聚类分析
聚类分析是将个对象按各自的特征将相似的对象归到同一个类或簇的一种方法，它的原则是同一个类中的对象有很大的相似性，而不同类间的对象有很大的相异性。特点：
①适用于没有先验知识情况下的分类。对于没有先前的经验或一些规则的对象进行分类，则显得很随意和主观，这时需要使用聚类分析法通过对象各自的特性来合理的分类；
②能处理多个维度或属性决定的分类。例如，对于某个地区的全部家庭的富裕程度而言，通过家庭的收入和支出差可以简单分类，容易知道。但是如果要求从家庭的收入、家庭的支出、家庭的固有资产、家庭所在地区的地段等多个变量来分析就比较复杂，然后解决这个问题可以使用聚类分析算法。
③聚类分析算法也是一种探索性分析方法，能够挖掘对象的潜在规律和特性，并根据相似性原则对事物进行分类。
几类距离公式：
()
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()()()211112
21
11.2.=,3.,4.||5.1||
6.2||7p q
pq ij
i G j G p q
pq p q T
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pq
p
q p
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p q
p
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q ij ik jk
k p
ij ik jk k p
ij ik jk
k D d
n n D d x x n n ward D x
x x x n n Minkowski d q x x d x x d x x ∈∈====
=
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-+?
?=-????
=-?
?=-????∑∑∑∑∑类平均距离重心距离
离差平方和距离闵科夫斯基绝对值距离
欧氏距离
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ik jk ij k ik jk
ij x x Wiliams d L x x Mahalanobis d M =-=+=
∑
兰式距离马氏距离其中是样品协方差
系统聚类法思想
先将每一个样本作为一个单独的类，然后计算各个样本之间的距离i S ，在将计算出来的距离i S 定义为类之间的距离j S ，以为j S 标准的距离，进行合理合并，形成新的一个类，在重新对新类和其他剩余的类进行计算其距离，循环执行合并动作，直到全部的样本都属于一个大类为止。 步骤：
①若有n 个样本点，计算出每两个样本点之间的距离ij d ，即矩阵()ij n n D d ?=； ②建立n 个类，每个类中仅有一个样本点，且每个类的平台高度都为0； ③将距离最近的两个类合并为新类，选取聚类图的平台高度为这两类之间的距离值；
④求出新类和目前各类之间的距离，如果类的个数等于1，执行步骤⑤，否则，返回执行步骤③；
⑤画出聚类图； ⑥确定类的数目和类， 例题：
设有5个销售员12345,,,,w w w w w ，他们的销售业绩由二维变量12(,)v v 描述，见表1。
表1 销售员业绩表
记销售员(1,2,3,4,5)i w i =的销售业绩为12(,)i i v v 。若使用绝对值距离来测量点与点之间的距离，使用最短距离法来测量类与类之间的距离，即
{}2
1
(,),(,)min (,)i p
j q
i j ik jk p q i j w G k w G d w w v v D G G d w w ∈=∈=-=∑
①题中有5个样本点，计算出每两个样本点之间的距离ij d ，即矩阵D 为
014660355024040 ???? ???? ?? ???? ??
②建立5个类{}112345,,,,H w w w w w =。每个类的平台高度()(1,2,3,4,5)i f w i =都为0；
③将12,,w w 合并为新类6w ，选取新的平台高度为1，此时有
{}16345,,,H w w w w =；
④将34,,w w 合并为新类7w ，选取新的平台高度为2，此时有{}
2675,,H w w w =
；
⑤将67,,w w 合并为新类8w ，选取新的平台高度为3，此时有{}385,H w w =； ⑥将85,,w w 合并为新类9w ，选取新的平台高度为4，此时有{}49H w =； ⑦画出聚类图；
有聚类图可以看出，在这五个推销员中5w 的工作成绩最佳，34,w w 的工作成绩较好，而 12,w w 的工作成绩较差。
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第11章第2题 摘要 本题分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，可视为两因素方差分析，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。 试验的目的是分析化肥的四个不同水平以及小麦品种的三个不同水平对小麦产量有无显着性影响。 关键词：方差分析显着性化肥种类小麦品种
一．问题重述 为了分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，把一块试验田等分成36个小块，分别对3种种子和四种化肥的每一种组合种植3 小块田，产量如表1所示（单位公斤），问不同品种、不同种类的化肥及二者的交互作用对小麦产量有无显着影响。 二．问题分析 本题意在分析四种化肥和三种小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，为两因素方差分析问题，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。通过对这两种因素的不同水平及交互作用的分析，从而分析 4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响。 三．模型假设 1.假设只有化肥种类和小麦品种两个因素，其他因素对试验结果不构成影响。 2.假设不存在数据记录错误。 3.假设每一块试验田本身各项指标相同，不会影响结果。 四．符号说明 数字1,2,3,4——不同的化肥种类 数字1,2,3——不同的小麦品种 五．模型建立 将化肥种类和小麦品种视为两个因素，四种化肥种类看作是化肥种类的四个不同水平，三个小麦品种看作是小麦品种的三个不同水平，将表1的数据进行整理，如表2所示。
六．模型求解 将表2数据导入到spss软件中，进行两因素方差检验，得到结果如下：表3
聚类分析 聚类分析是将个对象按各自的特征将相似的对象归到同一个类或簇的一种方法，它的原则是同一个类中的对象有很大的相似性，而不同类间的对象有很大的相异性。特点： ①适用于没有先验知识情况下的分类。对于没有先前的经验或一些规则的对象进行分类，则显得很随意和主观，这时需要使用聚类分析法通过对象各自的特性来合理的分类； ②能处理多个维度或属性决定的分类。例如，对于某个地区的全部家庭的富裕程度而言，通过家庭的收入和支出差可以简单分类，容易知道。但是如果要求从家庭的收入、家庭的支出、家庭的固有资产、家庭所在地区的地段等多个变量来分析就比较复杂，然后解决这个问题可以使用聚类分析算法。 ③聚类分析算法也是一种探索性分析方法，能够挖掘对象的潜在规律和特性，并根据相似性原则对事物进行分类。 几类距离公式：
() ()() () () ()()()211112 21 11.2.=,3.,4.||5.1|| 6.2||7p q pq ij i G j G p q pq p q T p q pq p q p q p q p q q ij ik jk k p ij ik jk k p ij ik jk k D d n n D d x x n n ward D x x x x n n Minkowski d q x x d x x d x x ∈∈==== = = -+? ?=-???? =-? ?=-????∑∑∑∑∑类平均距离重心距离 离差平方和距离闵科夫斯基绝对值距离 欧氏距离 () ()( )())1 ||.8.p ik jk ij k ik jk ij x x Wiliams d L x x Mahalanobis d M =-=+= ∑ 兰式距离马氏距离其中是样品协方差 系统聚类法思想 先将每一个样本作为一个单独的类，然后计算各个样本之间的距离i S ，在将计算出来的距离i S 定义为类之间的距离j S ，以为j S 标准的距离，进行合理合并，形成新的一个类，在重新对新类和其他剩余的类进行计算其距离，循环执行合并动作，直到全部的样本都属于一个大类为止。 步骤： ①若有n 个样本点，计算出每两个样本点之间的距离ij d ，即矩阵()ij n n D d ?=； ②建立n 个类，每个类中仅有一个样本点，且每个类的平台高度都为0； ③将距离最近的两个类合并为新类，选取聚类图的平台高度为这两类之间的距离值； ④求出新类和目前各类之间的距离，如果类的个数等于1，执行步骤⑤，否则，返回执行步骤③；
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,
聚类分析 聚类分析是将个对象按各自的特征将相似的对象归到同一个类或簇的一种方法，它的原则是同一个类中的对象有很大的相似性，而不同类间的对象有很大的相异性。特点： ①适用于没有先验知识情况下的分类。对于没有先前的经验或一些规则的对象进行分类，则显得很随意和主观，这时需要使用聚类分析法通过对象各自的特性来合理的分类； ②能处理多个维度或属性决定的分类。例如，对于某个地区的全部家庭的富裕程度而言，通过家庭的收入和支出差可以简单分类，容易知道。但是如果要求从家庭的收入、家庭的支出、家庭的固有资产、家庭所在地区的地段等多个变量来分析就比较复杂，然后解决这个问题可以使用聚类分析算法。 ③聚类分析算法也是一种探索性分析方法，能够挖掘对象的潜在规律和特性，并根据相似性原则对事物进行分类。 几类距离公式： () ()() () () ()()()21 1112 21 11.2.=,3.,4.||5.1|| 6.2||7p q pq ij i G j G p q pq p q T p q pq p q p q p q p q q ij ik jk k p ij ik jk k p ij ik jk k D d n n D d x x n n ward D x x x x n n Minkowski d q x x d x x d x x ∈∈==== == -+? ?=-???? =-? ?=-????∑∑∑∑∑类平均距离重心距离 离差平方和距离闵科夫斯基绝对值距离 欧氏距离 () ()() ())1 ||.8.p ik jk ij k ik jk ij x x Wiliams d L x x Mahalanobis d M =-=+= ∑ 兰式距离马氏距离其中是样品协方差 系统聚类法思想 % 先将每一个样本作为一个单独的类，然后计算各个样本之间的距离i S ，在将计算出来的距离i S 定义为类之间的距离j S ，以为j S 标准的距离，进行合理合并，
数学建模之模糊评价与 模糊聚类 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
一、模糊评价 模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评 价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。 特点： ①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。 ②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。 ③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。 模糊评价的应用 ①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定， ③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。 一级模糊综合评判模型的建立步骤 ①确定因素集及评语集 确定被评价对象的因素集U ，{}12=,, ,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =； ②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。 用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有 ③确定各因素的权重 用i a 表示第i 个因素的权重，11n i i a ==∑，则评价因素权向量A 为 ()12,,,n A a a a =。 ④综合评判 由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为 则评判的综合结果为 () 11121212221212,,,m m n n n nm r r r r r r B A R a a a r r r ?? ? ? == ? ??? 。 多层次模糊综合评判模型的建立步骤
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在
多元统计分析中的降维方法在四川省社会福利中的应用 由于计算机的发展和日益广泛的使用，多元分析方法也很快地应用到社会学、农业、医学、经济学、地质、气象等各个领域。在国外，从自然科学到社会科学的许多方面，都已证实了多元分析方法是一种很有用的数据处理方法；在我国，多元分析对于农业、气象、国家标准和误差分析等许多方面的研究工作都取得了很大的成绩，引起了广泛的注意。在许多领域的研究中，为了全面系统地分析问题，对研究对象进行综合评价，我们常常需要考虑衡量问题的多个指标（即变量），由于变量之间可能存在着相关性，如果采用一元统计方法，把多个变量分开，一次分析一个变量，就会丢失大量的信息，研究结果也会偏差很大。因此需要采用多元统计分析的方法，同时对所有变量的观测数据进行分析。多元统计分析就是一种同时研究多个变量之间的相互关系，经过对变量的综合处理，充分提取变量之间的信息，进行综合分析和评价的统计方法。多元统计分析法主要包括降维、分类、回归及其他统计思想。 一．多元统计分析方法中降维的方法 1.概述 多元统计分析方法是同时对多个变量的观察数据做综合处理和分析。在不损失有价值信息的情况下，简化观测数据或数据结构，尽可能简单地将被研究对象描述出来，使得对复杂现象的解释变得更容易些。同时，采用多元统计分析中的聚类分析或判别分析可以对变量或样品进行分类与分组。根据所测量的特征和分类规则将一些“类似的”对象或变量分组。多元统计分析也可以研究变量间依赖性。即对变量间关系的本质进行研究。是否所有的变量都相互独立?还是一个变量或多个变量依赖于其他变量?它们又是怎样依赖的?通过观测变量数据的散点图，我们可以建立多元回归统计模型，确定出变量之间具体的依赖关系，进而可以根据某些变量的观测值预测另一个或另一些变量的值对事物现象的发展作预测。最后我们需要构造假设，并对所建立的以多元总体参数形式陈述的多种特殊统计假设进行检验。 在多元统计分析方法中数据简化或结构简化，实质上就是数学中的降维方法。多元统计分析中的降维方法主要包括聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析、对应分析和典型相关分析等几种方法。其中主成分分析和因子分析是在作综合评价方面应用最广泛、较为有效的方法。本文主要介绍这两种多元统计分析方法的应用。 2 主成分分析 2.1主成分分析的基本思想 在大部分实际问题中，需要考察的变量多，变量之间是有一定的相关性的，主成分分析就是以损失很少部分信息为代价，保留绝大部分信息的前提下， 将原来众多具有一定线性相关性的p个指标压缩成少数几个互不相关的综合指 标（主成分），并通过原来变量的少数几个的线性组合来给出各个主成分的具有实际背景和意义的解释。由于主成分分析浓缩了众多指标的信息，降低了指标的