一、等差数列选择题
1．已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且
*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200
B ．100
C ．90
D ．80
3．设数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+. 则8a 的值为（ ）．
A ．65
B ．16
C ．15
D ．14
4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6
12S
S =（ ） A ．
17
7
B ．
83 C ．
143
D ．
103
6．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12
15
a b =（ ） A ．
3
2
B ．
7059
C ．
7159
D ．85
7．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7
B ．10
C ．13
D ．16
8．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+，则6
3a b 的值为
（ ） A ．
5
11
B ．38
C ．1
D ．2
9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161
B ．155
C ．141
D ．139
10．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
53
B ．2
C ．8
D ．13
11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=
B ．560a a +=
C ．670a a +=
D ．890a a +=
12．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25
B ．11
C ．10
D ．9
13．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
14．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）
A ．24
B ．23
C ．17
D ．16
15．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）
A ．0m S <且10m S +>
B ．0m S >且10m S +>
C ．0m S <且10m S +<
D ．0m S >且10m S +<
16．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23
，且
11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(
23
)n －1
B ．(
23
)n C ．
21
n + D ．
1
2
n + 17．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．
54
钱 B ．
43
钱 C ．
23
钱 D ．
53
钱 18．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019
B ．4040
C ．2020
D ．4038
19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++????
+-= ???????
，数列{}n b 满足
1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 20．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）
A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
二、多选题21．题目文件丢失！
22．若不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
24．已知数列{}2n
n
a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6
D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列
25．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
27．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
28．（多选题）在数列{}n a 中，若22
1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称
{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}
2
n a 是等方差数列
B ．
(){}1n
-是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 29．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??
????
是等差数列
B ．数列1n a ??????
的前n 项和2
n S n =
C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D ．数列{}n a 为递减数列
30．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）
A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；
B ．2n n a a d +-=（d 为常数，
*n N ∈）；
C ．(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++（*n N ∈）.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题 1．B 【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ??
??
??
为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进
而可得1
n a n
=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】
因为*
121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12
211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ??
?
???
为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25
a a a ==可得
25112,115a a a ==?， 所以11
11
2
1145d a d a a ?+=????+=???，解得1111
a d ?=???=?，
所以
()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n
=，
所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+≥对任意的*n N ∈恒成立，
又10020n n +
≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 2．C 【分析】
先求得1a ，然后求得10S . 【详解】
依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 3．C 【分析】
利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】
由2
1n S n =+得，12a =，()2
111n S n -=-+，
所以()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,1
21,2n n a n n =?=?-≥?
，故828115a =?-=.
故选：C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4．D 【分析】
根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】
由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，
根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；
当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；
当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．D 【分析】
由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
所以()()633962S S S S S ?-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =.
又
()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，∴31210S S =，从而
126103
S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：
（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
（2）()()633962S S S S S ?-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ?-=-+-，化简解得31210S S =. 6．C 【分析】
可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】
因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且
3221
n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，
又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ?-==?-， 故选：C ． 7．C 【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
141,16a S ==，
41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.
故选：C 8．C 【分析】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则
6
3
a b 可得． 【详解】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，
可得当2n ≥时，()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，
当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，
()232n b n λ=+
故622a λ=，322b λ=，
故6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?
-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 9．B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得：3612107y x y -=??-=? ，解得15548
x y =??=?.
故选：B. 10．B 【分析】
设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】
设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 11．B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项.
【详解】
由等差数列的求和公式可得()
110101002
a a S +=
=，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．D 【分析】
利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，
故选：D ． 13．C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==?=，
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
14．A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】
解：根据题意，52820
45252
a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 15．D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选：D. 16．C 【分析】 由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??
????
的通项公式，进而得出答案． 【详解】
由已知可得数列1n x ??
????是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-?=，故21
n x n =+
故选：C 17．C 【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，
则根据题意有(2)()()(2)5
(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=??
-+-=++++?
，
解得1
16a d =???=-??
，
所以戊所得为2
23
a d +=， 故选：C . 18．B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
?=?+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==?=+?? 故选：B 19．B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-
，求得
1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++????
+-=
???????
，得22
1114n n a a +-=， 所以数列21n a ??
?
???
是以
4为公差，以1为首项的等差数列， 所以
2
1
14(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >
，所以n a =
，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++???+
11
1339(91)244=++???+=?-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
2
2
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ??????
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n
b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．A 【分析】
在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】
在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，
所以139522639a a a =-=?-=， 故选：A
二、多选题 21．无
22．ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+n 递减，且1
223n
<+≤，
所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 23．AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-?=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 24．ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+，1(1)2
n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1
5
d =-. 故选ACD 25．BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-， 因为1a *
∈N ，所以n 为200的因数，()200
12n n
+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD.
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 26．AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ???=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++， 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27．AD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得11
45
460a d a d +=??+=?，进而得13,2a d =-=，故
25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45
460a d a d +=??+=?，
解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-?=-，2
4n S n n =-.
故选：AD. 28．BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项，取n a n =，则
()()()422444221111n n a a n n n n n n +????-=+-=+-?++????
()()221221n n n =+++不是常
数，则{}
2
n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；
对于B 选项，()()2
2
111110n n
+????---=-=????
为常数，则(){
}
1n
-是等方差数列，B 选项
中的结论正确；
对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得22
1n n a a p +-=，则数列
{}2n
a 为等差数列，所以(
)
2
21kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方
差数列，C 选项中的结论正确；
对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得
n a dn m =+，
则()()()()2
2
2
1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，
由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得22
1n n a a p +-=，
则()2
22d n m d d p ++=对任意的n *
∈N 恒成立，则()2202d m d d p
?=??+=??，得0p d ==，
此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】
本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 29．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +=
=+得到
1112n n a a +-=，从而得到1n a ??
????
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n
n n a a a +=
+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ??
?
???
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：
1
121
21n
n n a
数列1n a ???
???
的前n 项和()2
1212n
n n S n +-==，故B 正确.
对选项C ，因为
1
21n n a =-，所以121
n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1
21
n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 30．AC 【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】
A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，
B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；
C 选项中()
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差
数列，故正确；
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2
n S An Bn =+，所以{}n a 不
为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．