高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?<≤?1800α

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

αt a n

=k （1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2

121tan x x y y k --=

=α；当21x x =时，o

90=α；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；

2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：

1

21

121x x x x y y y y --=--；

注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：

1=+b

y

a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

线方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，???

?

??+-+222

2,B A A B

A B （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）

6(选修4-4)参数式?

??+=+=bt y y at

x x 00（t 参数）其中方向向量为),(b a ，

单位向量???? ??++222

2,b a b

b

a a ； a

b k =；22||||b

a t PP o +=； 点21,P P 对应的参数为21,t t ，则

2

22121||||b a t t P P +-=；

???+=+=α

α

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜

率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。 三、两条直线的位置关系

位置关系

222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

平行

?

21k k =，且21b b ≠

2

1

2121C C B B A A ≠

=(A 1B 2-A 2B 1=0) 重合

?

21k k =，且21b b =

2

1

2121C C B B A A =

= 相交

? 21k k ≠

21

21B B A A ≠ 垂直

?

121-=?k k

02121=+B B A A

设两直线的方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0

:22221111

=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或

1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00222

111C

y B x A C y B x A

解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ= 对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=?B A B A

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角

（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范

围是πθ<≤0；

注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是2

0π

θ<

≤；

（3）设两直线方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o

90=θ；

注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有

一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。 ②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2

(π

θθα≤=或)2

(π

θθπα>

-=；

五、点到直线的距离公式：

1.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

；

2.两平行线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 的距离为：2

2

21||B

A C C d +-=；

六、直线系：

（1）设直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222

=++C y B x A l ，经过21,l l 的交点

的直线方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除去2l ）；

如：①011=--?+=kx y kx y ，即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去0=x 的直线方程。

②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点 。

注意：推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为：0)()(21=+x f x f λ； （2）与0:=++C By Ax l 平行的直线为01=++C By Ax ； （3）与0:=++C By Ax l 垂直的直线为01=+-C Ay Bx ； 七、对称问题： （1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点

)2,2(b d a c --

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。 （2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距

离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a

的方程。

如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。 八、简单的线性规划：

（1）设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，

①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax ；②若点P 在直线l 的上方，则

0)(00>++C By Ax B ；

③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By Ax B ； （2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ，

①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；

0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；

②当0++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；

0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；

注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。 （3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大； 直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小；

②当0

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a 为 ； 第二部分：圆与方程

2.1圆的标准方程：2

2

2

)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222

r y x

=+.

2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上

d=r ；(2)点在圆外

d ＞r ；(3)点在圆内

d ＜r ．

2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2.3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心???

??--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???

??--

2,2

E D . 当0422<-+

F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .

圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径

0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A

2.4 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(2

2

B

A C Bb Aa d +++=

(1)

相离r d ；(2)

=???=相切r d ；（3）

0>???<相交r d 。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

（1）条公切线外离421??+>r r d ；（2）条公切线外切321??+=r r d ；

x

y

O

A(1,1)

B(5,1) C(4,2)

（3）条公切线相交22121??+<<-r r d r r ；（4）条公切线内切121??-=r r d ； （5）无公切线内含??-<<210r r d ；

外离 外切 相交 内切 内含 2.6 圆的切线方程：

1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r ；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

2.圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点

),(00y x P 的切线方程为：02

20

000=++++++F y y E x x D

y y x x . 一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.

若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则?

?

?

??+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出?k 切线方程. 2.7圆的弦长问题：1.半弦

2

L

、半径r 、弦心距d 构成直角三角形，满足勾股定理：222

2d R L -=??

? ?? 2.弦长公式（设而不求）：]

4)[(1)(212

2122

212

21x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（

第三部分:椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()

212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；

这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （c F F a 2221==时为线段21F F ，c F F a 2221=<无轨迹）。 2．标准方程： 2

22c

a b =-

①焦点在x 轴上：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，2

2

2

c b a +=并且椭圆的焦点总在长轴上；

②一般形式表示：

22

1x y m n

+=或者 ),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

（1）椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b

（2）椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a

2.对称性

椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）

（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

22c a ，即a

c

称为椭圆的离心率， 记作e （10<

2

22

1()b e a a

==-c

e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;

e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。（

e d

PF =|

|）

①焦点在x 轴上：122

22

=+b

y

a x （a ＞

b ＞0）准线方程：

c a x 2±

=

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2

±=

小结一：基本元素

（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

22

1(0)x y

a b a b +=>>的外部2200

221x y a b

?+>.

6.几何性质

（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：c a MF c a +≤≤-

（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）a

b AB 2

2=

（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2

tan

2

21θ

?=?b S F MF 其中

θ=∠21MF F

7直线与椭圆的位置关系：

(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系：

没有交点

相离有一个交点相切相交有两个交点???000 联立?????=++=+0

12

2

22C By Ax b y a x 消y 得： ()(

)

(

)

2

22

22222212

22

2221222222222

2

20

2B b A a B b C a x x B b A a AC

a x x B

b C a ACx a x B b A

a +-=+-=+=-+++

联立?????=++=+0

12

222C By Ax b y a x 消x 得： ()(

)

(

)

2

22

22222212

22

2221222222222

2

20

2B b A a A a C b y y B b A a BC

b y y A a C b BCy b y B b A

a +-=+-=+=-+++

(2)弦中点问题:斜率为k 的直线l 与椭圆),0,0(122

22n m n m n

y m x ≠>>=+交于两点

),(),(2211y x B y x A 、）

（00,y x M 是AB 的中点，则：0

22y x m n k AB ?-=

(3)弦长公式：]

4)[(1)(212

2122

212

21x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（

第四部分：双曲线

双曲线

标准方程（焦点在x 轴）

)0,0(122

22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）

)0,0(122

22>>=-b a b

x a y 定义

第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

{}a MF

MF M 22

1

=-()212F F a <

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。

x

y

P

1F 2F

x

y

x

y

P

1

F 2

F x

y

范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈

对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b

对称中心

原点(0,0)O

焦点坐标

1(,0)F c - 2(,0)F c

1(0,)F c - 2(0,)F c

焦点在实轴上，2

2

c a b =+；焦距：122F F c =

顶点坐标 （a -,0） (a ,0)

(0, a -,) (0，a )

离心率

e a

c

e (=

>1) 重要结论

（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：MF c a ≤-

（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）a

b AB 2

2=

（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：

2

cot

2

tan

2221θ

θ

?==

?b b S F MF

准线方程

c

a x 2±

= c

a y 2±

= 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c

a 2

2

渐近线 方程 x a

b y ±

= y a

b

x ±

= 共渐近线的双曲线系方程

k b y a x =-22

22（0k ≠） k b

x a y =-22

22（0k ≠） x

y

P

1

F 2F

x

y

P

x

y

P

1F 2F

x

y

P

直线和双曲线的位置

（1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系：

没有交点

相离有一个交点相切相交有两个交点???000 联立?????=++=-0

12

222C By Ax b

y a x 消y 得： ()(

)

(

)

2

22

22222212

22

2221222222222

2

20

2B b A a B b C a x x B b A a AC

a x x B

b C a ACx a x B b A

a -+=--=+=+++-

联立?????=++=-0

12

222C By Ax b y a x 消x 得： ()(

)

(

)

2

2222222212

222221222222222

2

20

2B b A a A a C b y y B

b A a BC

b y y A a C b BCy b y B b A

a ---=

-=+=----

(4)弦中点问题:斜率为k 的直线l 与双曲线)0,0(122

22>>=-n m n

y m x 交于两点

),(),(2211y x B y x A 、）

（00,y x M 是AB 的中点，则：0

22y x m n k AB ?= 弦长公式：

]

4)[(1)(212

2122

212

21x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

（2）其标准方程为C y x =-2

2

其中C≠0； （3）离心率2=

e ；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；

（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；

（6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分； 7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数2

a

第五部分：抛物线知识点总结

图象

)0(22>=p px y

)0(22>-=p px y

)0(22>=p py x

)0(22>-=p py x

定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线

的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。{MF M =点M 到直线l 的距离}

范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤

对称性 关于x 轴对称

关于y 轴对称

焦点

(

2

p

,0) (2

p

-

,0) (0,

2

p ) (0,2

p -

) 焦点在对称轴上

顶点 (0,0)O

离心率 e =1

准线 方程 2

p x -

= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离

p

焦半径

11(,)A x y

12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+

12

p AF y =-+

焦点弦 长

AB

12()x x p ++

12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

x y

O l

F

x

y

O

l

F

l

F

x y

O x

y

O l

F

α焦点弦AB 的几条性质

11(,)A x y 22(,)B x y (以

焦点在x 轴

正半轴为例)

以AB 为直径的圆必与准线l 相切,以MN 为直径的圆与AB 相切与点F ，即FN

MF ⊥

αα

cos 12cos 1221+=+

=-=

+

=p p x BF p p x AF 若AB 的倾斜角为α，则)(2sin 22

21通径p p

p x x AB ≥=

++=α

2

124

p x x = 212y y p =-

a

p S p

BF AF AOB

sin 22112

=

=+? 参数 方程

)(222

为参数t pt

y pt x ??

?==

1. 直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：

b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

o

x ()22,B x y F

y

()11,A x y M N

???=+=px

y b

kx y 22

?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

212212

212

4)(11x x x x k

x x k AB -++=-+=a

k ?+=2

1 或 212212

2124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ?+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

1212px y = 22

22px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--，

即0

y p k AB =

， 同理，对于抛物线)0(22

≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是

弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且

不等于零）

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠）

高中数学解析几何大题专项练习.doc

解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

高中数学平面解析几何知识点梳理范文

平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．

高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10<

高中数学解析几何专题

高中解析几何专题(精编版) 1、 (天津文)设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2。点(,) P a b 满足212||||.PF F F = (Ⅰ)求椭圆的离心率e ; (Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A,B 两点,若直线PF 2与 圆 22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且5 ||||8 MN AB =,求椭圆的方 程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两点间的距 离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。 (Ⅰ)解:设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,因为212||||PF F F =, 2c =,整理得2 210,1c c c a a a ?? +-==- ???得(舍) 或11 ,.22 c e a ==所以 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) 知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直线FF 2 的方程为).y x c =- A,B 两点的坐标满足方程 组2223412, ). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理,得 2580x cx -=。解得1280,5x x c ==, 得方程组的解21128,0,5,. x c x y y ?=?=??? ?? =???=?? 不妨设8,55A c c ?? ? ??? , (0,)B , 所以16||.5AB c == 于就是5 ||||2.8 MN AB c == 圆心(-到直线PF 2 的距离|||2| .22 c d += = 因为2 2 2 ||42MN d ??+= ??? ,所以223(2)16.4c c ++= 整理得2712520c c +-=,得26 7 c =-(舍),或 2.c =

高三文科数学解析几何专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料 ——《解析几何》专题 1．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ?=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆 C ：22 221x y a b += (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3 (1,)2 A 到F 1、F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和离心率； (Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程． 3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的 直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在，说 明理由 4．已知圆C ：224x y +=. （1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+， 求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 5．如图，已知圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6，过动点P 作A 的切线PM （M 为切点），连结PN 使得PM ： ，试建立适当 的坐标系，求动点P 的轨迹 6．已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）．

（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程． 7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低． 8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程. 9 情况下的两类药片怎样搭配价格最低？

高中数学解析几何解题方法

解析几何常规题型及方法 核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221- =，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

高中数学解析几何专题版.doc

高中解析几何专题（精编版） 1. （天津文）设椭圆 x 2 y 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 1 ，F 2。点 P(a,b) a 2 b 2 F 满足 | PF 2 | | F 1F 2 |. （Ⅰ）求椭圆的离心率 e ； （ Ⅱ ） 设 直 线 PF 2 与 椭 圆 相 交 于 A ， B 两 点 ， 若 直 线 PF 2 与 圆 (x 1)2 ( y 3) 2 16 相交于 M ，N 两点，且 | MN | 5 | AB | ，求椭圆的 8 方程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线的方程、 两点间的距离 公式、点到直线的距离公式、 直线与圆的位置关系等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想， 考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。 （Ⅰ）解：设 F 1 ( c,0), F 2 (c,0)( c 0) ，因为 | PF 2 | | F 1 F 2 |， c 2 c 0, 得 c 所以 (a c) 2 b 2 2c ，整理得 2 1 1（舍） a a a 或 c 1 , 所以 e 1 . a 2 2 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 a 2c,b 3c ，可得椭圆方程为 3x 2 4 y 2 12c 2 ，直 线 FF 的方程为 y 3( x c). 2 A ， B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 3x 2 4y 2 12c 2 , 消 去 y 并 整 理 ， 得 y 3( x c). x 2 8 x 1 0, c, 5x 2 8cx 0 。解得 x 1 0, x 2 8 5 c ，得方程组的解 5 y 1 3c, y 2 3 3 c. 5 不妨设 A 8 c, 3 3 c ， B(0, 3c) ， 5 5 2 3 c 2 16 c. 所以 | AB | 8 c 3 3c 5 5 5 于是 | MN | 5 | AB | 2c. 8 圆心 1, 3 到直线 2 的距离 d | 3 3 3c | 3 | 2 c | PF 2 2 . 2 42 ，所以 3 (2 因为 d 2 | MN | c) 2 c 2 16. 2 4 整理得 7c 2 12c 52 0，得 c 26 （舍），或 c 2.