初中数学图形的相似图文答案(1)
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ?与ADM ?关于AM 所在直线对称，将ADM ?按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ?，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）
A 171365
B 61365
C 71525
D ．617
【答案】A
【解析】
【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明
AEH EMG V :V ，则有13
EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求
,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF
∠=
即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则
90AHG MGE ∠=∠=?，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=? ，
∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．
由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=?====，
90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=? ，
AEH EMG ∴∠=∠，
AEH EMG ∴V :V ，
13
EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+
在Rt AEH V 中，
222AH EH AE +=Q ，
222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45
x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65
CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=
． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，
17cos 1365
FN EFC EF ∴∠=
=． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性
质可得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出
CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AF AB
GF GD
==2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且∠CDE＝30°．设AD＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-
在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC ?AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，
故可得242CD x x =-+,
又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），
∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB
= 即2
22342,2342y
x x x x --+=-+ 故可得： 23343.633
y x x =-
++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．
【点睛】
考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
5．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．
AD AE AB EC
= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C
【解析】
【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质
进行判断即可．
【详解】
解：A.∵//DE BC ，
∴AD AE AB AC = ,故不正确； B. ∵//DE BC ，
∴AG AE GF EC
= ,故不正确； C. ∵//DE BC ，
∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,
DE AE BC AC ∴
=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC
∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，
∴
AG AE AF AC
= ,故不正确； 故选C ．
【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
6．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝
k x
上一点，k 的值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．24
【答案】C
【解析】
【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．
【详解】
解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，
OABC Q 是正方形，
6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠，
D Q 是AB 的中点， 12BD AB ∴=， //BD OC Q ，
OCQ BDQ ∴??∽，
∴
12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，
OFQ OAB ∴??∽，
∴
22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，
2643QF ∴=?=，2643
OF =?=， (4,4)Q ∴，
Q 点Q 在反比例函数的图象上，
4416k ∴=?=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．
7．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四＝2：3，其中正确的结论是（）
边形GHDE
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，
③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHD E＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴△ABE ≌△CDF ，故①正确；
∵AD ∥BC ，
∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，
∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ，
∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，
∴AE ＝12AD ，CF ＝12
BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，
∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2
∴AG ＝CH ＝
１３
AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；
∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，
∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，
故选：D
【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）
A ．1：2
B ．1：5
C ．1：100
D ．1：10 【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C ．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．11
【解析】
【分析】
过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，
∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为
BE 的中点，
1,2
FE GE BE ∴== ∴ 1,2
HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==
∴HF 1,4,2
x EH =
= ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+-
11111(8)8(4)422222x x x x =
++?--?? 2141644x x x x =
+--- 2116,4
x x =-+ ∴当12124
x -=-
=? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ．
本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．
11．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=?==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）
A ．55
B ．45
C ．35
D ．25
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
如图1，
在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10， ∴AC=55，
连接BE ，
∵BD 是圆的直径，
∴∠BED=90°=∠CBA ，
∵∠BAC=∠EDB ，
∴△ABC ∽△DEB ，
∴AB AC DE DB
＝ ， ∴5355DB
＝ ， ∴DB=35
在Rt △ABD 中，2225BD AB -，
故选：D ．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．28cm
B ．26cm
C ．24cm
D ．22cm
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=12
AC ，故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积的14
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，?ABCD ∽?OECF ，且AO=OC=
12AC 故四边形OECF 的面积是?ABCD 面积
14
即图中阴影部分的面积为4cm 2．
故选：C
【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.
13．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x
（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）
A．y=﹣6
x
B．y=﹣
4
x
C．y=﹣
2
x
D．y=
2
x
【答案】C 【解析】【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵BO
AO
=tan30°
3
∴
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，
∵1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3，
∴S△BCO=1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣2
x
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．
14．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ?相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为111A B C ?中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
15．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A ．AC 2＝AD ?AB
B ．CD 2＝AD ?BD
C ．BC 2＝B
D ?AB D ．CD ?AD ＝AC ?BC
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．
【详解】
解：如图，
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴由射影定理得：AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB，CD2＝AD?BD；
∴CD BC AD AC
；
∴CD?AC＝AD?BC，
∴A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
【点睛】
该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．
16．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
【答案】A
【解析】
试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为x，
则有=，
解得：x=48．
大多边形的周长为48cm．
故选A．
考点：相似多边形的性质．
17．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点,F ABF
V的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】
设AEF S x =△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出4BCF S x =V ，求出x 即可解答．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，
∴AEF ~CBF V V ，
设AEF S x =△，那么4BCF S x =V ，
∵2ABF S =V ， ∴()1x 2422
x +=
+， 解得：x 1=， ∴325CDEF S x =+=四边形，
故选：B.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的相似比与面积比之间的关系，灵活运用关系是解题关键．
18．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）
A ．∠AED ＝∠B
B ．∠BDE +∠
C ＝180° C ．A
D ?BC ＝AC ?DE
D ．AD ?AB ＝A
E ?AC
【答案】C
【解析】
【分析】
A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD?BC=AC?DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似.
D、由AD?AB=AE?AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
19．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB
BD CD
=D．
AD AB
AB AC
=
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故
A 与
B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，
故选C ．
20．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ?向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )
A ．2
B 3
C 15±
D ．152
【答案】D
【解析】
【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】
解：∵1AB =，
设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB
=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152
x -=（不合题意，舍去） 经检验152x +=
，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．