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常用傅里叶变换对

常用傅里叶变换对
常用傅里叶变换对

取反----------取反共轭----共轭取反共轭取反----共轭

表2-1 常用函数傅立叶变换表

表2-1 几种典型波形的傅立叶变换表 名称 波形函数()f t 波形图 频谱函数()F ω 频谱图 矩形脉冲 ,2 0, 2 E t t τ τ ?

名称 波形函数()f t 波形图 频谱函数()F ω 频谱图 梯形脉冲 1 111 110, 22,222, 222, 222t E t t E t E t t τττττττττττττ? ≥?? ???+-<<- ??-?? ?? ?-<?

希尔伯特变换与傅立叶变换

在数学与信号处理的领域中,一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积,以得到。因此,希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出,而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学, 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope),出现在通讯理论(应用方面的详述请见下文。) 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下: 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value),其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是: 若,则可被定义,且属于;其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出: , 其中 ?是傅立叶变换, ?i (有时写作j )是虚数单位, ?是角频率,以及

? 即为符号函数。 既然: , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°,而正频率成分偏移?90°。 反(逆)希尔伯特转换 我们也注意到:。因此将上面方程式乘上,可得到: 从中,可以看出反(逆)希尔伯特转换 傅里叶变换(Fourier变换)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

傅里叶变换的性质

§3–4傅里叶变换的性质 设f(t) ←→F(jω),f1(t) ←→F1(jω),f2(t) ←→F2(jω);α、α1、α2为实数, 则有如下性质: 一、线性:α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω) 二、对称性:F(jt)←→2πf(-ω) 证明: 将上式中的t换为ω,将原有的ω换为t, 或: , 即:F(jt)←→2π f(-ω) P.67例3-3:已知 , 再令 ==> ←→2πG(-ω) 三、尺度变换: (α≠0的实数) 可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。 推论(折叠性):f(-t) ←→F(-jω) 四、时移性: (此性质易由傅氏变换的定义证得) 推论(同时具有尺度变换与时移): P.69-70例3-4请大家浏览。

五、频移性:

(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。 频移性的重要应用——调制定理: 欧拉公式 ? 例如门信号的调制:

显然,当ω0足够大时,就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。 六、时域卷积: f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω) 证明: 时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法: 时域:yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域:Y f(jω) = F(jω)H(jω) 七、频域卷积:f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)] 八、时域微分性:df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容) 推论: 条件: 例如:d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω 九、时域积分性:

常用傅里叶变换表

时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大,则会收缩 到原点附近,而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时,成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应

8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器,sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的。 ¥14 15 16》 a>0

18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到,应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式

26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

常用函数傅里叶变换

信号与系统的基本思想:把复杂的信号用简单的信号表示,再进行研究。 怎么样来分解信号?任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统,才可以用单位冲激函数处理,主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统(齐次性,叠加定理) 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数,得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西,只要知道了系统对单位冲击函数的响应,就知道了它对任何信号的响应,因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如:d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点:对于现行时不变系统,任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示,任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和,只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和,只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。

周期函数可以展开为傅里叶级数,将矩形脉冲展开成傅里叶级数,得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡,0点的值最大,然后渐渐衰减直至0 第一:对于傅里叶级数的系数,n 是离散的,所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上,其包络是取样函数。 第二:谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ,02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变,T 增大,那么0w 减小,当T 非常大的时候,0w 非常小,谱线近似连续,越来越密,幅度越来越小。 傅里叶变换:非周期函数 正变换:--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?( 反变换:-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换(典型非周期信号的频谱)

傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质(一) 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中,经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若-'1 ' 一 1 一八 餐丄I 则 嗽(0 +罰⑷ G 迅(j 由)+ 碍(Jtu ) (3-55) 其中a 和b 均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数 ,; 「" 由式(3-55)得 =侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ — 2 2 2 2 JtD J QJ 、对称性 (3-56) 则」 将上式中变量少换为x ,积分结果不变,即 证明因为 fC )二丄「EQ 讣叫田 N J 2^(i) = f F(J 噪叫 a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕 J —TO

」一 再将t用夕代之,上述关系依然成立,即 2戒(―型)-[ Jr-CD 最后再将x用t代替,则得—Lm—? ” 所以,fl- —■-'■ ■■* 证毕 若八」是一个偶函数,即-'二丿■,相应有-,:"J,则式(3-56) 尺〔血—2对'(创)C3-57) 成为 可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数二丁。式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如:/(0 =郭)一S)=l FS)= 1一2才㈣=2斶眄 例3-7若信号;二的傅里叶变换为 < r 72 G3> r <2 试求。 解将中的"换成t,并考虑;-";1为兰的实函数,有 M |r|G 戈 0 |t|>r/2 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为 頁恥)卜2氓旳(号)

傅里叶变换的基本性质 (2)

3-5 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中,经常需 要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。 一、 线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a 和b 均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数)(ωj F 。 解 因 由式(3-55)得 二、对称性 若 证明 因为 有 将上式中变量ω换为x ,积分结果不变,即 再将t 用ω代之,上述关系依然成立,即 最后再将x 用t 代替,则得 所以 证毕 若)(t f 是一个偶函数,即)()(t f t f =-,相应有)()(ωωf f =-,则式(3-56)成为 可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数π2。式中的ω-表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如

例3-7 若信号)(t f 的傅里叶变换为 试求)(t f 。 解 将)(ωj F 中的ω换成t ,并考虑)(ωj F 为ω的实函数,有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为 根据对称性 故 再将)(ω-f 中的ω-换成t ,则得 )(t f 为抽样函数,其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 观看动画 若 则 证明 因a >0,由 令at x =,则adt dx =,代入前式,可得 函数)(at f 表示)(t f 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a 倍,而 ) (a j F ω 则表示 )(ωj F 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a 倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。 例3-8 已知 ,求频谱函数)(ωj F 。 解 前面已讨论了

二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波

实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波 一、实验目的 1、了解图像傅里叶变换的物理意义; 2、掌握频域滤波原理; 3、熟悉傅里叶变换的基本性质; 4、熟练掌握FFT的变换方法及应用; 5、通过实验了解二维频谱的分布特点; 二、实验平台 计算机和Matlab语言环境 三、实验内容 1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示 2、频域滤波器处理图像 3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性) 四、实验步骤 1、二维傅里叶变换的性质 1> 二维傅里叶变换 构造一幅图像,在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹,对其进行傅里叶变换 f = zeros(64,64); for j=1:5 f(:,j*10:j*10+1)=1; end F=fft2(f);Fc=fftshift(F); subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换'); 2> 比例变换性 将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换,观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 fresize=imresize(f,2); fresize=fresize(31:94,31:94);

Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize); subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶'); 3> 旋转 将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换,观察图像与原始图像的差异、频谱的差异 frotate=imrotate(f,45);%图像旋转 Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转'); subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶'); 4> 可分性 首先沿着图像的每一行计算一维变换,然后沿着中间结果的每一列计算一维变换,以此计算二维傅里叶 for i=1:64 fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 end for j=1:64 fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 end Fc3=fftshift(fft_col); figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');

常用傅里叶变换

时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2 的频域对应 4 如果值较大,则 会收缩到原 点附近,而 会扩 散并变得扁平.当 | a | 趋向无穷 时,成为狄拉克δ 函数。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质

7 变换6的频域对应8 表示和 的卷积—这就是卷 积定理 9 变换8的频域对应。[编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数 11 变换10的频域对 应。矩形函数是理 想的低通滤波器, sinc函数是这类 滤波器对反因果 冲击的响应。

12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时,这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式

20 J0(t)是0阶第一 类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推 广形式; T n(t)是第 一类切比雪夫多 项式。 22 U n (t)是第二类切 比雪夫多项式。[编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数 分布.这个变换展示了狄 拉克δ函数的重要性:该 函数是常函数的傅立叶 变换 24 变换23的频域对应

25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到,应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.

常用傅里叶变换

常用傅里叶变换 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2 的频域对应 4 如果值较大, 则会收缩 到原点附近,而 会扩 散并变得扁平.当 |?a?|?趋向无穷 时,成为。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质 7 变换6的频域对应

8 表示和 的卷积—这就是9 变换8的频域对 应。 []平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 和归一化的 11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器,是这类滤波 器对冲击的响 应。 12 tri?是 13 变换12的频域对 应

14 exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时,这是可积的。 15 领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)?是。 21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是。 22 ???? U n?(t)是。

[]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表分布.这个变换 展示了狄拉克δ函数的 重要性:该函数是常函 数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到,应 用了:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里,?n是一个.δ(n)(ω)是 狄拉克δ函数分布的n 阶微分。这个变换是根 据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使 用,我们可以变换所 有。

常用函数傅里叶变换

常用函数傅里叶变换 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质

2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在 i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数

常用傅里叶变换表

弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大,则如果 4 会扩而到原点附近,a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时,成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。

5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理

想的低通滤波器,sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时,这是可积的。 14 15

a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到,应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( +

22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27

根据变换1和31得到. uta > 0. ,且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.

傅立叶变换

傅里叶变换 ●傅里叶变换 ?傅里叶变换及其反变换 ?傅里叶变换的性质 ?快速傅里叶变换(FFT)

傅里叶变换 ?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务,在频率域中变得非常普通 ?滤波在频率域更为直观,它可以解释空间域滤波的某些性质 ?可以在频率域指定滤波器,做反变换,然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ?一旦通过频率域试验选择了空间滤波,通常实施都在空间域进行

● 一维连续傅里叶变换及反变换 ?单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为 其中,?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) ?∞ ∞-=f u F )(1 -=j ?∞ ∞-=x f )(

● 二维连续傅里叶变换及反变换 ?二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为 ?给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y) () dy dx e y x f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=π2),(),(() dv du e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞∞-+=π2),(),(傅里叶变换

● 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换?单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为 u=0,1,2,…,M-1?给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x) x=0,1,2,…,M-1∑-==1 1 )(M x f M u F ∑-==1 0)(M u x f

● 一维离散傅里叶变换及反变换 ?从欧拉公式()(∑-=-=1 2cos(1 M x x f M θcos e j =()∑-=-=1 )2(1)(M x ux j e x f M u F π()(∑-==1 02cos 1 M x x f M π

傅里叶变换常用公式

(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小)。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; *卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

常用函数傅里叶变换

附录A 拉普拉斯变换及反变换 .

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. 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;

常用傅里叶变换

时域 信号 角频率 表示的 傅里叶 变换 弧频率 表示的 傅里叶 变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2的频域对应 4 如果值较大,则会收缩到原点附近,而会扩散并变得扁平. 当|?a?|?趋向无穷时,成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就是卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数

换换 10 矩形脉冲和归一化的sinc函数 11 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器,sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 12 tri?是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时,这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)?是0阶第一类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是第一类切比雪夫多项式。 22 U n?(t)是第二类切比雪夫多项式。 [编辑]分布

时域信号角频率 表示的 傅里叶 变换 弧频率 表示的 傅里叶 变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到,应用了欧拉公式:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里,?n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式。 29 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到. 33 u(t)是单位阶跃函数,且a?> 0. 34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

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