高二数学导数单元练习
一、选择题
1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A 7米/秒
B 6米/秒
C 5米/秒
D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2+c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) B.2 C.-1 D. 0
3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足'
'
()()f x g x =,则
()f x 与()g x 满足( )
~
A ()f x =2()g x
B ()f x -()g x 为常数函数
C ()f x =()0g x =
D ()f x +()g x 为常数函数
4. 函数3
y
x x 的递增区间是( )
A )1,(-∞
B )1,1(-
C ),(+∞-∞
D ),1(+∞
5.若函数f(x)在区间(a ,b )内函数的导数为正,且f(b)≤0,则函数f(x)在(a , b )内有( )
A. f(x) 〉0 (x)〈 0 (x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .非充分非必要条件
7.曲线3
()2f x x
x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( )
.
A (1,0)
B (2,8)
C (1,0)和(1,4)--
D (2,8)和(1,4)-- 8.函数3
13y x x =+- 有 ( )
A.极小值-1,极大值1
B. 极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值3
D. 极小值-2,极大值2
9 对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'
(1)()0x f x -≥,则必有( )
A (0)(2)2(1)f f f +<
B (0)(2)2(1)f f f +≤ C
(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>
二、填空题
#
11.函数3
2
y x x x =--的单调区间为___________________________________.
12.已知函数3
()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43
-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.
14.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列
1n a n ????+??
的前n 项和的公式是 . 三、解答题:
15.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线32
35y x x =+-相切的直线方程
16.如图,一矩形铁皮的长为8cm ,宽为5cm ,在四个角上截去
四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大
、
17.已知c bx ax x f ++=2
4
)(的图象经过点(0,1),且在1x =处的切线方程是2y x =-,请解答下列问题:
(1)求)(x f y =的解析式; (2)求)(x f y =的单调递增区间。
18.已知函数323
()(2)632
f x ax a x x =-
++- (1)当2a >时,求函数()f x 极小值; (2)试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。
$
20.已知1x =是函数32
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈<, (1)求m 与n 的关系式; (2)求()f x 的单调区间;
(3)当[]1,1x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.
参考答案
一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题 》
11.递增区间为:(-∞,
13),(1,+∞)递减区间为(1
3
-,1) (注:递增区间不能写成:(-∞,1
3
)∪(1,+∞))
12.(,0)-∞ 13.34
π 14.1
2
2n +- ()()/
112
22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为,
令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n
y n =+,所以
21
n n
a n =+,则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和()
12122212n n n S +-=
=--
三、解答题:
15.解:设切点为(,)P a b ,函数3235y x x =+-的导数为'2
36y x x =+
切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-,得1a =-,代入到32
35y x x =+-
-
得3b =-,即(1,3)P --,33(1),360y x x y +=-+++=
16.解:设小正方形的边长为x 厘米,则盒子底面长为82x -,宽为52x - 3
2
(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '
2
'10125240,0,1,3
V x x V x x =-+===
令得或,103x =(舍去)
(1)18V V ==极大值,在定义域内仅有一个极大值, 18V ∴=最大值
17.解:(1)c bx ax x f ++=2
4)(的图象经过点(0,1),则1c =,
'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=
切点为(1,1)-,则c bx ax x f ++=2
4)(的图象经过点(1,1)- 得59
1,,22
a b c a b ++=-=
=-得 |
42
59()122
f x x x =
-+
(2)'
3
()1090,0,1010
f x x x x x =->-
<<>或
单调递增区间为()+∞ 18.解:(1)
'22
()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a
=-++=--()f x 极小值为(1)2a f =-
(2)①若0a =,则2
()3(1)f x x =--,()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点; ②若0a <, ∴()f x 极大值为(1)02a
f =-
>,()f x 的极小值为2
()0f a
<,
()f x ∴的图像与x 轴有三个交点;
③若02a <<,()f x 的图像与x 轴只有一个交点;
④若2a =,则'2
()6(1)0f x x =-≥,()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点; ⑤若2a >,由(1)知()f x 的极大值为22133
()4()044
f a a =---<,()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点;
|
综上知,若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点;若0a <,()f x 的图像与x 轴有三个交点。
19.解:(1)3
2
'
2
(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++
由'
2124()0393
f a b -=
-+=,'(1)320f a b =++=得1
,22a b =-=-
'2
()32(32)(1)f x x x x x =--=+-,函数()f x 的单调区间如下表:
所以函数()f x 的递增区间是(,)3
-∞-与(1,)+∞,递减区间是2
(,1)3
-
; (2)3
21()2,[1,2]2
f x x x x c x =--+∈-,当23x =-时,222()327f c -=+
为极大值,而(2)2f c =+,则(2)2f c =+为最大值,要使2
(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立,则只需要2
(2)2c f c >=+,得1,2c c <->或
|
20.解(1)2
()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,
所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=,所以36n m =+
(2)由(1)知,2
()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ????--+
???????
当0m <时,有2
11m
>+,当x 变化时,()f x 与()f x '的变化如下表:
故有上表知,当0m <时,()f x 在2,1m ??
-∞+ ???
单调递减, 在2
(1,1)m
+
单调递增,在(1,)+∞上单调递减. (3)由已知得()3f x m '>,即2
2(1)20mx m x -++>
又0m <所以222(1)0x m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212
()2(1)g x x x m m
=-++,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
所以22(1)0120(1)010
g m m
g ?
-<+++?????-
4 3m
-<又0
m<
所以
4
0 3
m
-<<
即m的取值范围为
4
,0
3
??-
???