整数趣味计算
整数趣味计算 1.有一串数，任何相邻的4个数之和都是19，从左边起第5，10，11个数分别是3，2，8.求第4个数是几？
1.试一试：在商店的货架上摆放着一些装糖果的盒子，已知相邻5个盒子里装的糖果数量总和相等，第1个盒子里装有80粒，第10个盒子装30粒，第12个盒子装90粒.那么第5、6个盒子的总和是多少？
2.七个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数之和，已知第四个数是4，求第七个数.
2.试一试：八个小朋友站成一排，玩报数的游戏，游戏规则是第一个小朋友任意报一个自然数，第二个小朋友报出第一个小朋友所报数加1的数，从第三个小朋友开始，每个人报与其相邻的前两个小朋友所报数的和，已知第5个小朋友所报的数是13，那么第八个小朋友报的是几？
3.有些两位数加上49后得到三位数，而减去49后得到一位数，那么所有这样的两位数的和是多少？
3.试一试：某些三位数加上475后得四位数，减去475后得两位数，这样的三位数有多少个？
4.从自然数1开始到100截止，所有数字的和是多少？
4.试一试：自然数2~50的所有数字和是多少？
5.计算1~155这些自然数中所有数字的和.
解：有的同学一定会问，这道题与上一题的类型不是一样吗？那么根据上一题的说法，就可以计算出结果为：把1~149分成一组，150~155分为另一组.这样计算出的结果应为
1+1+4+9=15，15×75=1125，1×6+5×6+（1+2+3+4+5）=51，1125+51=1176.想一想，这个结果对吗？那么这道题究竟应该怎样解答呢？
这道题应这样分组，把{1~99}分成一组，{100~149}分成一组，{150~155}分成第三组.第一组再分为（0、99），（1、98），（2、97）……（49、50）共50个数对，每对的数字和是18.第二组再分为：（100、149），（101、148），（102、147）……（124、125）共25个数对，每对的数字和是15；第三组6个1，7个5，另有1、2、3、4.正确的结果应是（0+9+9）×50+（1+1+4+9）×25+1×6+5×6+（1+2+3+4+5）=1326 答：所有数字的和是1326.
综上，我们知道要结合具体的题去寻找适合于本题的解法，千万不能以点引面.
5.试一试：求3~160这些自然数中所有数字的和.
6.有如下两种对自然数的运算：第一种运算将数的每一位换为它被9减的差，例如这种运算将25变为74，将197变为802；第二种运算将一个数加上111.现有一个三位数406，对它进行四次运算，每次可以是以上两种运算中的任意一种，那么所能得到的最大得数是多少？
解：为了解题方便，不妨记第一、二种运算分别为A、B，我们考虑相继的两次运算，设在此之前所得的数为三位数x，并且此数作任意两次运算后仍保持为三位数.容易计算出先后作运算A1，B1，A2，B2后所得的结果分别是999-（999-x）=x，999-（x+111）=888-x，（999-x）+111=1110-x，（x+111）+111=a+222.由此可以看出，
A1=xx=222=B2，
B1=888-x1110-x=A2.
所以后一次运算是B时才有可能得到较大的结果.
对题中所给的数406作四次运算将总得到三位数.这样由前面的分析，仅当后三次均为B时才会出现最大的结果.在此限制下，当第一次运算是A时，得到的结果是
(999-406)+111+111+111=926，当第一次运算是B时得到的结果为406+111+111+111+111=850，相比之下，926即为所求.
答：所能得到的最大数是926.
6.试一试：甲乙进行数字游戏，游戏规则有两种，①用8分别减去一个自然数的每一个数位上的数，变为一个新数，如45变为43，175变为713；②用222加上一个自然数.现有一个自然数为202，经过三次操作，每次操作可以是以上两种方法中任意一种，如果谁先算出最大的数谁就为胜者，最后乙获胜，那么乙算出的数是多少？
7.今有10个数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103.如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组中的各数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数是多少？
解：由题知这10个数的和为：
17+23+31+41+53+67+79+83+101+103=598，所以每组中五个数的和为299（598÷2=299）.在这些数中，个位数字是的1有3个，个位数字是3的数有4个，个位数字是7的数有2个，而仅有79的个位数字为9.
在含有79的那组数中，其余的四个数之和应为299-79=220，个位数字为0.因此这四个数的个位数字可能有以下三种情况：①三个1和一个7，②一个1和三个3，③两个3和两个7.
在①中，因为31+41+101=173，220-173=47，所给的10个数中没有47，故不可能.
在②中，所给数中没有个位是3的数相加，和为
23+53+83+103=262，262-220=42，所以要从53，83，103中找出一个数用比它小42的数代替.经计算，53-42=11，
83-42=41，103-42=61，其中只有41在给定的数中，所以得到一种分级方法为：（23，41，53，79，103）和（17，31，67，83，101）.
在③中，个位是7的两数之和是17+67=84.由于220-84=136，
且恰有53+83=136，故此时仅有一种分组方法是：（17，53，67，79，83）和（23，31，41，101，103）.
由以上分析知，无论哪种分法，含101的那组数中第二小的数总是31.
答：含101的那组数中第二小的数是31.
7.试一试：今有9个数：11，13，15，19，100，75，71，32，42如果将它们分成三组，每组三个数，并且每组中的各数之和相等，那么把含有75的这组数从小到大排列，最小的数是多少？
8.将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果得到的新数都能被N整除，那么称N为“魔术数”，在小于120的自然数中，“魔术数”有几个？
解：由题知：N接写在任意一个自然数X右面得新数XN.
⑴若N是一位数，则XN=10X+N能被N整除，即对任何一个自然数X，10X都能被N整除，就是10应是N的倍数，则N 只能是1，2，5，共3个；
⑵若N是两位数，则XN=100X+N能被N整除，100应是N的倍数，N只能是10，20，25，50，共4个；
⑶若N是三位数，则XN=100X+N能被N整除，1000应是N的倍数，而N120，只有100一个.
所以小于120的“魔术数”有3+4+1=8个.
答：小于120的“魔术数”有8个.
8.试一试：所有三位的“魔术数”有多少个？
9.今有一个各位数字均不相同的五位数把组成它的数字的
顺序颠倒过来便组成一个新的五位数，这两个五位数的和是163535.求原五位数的百位数字.
9.试一试：有一个每个数位上数字都一相同的四位数，这个四位数各数位上的数字颠倒，得到一个新数，新数与原数的和是12221，那么原来的四位数是什么？
10.已知A、B、C分别代表不同的数字，四个三位数AB4，B03，B3C，BA1排成一行，其中任意相邻两数之差均相等，那么
A+B+C等于多少？
10.试一试：甲、乙、丙三人站成一排，手里分别拿着写有自然数的卡片（三人彼此互不知道），东东来到他们面前发现了有趣的规律，于是他说：你们三人卡片上的数都是三位数，而且百位数字都相同；甲数的个位数字与丙数十位数字相同；你们三人卡片上的三个数十位数字构成一个等差数列（相邻两个数的差相等的数列，叫等差数列.），个位数字也是一个等差数列，并且这三个数在一起，也构成等差数列.那么你能想出甲、乙、丙三人卡片上分别写着什么数吗？11.50枚棋子围成了一个大圆圈，依次编上号码1、2、3……50.从第一枚开始，按顺时针方向（第一次拿第一枚），每隔一枚拿掉一枚，剩下最后一几号？如果剩下的这枚棋子的号码是"39"，那么，第一个被取走的棋子的号码是多少？
解：我们先从简单情况分析，按顺时针方向先从第1枚拿，假如只有4枚，经过操作剩下的是第4枚.假如有5枚，最后剩下的是第2枚.假如有7枚，最后剩下的是第6枚.假如有10枚，最后剩下的是第4枚……
综上我们可以发现如下规律：棋子总数为2^a＋m（a≥0，0≤m ＜2^a）枚，按顺时针方向，从1开始（即先拿第1枚）每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止.最后剩下的是①当m=0时，剩下的是第2a枚.②当m＞0时，剩下的是第2m枚.
由此可知最后剩下的是第36号（50=2^5+18，2×18=36）. 因为从36到39有4个数，所以最先拿的是第4号.
进一步得到：棋子总数为2^a＋m（a≥0，0≤m＜2a）枚，按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止.最后剩下的是第T枚，则第一次拿走的是①当T＞2m时，为T－2m（2a）＋1枚.②当T＜2m（2a）时，为2m＋2a－T ＋1枚.
答：从第一枚开始拿，那么最后剩下的是第36号；如果最后剩下的是第39枚，那么第一次拿的便是第4号.
11.试一试：有100名学生围成了一个大圆圈，依次编上号码1、2、3……100.按顺时针方向，1、2报数，凡报1的学生离开，直到剩下最后一名学生为止.那么最后剩下的学生编号是几？如果剩下的这名学生的号码是"80"，那么，第一
个报数的学生号码是多少？
［方法归纳］在解此类问题时，没有太多普遍解法。我们主要应多看、多练、多动脑，充分理解数与数之间的关系，然后采取恰当解法。
参考答案
1.110粒.提示：第1、6、11个盒子装的数目一样多，第5,10个盒子装的数目一样多.
2.55.提示：仿例2.其实这列数也叫兔子序列数.
3.50个.
4.329.提示：分组为2~49，50
5.1279.提示：分组为{0、1、2、3~99}，{100~159}，{160}.
6.1130.仿例6.
7.19.提示：分组为19，75，32；71，42，13；100，11，15.
8.5个.它们为：100，125，200，250，500.
9.4567.
10.128，156，184.
11.72；9.
提示100=2^6+36，80－36×2＋1=9