二元一次方程组的解法
一、目标认知
学习目标：
1．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义；
2．会检验一组数是不是某个二元一次方程组的解；
3．会用代入法和加减法解二元一次方程组，了解代入消元法和加减消元法的基本思想；
4．能够根据题目特点熟练选用代入法或加减法解二元一次方程组；
5．能借助二元一次方程组解决一些实际问题，使用代数方法去反应现实生活中的等量关系，体会代数方法的优越性.
重点：
二元一次方程组的解法.
难点：
熟练运用代入法和加减法解二元一次方程组.
二、知识要点梳理
知识点一：二元一次方程的概念
含有两个未知数(一般设为x、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程. 如x＋y＝24，都是二元一次方程.
要点诠释：
(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1. 如xy的次数是2，所以方程6xy＋9＝0不是二元一次方程.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 如方程的左边不是整式，所以它就不是二元一次方程.
(4)判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax＋by＋c＝0的形式，再根据定义判断，例如：2x＋4y＝3＋2x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y＝3，不符合二元一次方程的形式。
知识点二：二元一次方程的解
能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解。
如，，，……，都是二元一次方程x＋y＝3的解，我们把有无数组解的这样的方程又称之为不定方程。
要点诠释：
(1)使二元一次方程左右两边都相等的两个未知数的值(二元一次方程的每一个解，都是
一对数值，而不是一个数值),即二元一次方程的解都要用“{”联立起来，如,是二元一次方程x＋y＝2的解。
(2)在二元一次方程的无数个解中，两个未知数的值是相互联系、一一对应的。即其中一个未知数的值确定后，另一个未知数的值也随之确定并且唯一。
知识点三：二元一次方程组的概念
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
例如，都是二元一次方程组.
此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.
例如也是二元一次方程组.
知识点四：二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
(1)方程组的解要用大括号联立，如，而不能表示成x＝9,y＝4.
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无
解，而方程组的解有无数个.
(3)检验一组数是否是二元一次方程组的解时，一定要将这一组数代入方程组中的每一个方程，看是否满足每一个方程，只有这组数满足方程组中的所有方程时，该组数才是原方程组的解，否则不是。
知识点五：消元法
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2．消元的基本思路：未知数由多变少.
3．消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
知识点六：代入消元法
1．代入消元法是解方程组的两种基本方法之一。代入消元法就是把方程组其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。这种解二元一次方程组的方法叫代入消元法，简称代入法。
2．用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；
(2)将变形后的这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；
(5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式.
要点诠释：
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法。整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用
可使运算简便，提高运算速度及准确率。
知识点七：加减消元法
1．加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解,这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组中的两个方程，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就可用适当的数去乘一个方程或两个方程的两边，使两个方程中的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加减(相同时相减，相反时相加)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得其中一个未知数的值；
(4)把所求得的这个未知数的值代入到原方程组中系数比较简单的一个方程，求出另一个未知数的值；
(5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式。
要点诠释：
一般地，加减消元法的选择方法是：
(1)选择系数绝对值较小的未知数消元；
(2)某一未知数绝对值相等，如果符号不同，用加法消元，如果符号相同，用减法消元；
(3)某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减法消元；
(4)当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为绝对值相同的系数，再用加减法来解。用加减法解方程组时需注意：①对某个方程变形处理时各项都要扩大相同的倍数；②两个方程的左右两边的各项都要同时相加或相减。
三、规律方法指导
1．二元一次方程的整数解的求法：一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后根据条件逐一求出相应的解.
2．判断二元一次方程组的方法：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组，判断一个方程是不是二元一次方程组，就看它是否满足以下两个条件：(1)看整个方程组里含有的未知数是不是两个；(2)看含未知数的项的次数是不是1.
3．检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，如果这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解.
4．运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：
(1)当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；
(2)若方程组中未知数的系数为1(或－1)，选择系数为1(或－1)的方程进行变形，用代入法比较简便；
(3)当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；
(4)若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成(3)的类型，选择加减消元法比较简便；
(5)若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元；
(6)对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母、去括号、合并同类项等). 通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑.
经典例题透析
类型一：求二元一次方程的解
1．写出二元一次方程4x＋y＝20的所有正整数解.
思路点拨：要把4x＋y＝20变形，再根据代数式的特点求解.
解析：由原方程得y＝20－4x.因为x、y都是正整数，
所以当x＝1,2，3,4时，y＝16,12,8，4.
所以方程4x＋y＝20的所有正整数解为：，，，.
总结升华：(1)可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.(2)对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.
举一反三：
【变式1】在方程3x＋4y－2＝0中，若y分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.
【答案】将3x＋4y－2＝0变形得.
把已知y值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：
2 0 －1 －4
－2 2 6
【变式2】求二元一次方程2x＋y＝9在自然数范围内的解。
思路点拨：首先明确自然数的概念，自然数是指0,1，2, 3，…，也就是非负整数，最小的自然数是0。再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y＝9－2x，这样再让未知数x按顺序0,1，2，3，…取值，即可获得所求的自然数范围内的解。
解析：原方程变形为y＝9－2x
当x＝0时，y＝9，当x＝1时，y＝7，当x＝2时，y＝5
当x＝3时，y＝3，当x＝4时，y＝1，当x＝5时，y＝－1
所以方程在自然数范围内的解为，，，，。类型二：确定方程的待定系数
2．若是关于的二元一次方程，求的值.
思路点拨：根据二元一次方程的定义，a－3≠0，即a≠3；|a|－2＝1，即a＝±3，所以a＝－3.
解析：由题意得|a|－2＝1，所以a＝±3.
而a－3≠0，即a≠3，所以a＝－3.
总结升华：二元一次方程的待定系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不
管方程的形式如何变化，必须满足①含有两个未知数，②未知数的次数是1，这两个条件.
举一反三：
【变式1】如果是方程组的解，求a2009－2b2009的值.
思路点拨：把代入方程组，可以得到关于a、b的方程组，解这个方程组，可得a、b的值.
解析：由是方程组的解，得.
解这个方程组，得，当时，a2009－2b2009＝12009－2×12009＝－1.
总结升华：把x、y的值代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a、b的值. 本题体现了“系数”与“未知数”的转化关系.
【变式2】方程2x m＋1＋3y2n＝5是二元一次方程，则m＝________，n＝________.
【答案】0,
解析：由方程是二元一次方程得：m＋1＝1,2n＝1，解得：m＝0，n＝。
【变式3】若是方程组的解，则a＝_______，b＝_______.
【答案】a＝2，b＝1
解析：把代入原方程得。
3．已知方程组与方程组的解相同，求的值.
思路点拨：因为两个方程组的解相同，所以可先求出方程组的解，然后把
此解代入方程组中，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组，即可导出a、b的值.
解析：解方程组，得. 把代入方程组，
得，解这个方程组，得 .
总结升华：由于此题的解题步骤较多，所以解方程组的过程可以省略.
举一反三：
【变式1】已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值.
解析：由方程3x－y＝5与4x－7y＝1组成方程组，之后解题过程见例3，求出x、y 的值，
代入方程组，再求出a、b的值，得 .
【变式2】若等式中的x、y满足方程组，求mn的值。
解析：由2x－4＝0，y－＝0，得，把代入方程组得
解得：
把代入2m2－n＋得原式＝2×32－18＋＝。类型三：二元一次方程组的求法
4．解方程组 .
思路点拨：根据方程组的特点，可以选用不同的方法来解.
解析：方法一：原方程组化简得
由①得，y＝36－5x. ③
把③代入②，得－x＋5(36－5x)＝24，解得x＝6.
把x＝6代入③，得y＝36－5×6＝6.
所以原方程组的解是 .
方法二：原方程组化简得
①×5，得25x＋5y＝180. ③
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是 .
方法三：原方程组化简得
①×3，得9(x＋y)＋6(x－y)＝108. ③
②×2，得4(x＋y)－6(x－y)＝48. ④
③＋④，得13(x＋y)＝156，解得x＋y＝12.
把x＋y＝12代入①，解得x－y＝0.
解方程组，得 .
所以原方程组的解是 .
总结升华：(1)方法一和方法二都利用了二元一次方程组的常规解法：代入法和加减法；方法三根据题目的特点应用了整体的思想方法先求出x＋y和x－y的值，再进一步求x、y 的值，这是解方程(组)的一种重要的思想.
(2)解方程组时，不要急于求解，要先观察特点，因题而异，灵活选择方法，才能事半功倍. 同时，注意一题多解，训练思维的敏捷性和解题的灵活性.
举一反三：
【变式1】已知方程组，求x＋y＋z的值.
思路点拨：这是个三元一次方程组，只含有两个方程，一般不能分别求出x、y、z的值，可把“x＋y＋z”作为一个整体，把方程组变形，根据特殊性求解.
解析：将原方程组整理，得
①×3，得6(x＋3y)＋3(x＋y＋z)＝21，③
②×2，得6(x＋3y)＋2(x＋y＋z)＝16，④
③－④，得x＋y＋z＝5.
【变式2】解方程组
解：由②，得5x＋53y＝85×300，即5(x＋y)＋48y＝85×300.③
将①代入③，得5×300＋48y＝85×300。解得y＝500.
将y＝500代入①，得x＝－200.所以原方程组的解是.
【变式3】解方程组
解：设，，则原方程组可化为
解得，即，解得。
类型四：实践应用题
5．直角三角形ABC中，∠C＝90°，两个锐角的差是30°，求两个锐角的度数.
思路点拨：许多几何中的问题，如边、角问题，可通过设未知数来列方程组，使几何问
题中的量的关系变得更直接、更易懂.
解析：设两个锐角的度数分别是x°和y°，根据题意列方程组为，
解方程组，得 . 所以两个锐角的度数分别是60°和30°.
总结升华：列简单的二元一次方程组时应先设未知数，然后列出含有未知数的两个方程，再用大括号联立，组成二元一次方程组.
举一反三：
【变式1】美术小组的同学分铅笔若干支，若其中4人每人各取4支，其余的人每人各取3支，则还剩16支；若有1人只取2支，则其余的人恰好每人各得6支，问美术小组的同学有多少人？铅笔有多少支？
解析：设美术小组有名同学，有支铅笔，根据题意，得
，解方程组，得 .
答：美术小组有8名同学，44支铅笔.
【变式2】（宁德中考）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．
解析：设每年采用空运往来的有x万人次，海运往来的有y万人次，依题意得
解得
答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次．
6．小明做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示. 小丽看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
思路点拨：在图1中，大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和. 在图2中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长和1个小正方形的边长的和，由此可设出未知数列出方程求解.
解析：设小长方形的长为cm，宽为cm.
根据题意列方程组，整理得
①－②×3，得，把代入②，得.
所以这个方程组的解是 .
答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.
总结升华：通过观察图形找等量关系，建立方程组求解，本题渗透了数形结合的思想.
举一反三：
【变式1】（肇庆中考）2008 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100 枚，金牌数列世界第一．其中金牌比银牌与铜牌之和多2 枚，银牌比铜牌少7 枚．问金、银、铜牌各多少枚？
解析：设金、银牌分别为x枚、y枚，则铜牌为(y+7)枚，
依题意，得
解以上方程组，得x=51,y=21，
所以y+7=21+7=28．
答：金、银、铜牌分别为51枚、21枚、28 枚
【变式2】（2010浙江绍兴）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是( )
A．0.8元/以，2.6元/本B．0.8元/以，3.6元/本
C．1.2元/以，2.6元/本D．1.2元/以，3.6元/本
【答案】D
解析：设一支笔的价格为x元，笔记本的价格为y元，由已知条件可知
解方程组，得