2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)
考试方式：闭卷 考试时间：
一、单项选择题（每小题
3分，共15分）
1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A )
α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出，
（C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型
()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．
(A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．
4．初等矩阵（A ）；
(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,
,n ααα线性无关，则（C ）
A. 12231,,
,n n αααααα-+++必线性无关；
B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．实二次型()2
3
2221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ??
?
= ? ???
，则1A -=
8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213
21
222331
32
33
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;
10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ?? ?
= ? ???
，则()R AB =_____________；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．求行列式11
1213
21
22
2331
32
33
a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。 12．设矩阵111111111A -?? ?
=- ? ?-??
，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。
13． 求线性方程组???????=--+=--+=+-+=+-1
341321230
2432143214
321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T T T T
αααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。
15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值
123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式
23A E -.
四、解答题（10分）
16. 已知100032023A ?? ?
= ? ???
，求10A
五、证明题（每小题5分，共10分）
17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη为对应的齐次线性方程
组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,
,r ξηηη线性无关。
18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.
2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5.28
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A. ();k k k AB A B =
B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；
2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ ）。
A ．12,,,s ααα???都不是零向量; B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例; D.
12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。
A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；
4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；
5．二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设300140003A ??
?
= ? ???
，则()12A E --＝ ；
7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式21
31D =中元素ij a 的代数余子式，则11
12
2122
A A A A = ；
8．100201100010140001201103010?????? ?????
????? ?????-??????
= ；
9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ；
10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值
λ= ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设()1111222
20+a
a A a n n n n a +??
?+
?
=≠ ?
???
，求A 。 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中
102030201A ?? ?= ? ?-??
。
13．已知111011001A -??
?
= ? ?-??，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
14．λ取何值时，线性方程组1231231
2321
24551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？当
有无穷多解时，求通解。
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：
()11,1,1T α=，()21,2,4T α=，()31,3,9T α=，()1,1,3T
β=。
（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 18． 已知向量组(I) 1
23,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)
1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：2010.12.19
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。
(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;
（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2
n n -个.
2．下列矩阵中（ ）不满足2
A E =-。
(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?--??
.
3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( )。
(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1
,P P AP B -=使； (C) 存在可逆矩阵,T
C C AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使. 4．向量组错误！未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（ ） （A ）错误！未找到引用源。均不为零向量；
（B ）错误！未找到引用源。中有一部分向量组线性无关； （C ）错误！未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；
（D ）错误！未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误！未找到引用源。个向量线性表示。
5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ ）。
（A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件;
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设???
?
?
??=101020101A ，则22A A -= ；
7．已知(),,,,,,???
??==31211321βα设,A T βα=则A = ；
8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*12A A --= ；
9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 ;
10. 已知111242335A -?? ?=- ? ?--??，000
20002B λ
??
?
= ? ??
?
，且A 于B 相似，则λ
= 。 三、计算题（每小题10分，共50分）
11．1
23
12
111111111111(0)1
1
1
1n n n
a a D a a a a a ++=
+≠+
12．12．已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123
220
2030x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=? 的解.
①求λ的值；②证明0B =.
13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,
其中311110012,102,004202A B ???? ? ?== ? ? ? ?????
求矩阵X 。 14．求向量组123411343354,,,,22323342αααα--????????
? ? ? ?
-- ? ? ? ?==== ? ? ? ?
-- ? ? ? ?
--????????
53101α?? ? ?= ? ?-?? 的秩及最大
无关组。
15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??
?? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；
2. 求A 的特征值和对应的特征向量。
四、解答题（10分）
16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-
3(1,2,2)T b a b α=---+， 试讨论b a ,为何值时
（1）β不能用321,,ααα线性表示；
（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；
（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设12,,
,n ααα错误！未找到引用源。是一组n 维向量，证明它们线性无关的
充分必要条件是：任一错误！未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。 18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：
()()
1
A B A B -+-是正交矩阵。
。
武汉科技大学
2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。 A. ();k k k AB A B = B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=； 2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ B ）。
A ．12,,,s ααα???都不是零向量; B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例; D.
12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）。
A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关； 4． 如果（ D ），则矩阵A 与矩阵
B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；
5．二次型()222123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设300140003A ?? ?
= ? ?
??，则()12A E --＝1
0011
0220
01??
? ?-
? ??
?
；
7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式21
31D =
中元素ij a 的代数余子式，则11
12
2122
A A A A = -1 ；
8．100201100010140001201103010?????? ????? ????? ?????-??????=210104350?? ? ? ?
?
?；
9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 2 ； 10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值
λ= -3 ；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设()1111222
20+a
a A a n
n n n a +??
?+
?
=≠ ?
???
，求A 。
解：1
1
1
1
1
11
1
011110
00
2222000
+00
a a A a a n
n
n a
n a
+-==+-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 1
11
1111000
(1)10002
00
n
i n
n n n i i a
a i n n a a a a a a
=-=++?
?=
=+=+ ???∑
∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中
102030201A ??
?= ? ?-??
。
解：由2A B A B E --=，得()2A E B A E -=+，即
()()A E A E B A E
+-=
+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由于202040202A E ?? ?
+= ? ?-??，320A E +=≠，
0020
2020
0A E ??
?-= ? ?-?
?
，80A E -=≠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
()
()(
)()1
1
1
10
020011
0200102
20
010
0B A E A E A E A E -----???? ? ?=-++=
-=
= ? ? ? ?-?
?
?
?
，．．．．8分 所以18B =。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
13．已知111011001A -??
?
= ? ?-??
，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
解：因为111
01110001A -==-≠-，所以A 可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由2A AB E -=，得2A E AB -=，故()121A A E A AB ---=，即1A A B --=，．．．．4分
不难求出 1112011001A ---??
?
= ? ?-??,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因此1111112021011011000001001000B A A ----??????
? ? ?
=-=-= ? ? ? ? ? ?--?????? 。．．．．．．．．．．．．．．．10分
14．λ取何值时，线性方程组1231231
2321
24551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？当
有无穷多解时，求通解。
解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式
()()221
11541544
5
5
A λ
λ
λλλλ-=-=--=-+；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
1.当4
5
λ=-时，有()421
15
104555,112455104000945
51A b r ??-
- ?
--?? ? ?
?=-
--- ? ?
? ???-- ? ??
?，
()()2,3R A R A b =≠=，原方程组无解；
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2.当1λ=时，有()211103331001,1112111
20111455109990000A b r r ---??????
? ? ?
=---- ? ? ? ? ? ?----??????， 所以原方程的通解为1230111,10x x k x ?????? ? ? ?
=+- ? ? ? ? ? ???????．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
3.当4
1,5
λ≠-时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。 解：
()2
13
41021102110211441~0462~0462023102310000T
T T
T
A αααα------??????
? ? ?== ? ? ? ? ? ???????
．6分
所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为任意两个向量均不成比例，
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：()11,1,1T
α=，()21,2,4T
α=，()31,3,9T
α=，()1,1,3T
β=。
（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。 解：（1）把β用123,,ααα线性表示，即求解方程
112233x x x αααβ++=
得 分
11111111
10
01
2310120
010214
930
110
011
r r ??????
? ? ?- ? ? ? ? ? ??
??
??
?
故12322βααα=-+。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）()1231232222n n n n n A A A A A βαααααα=-+=-+
11211122331233222322223223.223n n n n n n n n n n n λαλαλαααα++++++??-+ ?
=-+=-+=-+ ? ?-+??
．．．．．．．．．．10分
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 证明：()01A E A E R A E ≠?-≠?-≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ()()()()1R A R A E n R A n R A E n +-=?=--≤-，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以0Ax =有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)
1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
证明：向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组，因此4α可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．．2分 假设向量组12354,,,ααααα-的秩不为4，又因为向量组123,,ααα的秩为3，所以向量组12354,,,ααααα-的秩为3，因此54αα-也可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．4分 因此5α可唯一的由123,,ααα线性表示，而向量组1235,,,αααα的秩为4，即
1235
,,,αααα线性无关，因此5α不能由123,,ααα线性表示，矛盾，因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
武汉科技大学
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ A ）。
(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2
n
n -个.
2．下列矩阵中（ C ）不满足2
A E =-。
(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?
--??
. 3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( D )。
(A)AB
BA =； (B) 存在可逆矩阵1,P P AP B -=使；
(C) 存在可逆矩阵,T
C C AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使.
4．向量组错误！未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（ D ）
（A ）错误！未找到引用源。均不为零向量； （B ）错误！未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；
（C ）错误！未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；
（D ）错误！未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误！未找到引用源。个向量线性表示。
5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）。
（A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件.
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设???
?
? ??=101020101A ，则22A A -= 0 。
7．已知(),,,,,,??
? ??==31211321βα设,A T βα=则A =1112322
133312
?
? ?
? ? ? ? ? ??
?
； 8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*1
2A A --= 27 ；
9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的
秩为2 ;
10. 已知
111
242
335
A
-
??
?
=-
?
?
--
??
，
00
020
002
B
λ??
?
= ?
?
??
，且A 于B相似，则
λ= 6 。
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．
1
2
312
1111
1111
1111(0)
1111
n n
n
a
a
D a a a a
a
+
+
=+≠
+
解：
1
21
32
111111
11
11110111
11110111
11110111
n
n n
a
a a
D a a
a a
+
++
=+=+
++
5分
1
1
1
2
2
1
1
111
1111
100
000
100
000
100
000
n
i i
n
n
a
a
a
a
a
a
a
=
+
-
=-=
-
∑
8分
12
1
1
1
n
n
i i
a a a
a
=
??
=+
?
??
∑10分
12．已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组
123
123
123
220
20
30
x x x
x x x
x x x
λ
+-=
?
?
-+=
?
?+-=
?
的解.
①求λ的值；②证明0
B=.
解：①因为非零矩阵B的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组
123
123
123
220 20 30 x x x
x x x
x x x
λ
+-=?
?
-+=?
?+-=?
有非零解，即122
210451
311
λλλ
-
-=?+=?=
-
5分
②由题意可得1222110()()3311B R B R A n -?? ?
-=?+== ? ?-??
， 8分
因为()1R A >，所以()3R B <，即B 不可逆，所以0B = 10分 注：第二问也可以用反证法，方法对即可。
13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102.004202A B ????
? ?
== ? ? ? ?????
求矩阵X 。
解：()22AX B X A E X B =+?-=1112012,002A E ?? ?
-=- ? ???
3分
()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ???--?
? ?
-=- ? ? ? ????? 8分
所以111100101X --?? ?
= ? ???
。 10分
14．求向量组123451134333541,,,,2232033421ααααα--??????????
? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?=====
? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?---??????????的秩及最大无关组。 解：()123451
1343113433
354100488,,,,~
22320003693
3
4
210051010ααααα----????
? ?
----
? ?
= ? ?---- ? ?
-----????
1134300488~0000000000--?? ?--
? ? ???， 6分 所以()12345,,,,2R ααααα=，任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。 10分
15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??
?? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；
2. 求A 的特征值和对应的特征向量。
解：1. 二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ??
?
= ? ???
， 3分
2．()()2
10003201505,10
2
3A E λ
λλλλλλ
--=
-=?--=?=-（二重） 6分
当5λ=时，()40010050022~011022000A E x -????
? ?
-=?-- ? ? ? ?-????
，
所以1011k ??
?
? ???为5λ=对应的特征向量。 8分
当1λ=时，()0000000022~011022000A E x ???? ? ?
-=? ? ? ? ?????
，
所以23100,101k k ????
? ?
- ? ? ? ?????
为1λ=对应的特征向量。 10分
四、解答题（10分）
16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-3(1,2,2)T b a b α=---+， 试讨论b a ,为何值时
（1）β不能用321,,ααα线性表示；（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，并求出表示式.
解：问题转化为方程组求解问题??
?
??
-=++-=+-++=-+3
)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x
增广矩阵11
1111112223~010323000A a b a b a a b a b --???? ? ?=+--- ? ?
? ?-+--???? 5分
（1）0a =时,(若b=0则2)(,1)(==A R A R ,若≠b 0则()2,()3R A R A ==) 方程组无解，即β不能用321,,ααα线性表示 6分 （2）0,0≠-≠b a a 时，()()3R A R A ==，方程组有唯一解，即β可由321,,ααα唯一地表示，求表示式：
111111110110010100101000000100010a a A a b a a b --??
???? ? ? ??-?? ?
? ? ? ? ?-??????
1112(1)a a βαα?=-+ 8分
（3）0,0a a b ≠-=时，()()2R A R A ==，β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，
求表示式：11111110010101100000000a a A a a --????
? ??-?- ? ? ? ?????
11
123(1)()a a k k βααα?=-+++， 10分
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设12,,
,n ααα错误！未找到引用源。是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条
件是：任一错误！未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。
证明：充分性：12,,
,n ααα是一组n 维向量，任一n 维向量都可由它们线性表示。因此有E
可由12,,
,n ααα线性表示，因此有
()()()n R E R A n R A n =≤≤?=?12,,,n ααα线性无关。 3分
必要性：,n b R ?∈12,,
,n ααα线性无关，因此有12,,
,,n b ααα线性相关，即
()12,,,n x b ααα=有惟一解，所以向量b 可由向量组12,,
,n ααα线性表示，由b 的任意性
可得任一错误！未找到引用源。维向量都可由12,,,n ααα线性表示。
5分
18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：
()()
1
A B A B -+-是正交矩阵。
证明：A 为对称矩阵T A A ?=，B 为反对称矩阵T B B ?=-，
,A B 可交换()()()()AB BA A B A B A B A B ?=?+-=-+， 2分
()()()
()()
()()
()()
()
()()()
11
11
1
T
T
T
A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B E
-----+-+-=
-++=+-+-= 4分
所以()()1
A B A B -+-是正交矩阵。 5分
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.
6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则 （ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）
11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则 。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那 么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么 。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4
西南大学线性代数作业答案
第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
线性代数作业提示与答案 作业（1） 一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三．1．阶梯形（不唯一）：????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ，简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4； 2．简化阶梯形为单位矩阵. 四．1．其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定） 当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解， 当2-=λ时，通解为=x ???? ? ?????111k ； 当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-； 2．?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解； 当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x T T k ],,[],,[022111+.
作业(2) 一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3． 0； （注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．12 2 2 +++γβα 作业(3) 一．1．c; 2. d ; 3.a 二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ n i i a x 1 ，得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ． 3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
学习中心 姓 名_____________ 学 号 西安电子科技大学网络教育 2014学年上学期 《线性代数》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1．大作业于2014年06月17日下发，2014年06月29日交回。 2．试题必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计。 3. 试题须手写完成，不能提交打印稿和复印稿，否则计零分。 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1．向量组1α=(),0,0,1T 2α=(),0,2,1T 3α=()T 5,0,0是线性 ； ()A 相关； ()B 无关； ()C 表示； ()D 组合． 2．设有向量1α=()T k ,3,1,4-，2α=,41,43,41,1T ??? ??- 当k = 时，1α，2α为线性相关； ()A 1； ()B －1； ()C 3； ()D －4． 3．行列式8 76 54321 0000 00 00a a a a a a a a 中元素7a 的代数余子式为 ； ()A 542632a a a a a a - ()B 542631a a a a a a - ()C 632542a a a a a a - ()D 854863a a a a a a -． 4．设 10010020 000 1000 -=a a ，则a = ； ()A 21- ； ()B 21； ()C －1； ()D 1．
5．设??????????=1011α，??????????=0102α，??????????=1003α，向量???? ? ?????--=011β可表示为321,,ααα的线性 组合：321αααβc b a ++=，则 ； ()A 1,1,1-=-=-=c b a ； ()B 1,1,1-=-==c b a ； ()C 1,1,1-==-=c b a ； ()D 1,1,1=-=-=c b a ． 6．设有矩阵23?A ,32?B ,33?C ,下列矩阵运算可行的是 ； ()A AC ； ()B ABC ； ()C C B T ； ()D BC AB -． 二、填空题：（每小题3分，共21分） 1．设34?A ·5?B k = C n m ?， 则 k = ，m = ，n = ； 2．设A =??????-432101，B =?? ????065231，则T AB = ； 3．设A =???? ? ?????--c b c a b c 000，则A 2= ； 4．设A =??????????--210413161，B =???? ??????--121312510， 则 （1）A +B 2= ， （2）A 2－B = ； 5．排列534162的逆序数()=534162 t ； 6．非齐次线性方程组x A =b 有解的充要条件是 。 三、计算题：（共20 分） 1．4 1111411 1141 1114 ===
线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）
线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
数值线性代数实验 大报告 指导老师：赵国忠 姓名：1108300001 刘帅 1108300004 王敏 1108300032 郭蒙
一、实验名称：16题P75上机习题 二、实验目的：编制通用的子程序，完成习题的计算任务 三、实验内容与要求： P75上机习题 先用熟悉的计算机语言将算法2.5.1编制成通用的子程序，然后再用所编制的子程 序完成下面两个计算任务： （1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的无穷范数条件数。 （2） 设A n = 1 1...111... .......... ... 1-1 (01) -- 先随机地选取x ∈R n ，并计算出b=A n x;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x .试对n 从5到30估计计算解∧ x 的精度，并且与真实的相对误差作比较。 四、 实验原理： （1）矩阵范数（martix norm ）是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。利用for 循环和cond （a ）Hilbert 求解Hilbert 矩阵的无穷范数，再利用norm(a,inf)求矩阵的无穷范数条件数。 （2）本题分为4步来求解。先运用rand 随机选取x ∈R n ，输入A n 矩阵，编制一个M 文件计算出b 。第二步用列主元高斯消去法求解出方程的解X2。第三步建立M 文件: soluerr.m 估计计算解∧x 的精度。第四步, 建立M 文件: bijiao.m ,与真实相对误差作比较。 五、 实验过程： (1)程序： clear for n=5:20
for i=1:n for j=1:n a(i,j)=1/(i+j-1); end end c=cond(a); f=norm(c,inf); fprintf('n=%3.0f\nnorm(c,inf)%e\n',n,f) end 运行结果： n= 5 norm(c,inf)4.766073e+005 n= 6 norm(c,inf)1.495106e+007 n= 7 norm(c,inf)4.753674e+008 n= 8 norm(c,inf)1.525758e+010 n= 9 norm(c,inf)4.931542e+011 n= 10 norm(c,inf)1.602467e+013 n= 11 norm(c,inf)5.224376e+014 n= 12 norm(c,inf)1.698855e+016 n= 13 norm(c,inf)3.459404e+017 n= 14 norm(c,inf)4.696757e+017 n= 15 norm(c,inf)2.569881e+017 n= 16 norm(c,inf)7.356249e+017 n= 17 norm(c,inf)4.362844e+017 n= 18 norm(c,inf)1.229633e+018 n= 19 norm(c,inf)9.759023e+017 n= 20 norm(c,inf)1.644051e+018 （2）程序：
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+
第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-