大连市2017年高三第一次模拟考试
数学（理科）能力测试 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数12z i =+，则z z =（ ）
A ．5
B ．54i +
C ． -3
D ．34i - 2.已知集合2{|230}A x x x =--<，1{|
0}x
B x x
-=<，则A B =（ ） A ．{|13}x x << B ．{|13}x x -<<
C ．{|1003}x x x -<<<<或
D ．{|103}x x x -<<<<或1
3.设,a b 均为实数，则“||a b >”是“33
a b >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
4.若点P 为抛物线2
1
:2
C x y =
上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ） A ． 2 B ．
12 C. 14 D ．18
5.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，15a =-，则126||||||a a a +++=（ ）
A ． 9 B15． C. 18 D ．30
6.在平面内的动点(,)x y 满足不等式30
100x y x y y +-≤??
-+≥??≥?
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A ． 6
B ．4 C. 2 D ．0 7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A ． 4
B ．
73 C. 43 D ．83
8.将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于15
16
，则n 的最小值为（ ）
A ． 4
B ．5 C. 6 D ．7 9.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
A ．
118 B ．54 C. 32 D ．2316
10.若方程2sin(2)6x m π
+=在[0,]2
x π
∈上有两个不相等的实数解12,x x ，则12x x +=
（ ） A ．
2π B ．4π C. 3
π D ．23π
11.已知向量(3,1)OA =，(1,3)OB =-，OC mOA nOB =-(0,0)m n >>，若
[1,2]m n +∈，则||OC 的取值范围是（ ）
A ．
B ． C. D ． 12.已知定义在R 上的函数2
()(0)x
f x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式
12()(0)()(1)f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．1
(0,)2 C. 1(,1)2
D ．(1,)+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答）．
14.函数()sin x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程是 ．
15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是 ．
16.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线
相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知点P ，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =?. （1）求函数()f x 的最小值及此时x 的值；
（2）若A 为ABC ?的内角，()4f A =，3BC =，求ABC ?的周长的最大值.
18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD AP =，
E 为棱PD 中点.
（1）求证：PD ⊥平面ABE ；
（2）若F 为AB 中点，(01)PM PC λλ=<<，试确定λ的值，使二面角P FM B --的
余弦值为
20. 已知点P 是长轴长为Q ：22
221(0)x y a b a b +=>>上异于顶点的一个动点，
O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，点M 为线段PA 的中点，且直线PA 与OM 的斜率之
积恒为1
2
-
. （1）求椭圆Q 的方程；
（2）设过左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,C D 两点，线段CD 的垂直平分线与x 轴交于点G ，点G 横坐标的取值范围是1[,0)4
-，求||CD 的最小值. 21. 已知函数2
()(2)(2)x
f x x e a x =-++(0)x >.
（1）若()f x 是(0,)+∞的单调递增函数，求实数a 的取值范围；
（2）当1(0,)4
a ∈时，求证：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标
系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l
的参数方程为151x y ?=-
????=??
（t
为参数）.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα
=??
=?（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π
，Q 为
曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知0,0a b >>，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求证：22a b +=；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.
2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题
（1）A ；（2）D ；（3）A ；（4）D ；（5）C ；（6）A ；（7）D ；（8）A ；（9）B ；（10）C ；（11）B ；（12）D ． 二.填空题
（13）48；（14） y x =；（15）128；（16） 三.解答题 （17）
解：（I ）∵(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--，
∴()31sin 42sin()3
f x x x x π
=+-=-+，
∴当2()6
x k k Z π
π=
+∈时，()f x 取得最小值2．
(2) ∵()=4f A ，∴23
A =
π
，
又∵3BC =，∴22222cos 3
a b c bc =+-π，∴2
9()b c bc =+-．
2()4b c bc +≤，∴2
3()94
b c +≤，．
∴b c +≤=b c 取等号，
∴三角形周长最大值为3+
(18)
解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大.
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于
90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，
1242361(1)5C C P X C ===；2142363(2)5C C P X C ===；32
423
61
(3)5
C C P X C ===. 所以X 的分布列为
326EX =?=或2555
EX =++=.
(19)
解：(I)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ?底面ABCD ，∴PA AB ⊥， 又∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，PA
AD A =，PA ?平面PAD ，AD ?平面
PAD ，
∴AB ⊥平面PAD ，又PD ?平面PAD ，∴AB PD ⊥，AD AP =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，AE
AB A =，AE ?平面ABE ，AB ?平面ABE ，∴PD ⊥平面ABE .
(II) 以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令
||2AB =，
则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，
(2,2,PC =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ-
设平面PFM 的法向量111(,,)
m x y z =，=0=0
m PF m PM ???????，即20
2220
x z x y z λλλ-+=??
+-=?，
(2,1,1)m =-
设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0
=0n BF n FM ???????，
即(
)()0
212220x x y z λλλ=???-++-=??，(0,1,)n λλ=-
|cos ,|3
||||
6m n
m n m n ?
<>=
=
=
12λ=.
(20)
解：（Ⅰ）∵椭圆Q 的长轴长为a
=
设00(
,)P x y ，
∵直线PA 与OM 的斜率之积恒为12-0
0122
y =-， ∴22
0012
x y +=，∴1b =， 故椭圆的方程为2
212
x y +=. (Ⅱ) 设直线
l
方程为(1)(y k x k =+≠，代入
2
212
x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ，
∴22121222
422
(),1212k k x x x x k k
-+=-?=++. ∴201200
22
12(),(1)21212k k
x x x y k x k k =+=-=+=++
∴CD 的垂直平分线方程为001
()y y x x k -=-
-， 令0y =，得002
11
242
G x x ky k =+=-++ ∵1[,0)4G x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2
102
k <≤．
21|||CD x x =-=
2
112[+]22(21)2
k =≥+，
min ||CD =
． (21)
解：（Ⅰ）()(2)24x x f x e x e ax a '=+-++
∵函数)f x （在区间
0+∞（，）上单调递增， ()00+f x '∴≥∞在（，）上恒成立. ∴(2)240x
x
e x e ax a +-++≥，∴(1)24
x
x e a x -≥
+， 令(1)()24x x e g x x -=+，222
[(1)](24)2(1)(222)
()0(24)(24)x x x x x e e x x e e x x g x x x --+-----'=
=<++， ∴1()(0)4g x g <=
，∴1
4
a ≥. （Ⅱ）()20x f x x e a ''??=?+>?? ∴()=0+y f x '∞在（，
）上单调递增 ()0=410f a '-<又 ()1=60f a '> ∴()=0t f t '∈存在（0,1）使 ∴0x t ∈
（，）时，()0f x '<，+x t ∈∞（，）时，()0f x '> =x t 当时，()()2min ==-2+(2)t f x f t t e a t ?+（）
()=-1+2(2)0t
f t e t a t '?+=且有（） ，∴(1)
=
2(2)
t e t a t -+． 由（Ⅰ）知(1)
=()=2(2)
t e t a g t t -+在(0,)t ∈+∞上单调递减，
1(0)=,(1)=04g g ，且1
04
a <<，∴(0,1)t ∈．
∴()()2
2min (1)(2)==-2+(2)2(2)2
t t
t e t t t f x f t t e t e t --+-?+=?+（）， ()2=(1)02
t
e f t t t '?---<，
∴(1)()(0)f f t f <<，()1e f t -<<-, ∴()f x 的最小值的取值范围是(,1)e --． (22)
解：（Ⅰ）由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.
（Ⅱ）),4
P π
直角坐标为(2,2)，
1
(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2
Q M αααα++，:230l x y +-=．
M 到l
的距离|sin()|54d π
α=
=+，
(23)
解：（Ⅰ）法一：()|||2|=||||||22
b b f x x a x b x a x x =++-++-+-， ∵|||||()()|222b b b x a x x a x a ++-
≥+--=+且||02b
x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b
a +，
∴12
b
a +=，22a
b +=.
法二：∵2
b
a -<，
∴3,()|||2|=,23,2
x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ?
?--+<-?
?
=++--++-≤
?
+-≥??，
显然()f x 在(,]2b
-∞上单调递减，()f x 在[,)2
b +∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为()22
b b
f a =+
，
∴12
b
a +
=，22a b +=. （Ⅱ）∵2a b tab +≥恒成立， ∴
2a b
t ab
+≥恒成立，
212121122()(2)(14)22a b a b
a b ab b a b a b a +=+=++=+++19(1422
≥++= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值9
2
， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92
.
2017年大连市高三一模测试
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）C；（6）A；（7）D ；（8）A；（9）B；（10）C；（11）B；（12）D．
二.填空题
；（15）128；（16）
（13）48；（14）y x
三.解答题
（17）(本小题满分12分)
解：（I ）∵(3,1),(3cos ,1sin )OP QP
x x ==--，3
分
∴()31sin 42sin()3
f x x x x π
=+-=-+， ········ 5分
∴当2()6
x k k Z π
π=
+∈时，()f x 取得最小值2． ········· 6分
(2) ∵()=4f A ，∴23
A =
π
， 7分 又∵3BC =，∴222
22cos 3
a b c bc =+-π，∴29()b c bc =+-． 9
分
2()4b c bc +≤，∴2
3(
)94
b c +≤，．
10分
∴b c +≤，当且仅当=b c 取等号， ∴三角形周长最大值为3+ 12分
(18)(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
12分
………………………………………………………………………………………4分
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ……………………………………6分 （Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于
90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，
1242361(1)5C C P X C ===；2142363(2)5C C P X C ===；32423
61
(3)5
C C P X C ===.…………9分 所以X 的分布列为
326EX =?=或2555
EX =++=.…………………………12分
(19)(本小题满分12分)
解：(I)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ?底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵底面 ABCD 为矩
形，∴AB ⊥AD ，PA ∩AD =A ，PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ， 又PD ?平面PAD ，∴AB ⊥PD ，AD=AP ，E 为PD 中点，∴AE ⊥PD ，AE ∩AB =A ，
AE ?平面ABE ，AB ?平面ABE ，∴PD ⊥平面ABE . ………………………………6分
(II) 以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令
||2AB =，
则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，
(2,2,PC =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ-
设平面PFM 的法向量111(,,)
m x y z =，=0=0
m PF m PM ???????，即20
2220
x z x y z λλλ-+=??
+-=?，
(2,1,1)m =-
设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0
n BF n FM ????
???，即()
()0
212220x x y z λλλ=???-++-=??，
(0,1,)n λλ=-
|cos ,|
||||
6m n
m n m n ?<>=
=
=
12λ=.
(20) （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵椭圆Q 的长轴长为a =
设00(,)P x y ，∵直线PA
与OM 的斜率之积恒为12
-
，
0122
y =-，…………………………………………2分 ∴22
0012
x y +=，∴1b =， 故椭圆的方程为2
212
x y +=.…………………………………………4分
(Ⅱ) 设直线l
方程为
(1)(y k
x k =+≠，代入2
212
x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， ………………………………5分
设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ，
∴22121222422
(),1212k k x x x x k k -+=-?=++.…………………………………6分
∴20120022
12(),(1)21212k k
x x x y k x k k =+=-=+=++……………………7分 ∴CD 的垂直平分线方程为001
()y y x x k -=-
-， 令0y =，得002
11
242
G x x ky k =+=-++………………………………9分 ∵1[,0)4G x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2
102
k <≤．………………10分
21|||CD x x =-=
2
112[+]22(21)2
k =≥+，
min ||2
CD =
．…………………………………………………………12分
(21)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()(2)24x x f x e x e ax a '=+-++ ··············· 1分
)0+f x ∞函数（在区间（，）上单调递增
，
()00+f x '∴≥∞在（，）上恒成立
.
∴(2)240x
x
e x e ax a +-++≥，∴(1)24x x e a x -≥+， ··········· 2分
令(1)()24x x e g x x -=+，222
[(1)](24)2(1)(222)
()0(24)(24)
x x x x x e e x x e e x x g x x x --+-----'==<++， ∴1()(0)4g x g <=
，∴1
4
a ≥. ···················· 4分 （Ⅱ）()20x f x x e a ''??=?+>?? ∴()=0+y f x '∞在（，
）上单调递增 ()0=410f a '-<又 ()1=60f a '> ∴()=0t f t '∈存在（0,1）使 ∴0x t ∈
（，）时，()0f x '<，+x t ∈∞（，）时，()0f x '> =x t 当时，()()2min ==-2+(2)t f x f t t e a t ?+（） …………………………6分
()=-1+2(2)0t
f t e t a t '?+=且有（） ，∴(1)
=
2(2)
t e t a t -+．……………………6分 由（Ⅰ）知(1)
=()=2(2)
t e t a g t t -+在(0,)t ∈+∞上单调递减，
1(0)=,(1)=04g g ，且1
04
a <<，∴(0,1)t ∈．……………………………………8分
∴()()2
2min (1)(2)==-2+(2)2(2)2
t t
t e t t t f x f t t e t e t --+-?+=?+（），…………………10分 ()2=(1)02
t
e f t t t '?---<，………………………………………………………11分
∴(1)()(0)f f t f <<，()1e f t -<<-,
∴()f x 的最小值的取值范围是(,1)e --．………………………………………12分．
(22)（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由221:40,C x y x +-=………………………………………2分
:230l x y +-=. ……………………………………………………5分
（Ⅱ）),4
P π
直角坐标为(2,2)，…………………………………6分
1
(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2
Q M αααα++，:230l x y +-=．……8分