题。隐含波动率是在假设期权市场有效的条件下，
从期权的市场价格倒推出其中隐含的波动率信息。类似地，隐含树图方法4
（Implied Trees ）通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率：
假设我们已知()1n t -?时刻各结点的值。在n t ?时刻应有1n +个结点。这时，我们要
求21n +个变量：
1. n t ?时刻1n +个结点上的资产价格
2. 在()1n t -?和n t ?之间n 个资产价格向上运动的概率（向下运动的概率可以用1减
去向上运动的概率得到）。
为了求解这21n +个变量，树图的构造应满足：
1. 在()1n t -?和n t ?之间使用远期利率而非一个常数利率，在()1n t -?时刻各结点资产价格的预期收益率应等于以上这个远期利率，这可以写出n 个方程；
2. 树图的构造应使得市场中在n t ?时刻到期的n 个欧式期权准确定价，这些期权的执
行价格等于()1n t -?时刻各结点上的资产价格，这可以再构造出n 个方程；
3. 应保证树图的中心结点等于零时刻的初始资产价格。
这样，我们得到21n +个方程，可以解出以上的21n +个变量，从而把树图的构造向前推进了一个时间步长。以此类推，最后我们可以得到整个树图，了解市场对未来资产价格分布和波动率的看法。值得注意的是：由于这是从市场期权价值信息倒推出来的隐含树图，因此不存在统一的上升下降概率和上升下降幅度，即p 、u 和d 是各不相同的。这也导致了有时会出现负的概率，需要对那个导致负概率的期权价格进行替换。
隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价。该树图可以和当天市场上的波动率矩阵相吻合，但是同时也隐含了未来的波动率微笑和期限结构，它们可能与当天市场上观测到的这些值很不相同。当一个期权的价值需要依赖于未来的某个波动率时，应用隐含树图的时候需要非常谨慎。
四、二叉树定价模型的深入理解 由上可见，二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格
4
参见E. Derman and I. Kani, “The V olatility Smile and Its Implied Tree,” Quantitative Strategies Publications , Goldman Sachs, (January 1994); E. Derman and I. Kani, “Riding on a Smile,” RISK , (February 1994), 32-39; M. Rubinstein, “Implied Binomial Trees,” Journal of Finance , 49, 3 (July 1994), 771-818.
向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率p 是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯偏微分方程。
取当前时刻为t t -?（这是为了后面计算的方便，并不影响结论），在给定参数p 、u 和
d 的条件下（注意这里并未限定求p 、u 和d 的第三个条件，而是一般适用的），当0t ?→时，二叉树公式：
()()()(),,1,r t
f S t t pf Su t p f Sd t e -?-?=+-????
可以在(),S t 进行泰勒展开，最终可以化简为：
()()()()()22221,,,,02f f f
S t rS S t S S t rf S t o t t S S
σ???++-+?=??? t ?的高阶小量()o t ?可以忽略，从而说明离散二叉树模型和连续布莱克－舒尔斯模型是十
分相似的，在0t ?→时，二叉树模型收敛于布莱克－舒尔斯偏微分方程。 最后，二叉树模型和布莱克－舒尔斯模型的另一个相似点在于：它们都可以通过选取适当的?值，构造一个由?份的标的资产多头和一份期权空头组成的无套利组合。二叉树模型中的?值满足1u d f f Su Sd -?=
-；布莱克－舒尔斯模型中的?则满足2f
S
??=?，之后两者都
可以利用这个无套利组合为期权定价。这里我们可以看到1?的极限就是2?，又一次验证了二叉树模型和布莱克－舒尔斯模型的一致性。但是，三叉树模型则无法实现这样一个无套利
组合，需要运用别的方法来构造。
第二节 蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种应用十分广泛的期权定价方法。
一、蒙特卡罗模拟的基本过程
蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现，因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
以一个简单的欧式期权(),f S t （即只有两个状态变量资产价格S 和时间t ，且利率为常数）为例，我们可以说明蒙特卡罗模拟的基本方法：
1. 从初始时刻的标的资产价格开始，直到到期为止，为S 取在风险中性世界中跨越整
个有效期的一条随机路径。这就给出了标的资产价格路径的一个实现。 2. 计算出这条路径下期权的回报。
3. 重复第一步和第二步，得到许多样本结果，即风险中性世界中的期权回报的值。
4. 计算这些样本回报的均值，得到风险中性世界中预期的期权回报值。
5. 用无风险利率贴现，得到这个期权的估计价值。
二、蒙特卡罗模拟的技术实现 （一）随机路径
我们已经知道，风险中性世界中，标的资产价格变量所遵循的过程可以写作
()dS r q Sdt Sdz σ=-+5 （8.10）
也可以写作
2ln 2d S r q dt dz σσ??
=--+ ??
? （8.11）
为了模拟S 的路径，我们把期权的有效期分为N 个长度为t ?的时间段，则式（8.10）
和（8.11）的近似方程分别为
()()()()()
S t t S t r q S t t S t σ+?-=-?+ (8.12)
()()2
ln ln 2S t t S t r q t σ??
+?-=--?+ ??
?（8.13）
式（8.13）还可以写为
()()2
exp 2S t t S t r q t σ???
+?=--?+? ???? （8.14）
其中()S t 代表t 时刻S 的价值，ε是从标准正态分布中抽取的一个随机样本。 因此，蒙特卡罗模拟就是离散地模拟资产价格S 的时间序列，这样，只要得知初始时刻
的S 值，随机抽取一个ε，就能算出t ?时刻的S 值；接着2t ?时的S 值又能从t ?时的S 值计算得到。因此，通过N 个正态分布的随机取样就可以组建一个资产价格路径的蒙特卡罗模拟样本，并得到相应的回报值。重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值，另外也可以顺便得到所估计的期权价值的标准差。
在以上两中模拟路径中，用ln S 比用S 本身更准确。使用式（8.12）模拟会存在t ?的高阶小项()o t ?的误差，仅仅在0t ?→时是完全正确的。但是式子（8.13）或（8.14）却是精确的，因而对于所有的t ?都是正确的。
例8.1 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14％，收益波动率为每年20％，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有
0.140.01S S ε?=?+
通过不断从标准正态分布样本中抽取ε的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径。表8.1显示了模拟的一条特殊路径。
假设股票价格的初始值为20，ε的第一个样本值为0.52，则第一个时间步长结束后，
0.0014200.02200.520.236S ?=?+??=
因此，第二步开始时的股票价格上升为20.236，这次抽到的ε为1.44，因此
5
注意，在风险中性世界中和在现实世界中，资产的波动率σ是一样的，改变的只是资产的预期收益率。
0.001420.2360.0220.236 1.440.611S ?=?+??=
因此第三步开始时的股票价格变为20.847，以此类推，最终可以得到股票价格的一条模拟路径，其最后的价格21.124可以看成是10个时间步长或是
110
年末股票价格分布中的一个随机抽样值。应当注意的是：表8.1仅仅表示了股票价格运动的一种可能方式，不同的随机取样将会导致不同的结果。进行这样的模拟达到足够多次，就可以得到110
年末股票价格的一个完整的概率分布。当然，由于我们采用的是式
（8.12），因此只有在0t
?→时，这种模拟过程才是完全正确的。
（该表格中假设股票价格精确到0.001）
表8.1 当0.14r
=，0.20σ=，0.01t ?=时的股票价格模拟
每步开始时的股票价格
ε的随机抽样值 该时间步长中的股票价值变化 20.000 20.236 20.847 20.518 21.146 20.883 20.603 20.719 20.292 20.617 21.124
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74 0.21 －1.10 0.73 1.16 2.56
0.236 0.611 －0.329 0.628 －0.262 －0.280 0.115 －0.427 0.325 0.507 1.111
（二）单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S 所遵循的路径还是仅仅取决于S 的最终价值，都可以使用这一方法。同时，这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
1.当回报仅仅取决于到期时S 的最终价值时
我们前面给出的蒙特卡罗方法可以模拟资产价格运动的整个路径，从而为那些价值可能依赖于路径发展过程的期权定价提供了便利，如我们将在后面看到的亚式期权（其期权价值依赖于有效期内的资产价格平均值）。如果期权价值仅仅取决于到期时S 的最终价值，而与其中间发展路径无关，比如最简单的欧式期权，蒙特卡罗模拟则可以非常方便迅速地进行处理。由于式（8.13）或（8.14）对所有的t ?都是精确的，我们就可以直接用一个大步（0T -）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值：
()(
)20exp 2S T S r q T σ???
=--+? ????
（8.15）
2.当回报依赖于多个市场变量时
当存在多个标的变量时，每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值。假设期权依赖于n 个变量，()1i i n θ≤≤。定
义i s 为i θ的波动率，?i m
为i θ在风险中性世界中的期望增长率，ik ρ为i θ和k θ之间的瞬间相
关系数6。与在单变量情况下一样，期权的有效期要分成N 个长度为t ?的时间段，如果采用(9.12)的形式，i θ的离散过程可以写为：
()()()()
?i i i i i i t t t m
t t s t θθθθε+?-=?+ （8.16）
其中(1)i i n ε≤≤是从多元标准正态分布中抽取的一组随机样本，
i ε和k ε之间的相关系数是ik ρ，1,i k n ≤≤，一次模拟运算包括从多元标准正态分布中获得N 个i ε的样本。把这些样本值代入式（8.16）可以产生每个i θ的模拟路径，并由此计算出期权的一个样本值。 显然，如果各个变量在期权有效期内的不同时刻到期，蒙特卡罗模拟也可以加以反映和
处理，而且可以应用于任何一种随机过程（但是所有的随机过程都必须是各变量在风险中性世界中所遵循的过程），这正是蒙特卡罗模拟强大和适应性广泛的体现。
（三）常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟
对于一般的股票期权、股票指数期权、外汇期权和商品期权等，我们大多假设利率是常数。在风险中性世界中，标的资产的预期收益率是()r q -，之后折现时使用的也是无风险利率。假设到期时期权的回报为T f ，则期权价值可以用公式表示为（初始时刻设为0）：
[]?rT T
f e E f -=. 其中，[]?E
?表示风险中性世界中的期望。 以上是利率为常数的情况，如果期权模型中的变量之一本身就是短期无风险利率r 或是其他与r 有关的变量，例如利率衍生产品，则蒙特卡罗模拟方法与前类似，只是要模拟风险中性世界中r 的路径，每次模拟时既要计算r 到期时终值相应带来的期权回报，又要计算期权有效期内r 的平均值。最后折现的时候使用的贴现率是这个平均值，用数学符号表示为：
?rT T f E e f -??=?
? r 为有效期内瞬间无风险利率的平均值。
（四）随机样本的产生和模拟运算次数的确定
在介绍了蒙特卡罗模拟的主要过程和方法之后，下面我们来讨论两个细节问题： 1. ε的产生
如前所述，ε是服从标准正态分布的一个随机数。大多数程序语言都为抽取0到1之间的随机数编制了程序。如果只有一个单变量，则ε可以通过下式获得：
12
1
6i i R ε==-∑
其中i R ()112i ≤≤是0到1的相互独立的随机数。
6
变量i s 、?i m
、ik ρ不一定是常数，可能取决于i θ。
如果需要从二元标准正态分布中抽取样本，则可以用如下的方法：1x 和2x 是用上述方法从单变量标准正态分布中抽取的独立样本，则
11x ε=
21x x ερ=+
其中ρ是相关系数。
如果从n 元标准正态分布中取样，同样先从单变量标准正态分布中抽取n 个独立变量
i x ()1i n ≤≤，则
1
k i
i ik k k x εα===∑
为了使i ε有正确的方差，并使i ε与j ε之间有正确的相关系数ij ρ()1j i ≤<，必须满足
21i
ik
k
α
=∑
且
,1
j
ik
jk i j k α
αρ==∑。
令第一个样本1ε等于1x ，就可以解出这些α的方程，通过1x 和2x 计算出2ε，再通过1x 、
2x 和3x 计算出3ε，依次类推。
2. 模拟运算次数的确定
蒙特卡罗过程是用随机数序列实现有限次数的模拟，进行模拟运算的次数取决于所要求的精度。在模拟运算得到期权价值均值的时候，我们也可以得到其标准差。设M 是如上所述进行运算的个数，μ为均值，ω
。如果对估
计值要求95％的置信度，则期权价值应满足
f μμ<<
确度提高为原来的10倍，则模拟运算次数应为原来的100倍。实际中常用的一个M 值是
10万次。
三、减少方差的技巧 如果蒙特卡罗模拟过程是按照我们上述的方法进行，往往M 需要极大，才能使期权价值的估计值较为精确合理，从而使得计算效率很低，因此人们运用了多种方法来降低估计的
方差，以大大减少实验次数，加快收敛。其中最常用的是对偶变量技术和控制方差技术。
（一）对偶变量技术 对偶变量技术（Antithetic Variable Technique ）是指在一次模拟运算中，计算两个期权价值：用通常方法计算得到1f ，改变计算1f 中所有的ε的符号得到2f ，这条模拟路径得到的期权价值是1f 和2f 的平均值f ，期权的最终估计值则是有限个f 的均值。通过这种方法，当一次模拟中的一个f 值高于真实值时，则另一个值必然偏低，反之亦然。人们发现，这种方法相当有效。如果ω是f 的标准差，M 是模拟运算的次数（每一次中包含计算两个f 值）
ω
，这通常大大小于运算2M 次得到的标准差。
（二）控制方差技术 蒙特卡罗模拟和二叉树模型中的控制方差技术是相同的，只是在蒙特卡罗中，对于两个类似的期权，必须使用相同的随机数流和相同的t ?平行地进行两次模拟。 （三）重点抽样法 重点抽样法（Importance Sampling ）适合于那些大部分路径对定价意义不大的情形，比如一个深度虚值的看涨期权，大部分路径上的终值为零。这时我们只选取那些标的资产的到期日价值大于其执行价格的路径，即重要路径为期权定价。这样等于缩小了样本空间，从而加速了收敛。 运用重点抽样法进行模拟时要注意，最后从重要路径中获得的贴现平均值还要再乘上k （重要路径出现的概率），才能获得期权价值的最终估计值。 （四）间隔抽样法 间隔抽样法（Stratified Sampling ）将市场变量在未来时刻的基本概率分布分为多个区间，并根据它的概率从每个间隔中抽样。假设存在10个可能性基本相等的区间，那么我们的抽样方案就可以设计为每个间隔中抽取的样本各占10％。如果样本间隔的数量很多，我们就可以取每个区间内的均值或是中位数作为该区间的代表样本值。这样也可以提高模拟运算的效率。Curran 和Moro 的文章中介绍了间隔抽样的两种具体方法7。 （五）样本矩匹配法 样本矩匹配法（Moment Matching ）是指对从标准正态分布中抽取的样本进行调整，使其一阶矩、二阶矩甚至高阶矩都匹配。假设我们为了计算特定时间内某个特定变量的变化值而使用的正态分布样本为i ε()1i n ≤≤，为了使前两阶矩相匹配，我们分别计算样本的均值
m 和标准差s ，之后定义调整后的样本为
i i m y s
ε-=
经调整后的样本均值为零，标准差为1.0，其后所有的运算中都使用这个经调整的样本。 样本矩匹配法可以节省计算时间，但是由于所有的抽样值都要保存到模拟运算结束，存
7
参见M. Curr an, “Strata Gems,” RISK , (March 1994), 70-71; B. Moro, “The Full Monte,” RISK , (February 1985), 57-58.
储负担很重。样本矩匹配法有时也被叫做二次抽样法（Quadratic Resampling），常常与对偶变量技术结合使用，因为后者可以自动地匹配奇数阶矩，这样样本矩匹配法就只需要匹配二阶矩，或者再加上四阶矩。
（六）准随机序列抽样法
准随机序列（Quasi-Random Sequences）是指从一个概率分布中抽取的代表样本组成的序列（它们在本质上是确定性的），准随机序列抽样法类似于间隔抽样，目的都是为了得到标的变量的代表值。只是在间隔抽样中我们假设已知需要抽取的样本数，而在准随机序列抽样法中，每次抽样都试图填补之前已存在的样本之间的空缺，使得抽取的样本值总是能大致均匀地分布在整个概率空间中，这使得模拟的收敛速度得到了改进。由于数论中有一个差异（Discrepancy）的概念衡量的是点集分布的均匀性，因此准随机序列法又被称为低差异序列
降低为
M
ω
。
（七）树图取样法
我们还可以通过一个树图来为资产价格路径取样，进行蒙特卡罗模拟。这样，在间隔抽样中，我们就可以应用树图而不是随机地抽取代表路径。如果一条路径经过任何给定结点的比例等于（或接近于）该结点被到达的概率，就被称为代表路径。Mintz(1997)最早介绍了这种方法。8
四、蒙特卡罗模拟的理解和应用
蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：
1. 在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解，所用的数学知识也很基本；为了获得更精确的答案，只需要进行更多的模拟；无需太多工作就可以转换模型。以上这些优点使得蒙特卡罗方法成为一个相当广泛和强大的期权定价技术。
2. 蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛，其中包括：
（1）期权的回报仅仅取决于标的变量的最终价值的情况；
（2）期权的回报依赖于标的变量所遵循的路径，即路径依赖的情形；
（3）期权的回报取决于多个标的变量的情况，尤其当随机变量的数量增加时，蒙特卡罗模拟的运算时间近似为线性增长而不象其他方法那样以指数增长，因此该方法对依赖三种以上风险资产的多变量期权模型很有竞争力。
因此，蒙特卡罗模拟可以适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，比如将在第九章介绍的奇异期权和路径依赖期权，同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准误差，这也是该方法的优点之一。
另一方面，蒙特卡罗模拟的缺点主要是：
1. 只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。尝试使用蒙特卡罗模拟技巧来为美式期权定价，成为近年来这个领域的发展方向之一。
2. 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。尤其在处理三个以下的变量时，蒙特卡罗模拟相对于其他方法来说偏慢，例如在第九章中处理一些路径依赖期权时，人们常常用二叉树模型等来取代蒙特卡罗模拟，就是因为其耗费的计算时间太多。而本节中那些减少方差的技巧，都是为了改进计算的效率而提出的。
8具体方法参见D. Mintz, “Less is more,” RISK, 10, 7 (July 1997), 42-45
第三节 有限差分方法
在应用微分方程建模的学科和工程当中，有限差分方法是最常用的数值求解方法。在金融界，这个方法也日益受到人们的重视，越来越多地用在期权定价当中。其主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程
222212f f f rS S rf t S S
σ???++=??? 转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近f t ??、f S
??和22f S ??各项，之后用迭代法
求解，得到期权价值。在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（Grids ），如图8.6所示。
图8.6 有限差分方法的格点图
具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格： 首先，把从零时刻（初始时刻设为零时刻）到到期日T 时刻之间的时间分为有限个等间隔的小时间段，设T
t N
?=
，就有()0,,2,...,t t T ??共1N +个时间段； 其次，把资产价格的变化也分成M 个等间隔的小价格段，定义max
S S M
?=
，就得到1M +个资产价格()max 0,,2,...,S S S ??9。如果划分合理，初始的资产价格会落在零时刻的
一个格点上。其中，t ?和S ?是相互独立的。
这样，我们就构造了一个共有()()11M N ++个格点的图，时间、资产价格和期权价值都仅仅在相应的格点处离散计算。点(),i j 对应i t ?时刻和资产价格j S ?，(),f i j 则表示(),i j 处的期权价值。应用这些格点之间的关系和已知的边界条件，我们可以把连续偏微分方程转化为一系列的差分方程，逐次求解，就可以得到零时刻初始资产价格所对应格点的期权价值。
9
从数学意义上说，S 的范围是无限的，但是在经济意义上，资产价格一般会有一个特定的合理变化边界，超出这一边界的价格是没有意义的，因此只需考虑从0到价格上限之间的变化即可。这个上限也不需要太大，一般在执行价格的三到四倍就足够了。
下面我们将具体介绍如何使用这些格点逼近微分，求出期权价值。这可以用多种方法实现，其中包括隐性有限差分法、显性有限差分法和其他的一些方法。为了方便说明，我们使用一个无红利股票的美式看跌期权作为例子。实际上有限差分方法不仅适用于布莱克－舒尔斯公式，也适用于其他类似的问题，如随机利率的情形等。
一、隐性有限差分法
为了将偏微分方程222212f f f rS S rf t S S
σ???++=???化为差分方程，需要应用离散算子分别逼近f
t
??、f S ??和22f S ??。其中的一种近似方法是隐性有限差分法（Implicit Finite
Difference Method ）。
（一）f
t ??、f S
??和22
f S ??的差分近似 1. f
S
??的近似
对于坐标方格内部的点(),i j ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表
示：
,1,i j i j
f f S
+-?、
,,1
i j i j f f S
--?和
,1,1
2i j i j f f S
+--?
这三种逼近方法分别称为前向差分近似（Forward Difference Approximation ）、后向差分近似（Backward Difference Approximation ）和中心差分近似（Central Difference Approximation ）。可以看到，这三种方法是针对i t ?时刻进行的差分近似，只是f ?的取值方向不同，中心差分实际上是前两者的平均值。
应用泰勒展开式考察这三种近似方法的精确度，可以发现前向和后向差分近似的误差均为S ?的高阶小项()o S ?，而中心差分的误差则为()
2o S ?，精确度更高。这是因为这一近似方法关于S 对称，使得一些误差项可以相互抵消。因此，大多数时候人们采用中心差分法来逼近f
S
??，但有时也根据需要使用单向差分方法。 2.
f
t
??的近似 对于点(),i j 处的
f
t
??，我们则采取前向差分近似以使i t ?时刻的值和()1i t +?时刻的值相关联：
1,,i j i j f f f
t t
+-?=?? 这一近似的误差是()o t ?，可以进一步改进。但是在这里，这样的精确度已经足够了。