a r X i v :h e p -e x /0610028v 1 10 O c t 2006
International Journal of Modern Physics A c
World Scienti?c Publishing Company MAN/HEP/2006/28
TAU PHYSICS FROM B F ACTORIES
G D LAFFERTY
School of Physics and Astronomy,The University of Manchester
Manchester M139PL,UK https://www.doczj.com/doc/3f10247938.html,?erty@https://www.doczj.com/doc/3f10247938.html,
Presented at Charm 2006,International Workshop on Tau-Charm Physics,June 05-072006,
Beijing,China
Some recent τ-physics results are presented from the BaBar and Belle experiments at the SLAC and KEK B factories,which produce copious numbers of τ-lepton pairs.Measure-ments of the tau mass and lifetime allow to test lepton universality and CPT invariance,while searches for lepton-?avour violation in tau decays are powerful ways to look for physics beyond the Standard Model.In semihadronic,non-strange tau decays,the vector hadronic ?nal state is particularly important in helping determine the hadronic correc-tions to the anomalous magnetic moment of the muon,while studies of strange ?nal states are the best available ways to measure the CKM matrix element V us and the mass of the strange quark.Keywords :Tau lepton
PACS numbers:13.35.Dx,13.66.De,14.60.Ef
1.Tau-Pair Production at B Factories
The SLAC and KEK B factories are asymmetric e +e ?colliders which run at centre-of-mass energies at,and close to,the Υ(4S)resonance.At these energies,around 10.58GeV,the cross section for tau-pair production,at 0.89nb,is close to the 1.05nb cross section for B
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2.Testing the Standard Model
Measuring static properties of the tau,such as mass,lifetime and electroweak cou-plings,allow tests of lepton universality and CPT invariance.Searches for lepton-?avour violation(LFV)in tau decays are particularly topical.In the Standard Model (SM),minimally augmented with massive neutrinos and neutrino oscillations,LFV decays of the tau are allowed,but at an unobservably low level1.However,various extensions to the SM predict LFV rates accessible to the B factories,with branching fractions of order10?8and higher2.
2.1.Tests of CPT and lepton universality
Belle has used3-prong tau decays from the processτ?→π?π?π0ντ,in a sample of414fb?1of data,to measure the tau mass and to put an upper limit on the relative mass di?erence of the two charge states of the tau3.They construct the pseudomass4,a kinematic quantity which,in the absence of initial and?nal state radiation,displays a sharp edge at the tau mass.By?tting the edge(see Fig.1), they obtain a mass Mτ=1776.71±0.13±0.32MeV/c2and a relative mass di?erence |Mτ+?Mτ?|/Mτ<2.8×10?4at the90%con?dence level(CL).The measurement of the relative mass di?erence represents a signi?cant improvement over the previous limit on this quantity.
BaBar has made a preliminary measurement of the tau lifetime and the relative
Fig.1.The distributions of the pseudomass(from Belle)for the decaysτ±→3π±ντshown separately forτ+(solid points)andτ?(open points)decays.The solid curves show?ts to obtain the tau mass.
TAU PHYSICS FROM B FACTORIES3
lifetime di?erence of the two charge states,using an80fb?1data sample.They measure a lifetime ofττ=289.40±0.91±0.90fs and a relative di?erence,(ττ??ττ+)/(ττ?+ττ+),of0.12±0.32%(the systematic error has still to be evaluated).All of the measurements to date are consistent with CPT invariance and with lepton universality.
2.2.Searches for lepton?avor violation in tau decays
Belle has recently published results5–6on searches for the LFV decays of the tau to a lepton plus two pseudoscalar mesons(π±or K±),including the cases where the mesons are decay products of a K0s,ρ,K?orφ.The most promising channel among these may beτ?→μ?ρ0,where the minimal supersymmetric standard model(MSSM)with small tanβcould give a branching fraction as large as10?8. These decay modes may also be sensitive to new physics models with heavy Dirac neutrinos and to models with dimension-six e?ective fermionic operators that induce τ?μmixing.With a data sample of158fb?1,Belle set90%CL upper limits that vary from1.6×10?7forτ?→e?π?K+to8.0×10?7forτ?→μ?K?K+.Using 281fb?1they obtain limits of5.6×10?8for e?K0s and4.9×10?8forμ?K0s Belle has also made a search7for the decayτ?→μ?ηputting an upper limit at3.4×10?7at90%CL.The Belle results improve on previous LEP and CDF exclusion limits in the tanβversus m SUSY plane.
BaBar has recently used a data sample of233fb?1to search for the decay τ?→μ?γ.In MSSM with the seesaw mechanism,the branching fraction for this process is directly related to the value of tanβand the mass of lightest chargino. BaBar excludes this process8with an upper limit on the branching fraction of 6.8×10?8at90%CL.
3.Semihadronic Tau Decays
The non-strange hadronic tau decays are dominated by vector and axial hadronic states,with the vector part of the so-called spectral function being particularly important as input to the calculation of the muon magnetic moment anomaly, aμ=(gμ?2)/2.The largest uncertainty in this calculation comes from the lowest order hadronic correction to the photon propagator,whose value is inferred from measurements of the cross section for the process e+e?→hadrons at low energies. Almost three-quarters of this correction is due to theπ+π??nal state,dominated by theρ(770)0.The e+e?annihilation data can be related,by isospin invariance (conserved vector current),to the decayτ?→π?π0ντfor which much higher statis-tics measurements are available.In principle,therefore,the tau decay data could provide more precise input for aμ;however there remains a discrepancy between the e+e?andτdata which currently is not understood.A recent review can be found in Ref.9.
Studies of the strange spectral functions in hadronic tau decays are the route to the world-best measurements of the CKM matrix element V us and the mass of the
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strange quark.All measurements to date of the strange tau decays are limited by statistics,and so the B-factory data have a very important role to play.Already,the BaBar and Belle preliminary measurements of the τ→K πντmodes are more precise than the previous world averages.3.1.τ?→π?π0ντand muon g ?2
Belle has used a
sample of 72fb ?1to make a ?rst study of their π?π0mass spec-trum from τdecay 10.They ?t to the phenomenological model of Gounaris and Sakurai 11which includes a set of three interfering ρBreit-Wigner amplitudes,and they ?nd the need for a ρ(1700)state in addition to the two well-known ρ(770)and ρ(1450)resonances (see Fig.2).Belle reports a branching fraction BF(τ?→π?π0ντ)=(25.15±0.04±0.31)%.The result for a ππμis in agreement with previous tau measurements from ALEPH 12and CLEO 13and in disagree-ment with the numbers deduced from the e +e ?data 9.
3.2.The decay τ?→3h ?2h +ντ
In a recent BaBar analysis 14,a data sample of 232fb ?1has been used to study the process τ?→3h ?2h +ντ.The branching fraction is measured as (8.56±0.05±0.42)×10?4,representing a signi?cant improvement on the previous world average.The mass spectrum of the hadronic system,with all tracks taken as
10
10101
10
|F π|
2
Fig.2.Belle a Gounaris-Sakurai model with all results from Ref.12.
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pions,is
shown in Fig.3(a),where it is compared to the output of the Tauola Monte Carlo model 15.Fig.3(b)shows the inclusive π+π?mass spectrum,indicating a signi?cant contribution from ρ(770)0.The 2π+2π?spectrum (Fig.3(c))shows a signal from the f 1(1285)meson,from which the branching fraction is measured to be BF(τ?→f 1h ?ντ)=(3.9±0.7±0.5)×10?4.These data will be used to improve the implementation of these channels in the Tauola Monte Carlo.
)2
Mass (GeV/c 2
E v e n t s /0.04 G e V /c (a))
2
Mass (GeV/c 2
E v e n t s /0.04 G e V /c (b)
)
2
Mass (GeV/c 2
E v e n t s /0.006 G e V /c
(c)
Fig.3.Mass spectra from BaBar for the decay τ?→3π?2π+ντ,for (a)the 5πsystem;(b)inclusive π+π?systems,and (c)2π+2π?(with a ?t including the f 1(1270)meson.
3.3.Searches for τ?→3π?2π+2π0ντand τ?→4π?3π+(π0)ντ
BaBar has looked for evidence for decays of the τto seven or more pions 16,which would be highly suppressed by phase space.In principle,the rate of such decays would be sensitive to the mass of the τneutrino,but recent results on the neutrino mass di?erences has somewhat reduced the interest in this,since indications are that the neutrino masses are too small to be probed by high-multiplicity τdecays.
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Using232fb?1of data,BaBar has placed the following upper limits on branching fractions at90%CL:3.4×10?6forτ?→3π?2π+2π0ντ;5.4×10?7forτ?→2ω(782)π?ντ;4.3×10?7forτ?→4π?3π+ντ;and2.5×10?7forτ?→4π?3π+π0ντ.
3.4.Strange hadronic tau decays
BaBar has made a preliminary measurement ofτ?→K?π0ντwith124fb?1of data,obtaining a branching fraction of(0.438±0.004±0.022)%.For the comple-mentary mode,τ?→K0Sπ?ντ,Belle uses351fb?1to measure a branching fraction of(0.391±0.004±0.014)%.The two measurements are consistent.In preliminary ?ts to their Kπmass spectrum,Belle?nds some evidence for the presence of the K?(1410)together with a scalar state(the so-calledκ).
4.Outlook
Each of BaBar and Belle expects to accumulate samples of close to,or greater than, 1000fb?1by the end of2008.Thus there is the potential for much moreτphysics in the coming years.Limits on LFV could be reduced down to～10?8for some channels,with even the possibility of the emergence of evidence for new physics.In semihadronic decays,measurements of the strange spectral functions should provide an improved measurement of the CKM matrix element V us and perhaps also of the mass of the strange quark.Measurements of the non-strange channels will include the important vector spectral functions,which should continue to aid understanding of the non-perturbative,hadronic contribution to the anomalous magnetic moment of the muon.
Acknowledgments
Many thanks go to the BaBar and Belle Collaborations,whose work I have reported.
I would also thank the organizers of Charm2006for what was a most enjoyable and productive workshop.
References
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3×10?3(eV/c2)2and maximal mixing implies a branching fraction of～10?54for τ→μγ.
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14.BaBar Collab.(B.Aubert et al.),Phys.Rev.Lett.72,072001(2005).
15.S.Jadach,Z.Was,R.Decker,J.H.Kuhn,https://www.doczj.com/doc/3f10247938.html,mun.76,361(1993).
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Aubert et al.),Search for the decayτ?→3π?2π+2π0ντ,to appear in Phys.Rev.D.
对输入、输出模拟量的PLC编程实例解析 对于初学PLC编程的人来说，模拟量输入、输出模块的编程要比用位变量进行一般的程序控制难的多，因为它不仅仅是程序编程，而且还涉及到模拟量的转换公式推导与使用的问题。不同的传感变送器，通过不同的模拟量输入输出模块进行转换，其转换公式是不一样的，如果选用的转换公式不对，编出的程序肯定是错误的。比如有3个温度传感变送器： （1）、测温范围为0~200 ，变送器输出信号为4～20ma （2）、测温范围为0~200 ，变送器输出信号为0～5V （3）、测温范围为－100 ~500 ，变送器输出信号为4～20ma （1）和（2）二个温度传感变送器，测温范围一样，但输出信号不同，（1）和(3)传感变送器输出信号一样，但测温范围不同，这3个传感变送器既使选用相同的模拟量输入模块，其转换公式也是各不相同。 一、转换公式的推导 下面选用S7-200的模拟量输入输出模块EM235的参数为依据对上述的3个温度传感器进行转换公式的推导： 对于(1)和（3）传感变送器所用的模块，其模拟量输入设置为0～20ma电流信号,20ma 对应数子量=32000，4 ma对应数字量=6400； 对于（2）传感变送器用的模块，其模拟量输入设置为0～5V电压信号，5V 对应数字量=32000，0V对应数字量=0； 这3种传感変送器的转换公式该如何推导的呢？这要借助与数学知识帮助，请见下图：
上面推导出的（2-1）、（2-2）、（2-3）三式就是对应（1）、（2）、（3）三种温
度传感变送器经过模块转换成数字量后再换算为被测量的转换公式。编程者依据正确的转换公式进行编程，就会获得满意的效果。 二、变送器与模块的连接 通常输出4～20ma电流信号的传感变送器，对外输出只有+、- 二根连线，它需要外接24V电源电压才能工作，如将它的+、- 二根连线分别与24V电源的正负极相连，在被测量正常变化范围内，此回路将产生4～20ma电流，见下左图。下右图粉色虚线框内为EM235 模块第一路模拟输入的框图，它有3个输入端，其A+与A-为A/D转换器的+ - 输入端，RA与A-之间并接250Ω标准电阻。A/D转换器是正逻辑电路，它的输入是0～5V电压信号，A-为公共端，与PLC 的24V电源的负极相连。 那么24V电源、传感变送器、模块的输入口三者应如何连接才是正确的？正确的连线是这样的：将左图电源负极与传感器输出的负极连线断开，将电源的负极接模块的A-端，将传感器输出负极接RA端，RA端与A+端并接一起，这样由传感器负极输出的4～20ma电流由RA流入250Ω标准电阻产生0～5V 电压并加在A+与A-输入端。 切记：不可从左图的24V正极处断开，去接模块的信号输入端，如这样连接，模块是不会正常工作的。 对第（2）种电压输出的传感変送器，模块的输入应设置为0～5V电压模式，连线时，变送器输出负极只连A+，RA端空悬即可。 三、按转换公式编程： 根据转换后变量的精度要求，对转换公式编程有二种形式：1、整数运算，2、实数运算。
数学快速计算法 二位数乘法速算总汇 1、两位数的十位相同的,而个位的两数则是相补的(相加等于10)女口:78 X 72= 37 X 33= 56 X 54= 43 X 47 = 28 X 22 46 X 44 (1) 分别取两个数的第一位,而后一个的要加上一以后,相乘。 (2) 两个数的尾数相乘,(不满十,十位添作0) 78X 72=5616 37 X 33=1221 56 X 54= 3024 43 X 47= 2021 (7+1) X 7=56 (3+1) X 3=12 (5+1) X 5=30 (4+1) X 4=20 8X 2=16 7 X 3=21 6 X 4=24 3 X 7=21 口决:头加1,头乘头,尾乘尾 2、两个数的个位相同,十位的两数则是相补的 如:36 X 76= 43 X 63= 53 X 53= 28 X 88= 79 X 39 (1) 将两个数的首位相乘再加上未位数 (2) 两个数的尾数相乘(不满十,十位添作0) 36X 76=2736 43 X 63=2709 3X 7+6=27 4 X 6+3=27 6X 6=36 3 X 3=9 口决:头乘头加尾,尾乘尾 3、两位数的十位差1,个位的两数则是相补的。 如:48 X 52 12 X 28 39 X 11 48 X 32 96 X 84 75 X 65
即用较大的因数的十位数的平方,减去它的个位数的平方。
48 X 52=2496 12 X 28 = 336 39 X 11= 819 48 X 32=1536 2500-4=2496 400-64=336 900-81=819 1600-64=1536 口决:大数头平方 —尾平方 4、一个乘数十位加个位是 9,另一个乘数十位和个位是顺数 X 78 = 81 X 23 = 27 X 89 = 5 23 2 如:12 X 13= 13 X 15= 14 X 15= 16 X 18= 17 X 19= 19 X 18= (1) 尾数相乘 ,写在个位上 (满十进位 ) (2) 被乘数加上乘数的尾数 12X 13=156 13 X 15= 195 14 X 15=210 16 X 18= 288 2X 3=6 3 X 5=154X 5=20 6 X 8=48 12+3=15 13+5=18 14+5=19 16+8=24 口决:尾数相乘 ,被乘数加上乘数的尾数 （满十进位 ） 6、任何二位数数乘于 11 如 :36 X 45 = 72 X 67 = 45 1 、解 : 3+1=4 4 X 4 = 1的6补5 数是 4X 5=20所以 36 X 45= 1620 2、解: 7+1=8 8 X 6 = 4的8补7 数是 8X 3=24所以 72 X 67 = 4824 3、解: 4+1=5 5 X 7=3的5补8 数是 5X 2=10所以 45 X 78 = 3510 5、10-20 的两位数乘法
简单的数学计算方法 Prepared on 22 November 2020
简单的数学算法 1.十几乘十几： 口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：12×14=？ 解: 1×1=1 ２＋４＝６ ２×４＝８ 12×14=168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位 ２.头相同，尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。 例：23×27=？ 解：２＋１＝３ ２×３＝６ ３×７＝21 23×27=621 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 ３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同： 口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。 例：37×44=？ 解：3+1=4 4×4=16 7×4=28 37×44=1628 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 ４.几十一乘几十一： 口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：21×41=？ 解：2×4=8 2+4=6 1×1=1 21×41=861 ５.11乘任意数： 口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。 例：11×23125=？ 解：2+3=5
3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分别在首尾 11×23125=254375 注：和满十要进一。 ６.十几乘任意数： 口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13×326=？ 解：13个位是3 3×3+2=11 3×2+6=12 3×6=18 13×326=4238 注：和满十要进一。 数学计算方法 一、30以内的两个两位数乘积的心算速算 1、两个因数都在20以内 任意两个20以内的两个两位数的积，都可以将其中一个因数的”尾数”移加到另一个因数上，然后补一个0，再加上两“尾数”的积。例如： 11×11=120+1×1=121 12×13=150+2×3=156 13×13=160+3×3=169 14×16=200+4×6=224 16×18=240+6×8=288 2、两个因数分别在10至20和20至30之间 对于任意这样两个因数的积，都可以将较小的一个因数的“尾数”的2倍移加到另一个因数上，然后补一个0，再加上两“尾数”的积。例如： 22×14=300+2×4=308 23×13=290+3×3=299 26×17=400+6×7=442 28×14=360+8×4=392 29×13=350+9×3=377 3、两个因数都在20至30之间 对于任意这样两个因数的积，都可以将其中一个因数的“尾数”移加到另一个因数上求积，然后再加上两“尾数”的积。例如： 22×21=23×20+2×1=462 24×22=26×20+4×2=528 23×23=26×20+3×3=529 21×28=29×20+1×8=588 29×23=32×20+9×3=667
【周根项教授一分钟速算】 周根项一分钟速算标准版，每套统一售价为298元，有发票！·一分钟速算口诀！快速阅读基本小技巧，不可多得的。 “两位数乘9”的例子（两位数特指个位比十位多1的两位数）： 34×9=？算法为我们有10个手指，从左往右1根手指就代表一个数，依次为1到10，两位数的个位是多少，就弯哪根手指头，弯下的代表0，弯下的手指前面有几个，百位数就是几，弯下的手指后面有几个，个位就是几。这个答案是306。 速算7例 1、位数与9相乘，用双手十指来表示。 打开双手，掌心向自己从左到右，每个指头依次代表1——10；比如：1×9，将代表1的大拇指弯曲，乘几读几：9。再如：8×9，将代表8的手指弯曲，左侧剩7，右侧剩2，则积是72。 2、个位数比十位数大1的两位数×9，可以用双手速算。 比如：45×9，此时只看这个两位数的个位数，将代表个位数5的手指弯曲，左侧剩4，右侧剩5，此时弯曲的手指代表0，那么，45×9 =405 3.、个位数与十位数相同的两位数×9，双手速算法。 比如：66×9，方法与上例相同，将代表个位数6的手指弯曲，只是此时弯曲的手指要读作9。左侧剩5，右侧剩4。弯曲的手指读作9，那么，66×9 = 594 4、十位数相同，个位数相加等于10的两位数×9的速算法。 例如：64×66，将一个十位数加1与另一个十位数相乘，（6+1）×6 = 42，再将两个个位数相乘，4×6的积24，连在两个十位数相乘的积的后面。就是64×66 = 4224 5、个位数相同，十位数相加等于10的两位数×9的速算法。 例如：43×63，将十位数相乘，加上个位数：4×6+3 = 27（×10），再将个位数相乘的积3×3 = 9写在后面，就是43×63 = 2709。口诀：十位数相乘加个位，个位数相乘写后面。 6、任意两位数乘两位数的万能法： ⑴首先个位数上下相乘，有进位的则进位。⑵个位数和十位数交叉相乘、积相加，有进位的加进 位。⑶十位数上下相乘，有进位的加进位。 例如：34×52 = 1768 再例如：26×68 = 1768 7、求数字位置颠倒两位数的差：例如：86×68。先用被减数的十位数、减无它的个位数，8—6 = 2，再 ×9（2×9 = 18），结果就是要求的差。即：86—68 =（8—6）×9 = 2×9 =18。 周根项速算大师乘法口诀 1、两位数相乘，在十位数相同、个位数相加等于10的情况下： 它的“积”= 上（十位数自己加1，再乘于自己）所得的“积”后面在写上两个个位数相乘的“积”。 如62×68= 4216 ：十位数相乘的积= 6×（6+1）= 42（前积） 个位数相乘的积= 2×8 = 16（后积）
PLC对模拟量数据的计算方法 可编程控制器(简称PLC) 是专为在工业环境中应用而设计的一种工业控制用计算机, 具有抗干扰能力强、可靠性高、体积小等优点, 是实现机电一体化的理想装置, 在各种工业设备上得到了广泛的应用, 在机床的电气控制中应用也比较普遍, 这些应用中常见的是将PLC 用于开关量的输入和输出控制。 随着PLC技术的发展, 它在位置控制、过程控制、数据处理等方面的应用也越来越多。本文将谈论利用PLC处理模拟量的方法, 以对机床液压系统工作压力的检测处理为例, 详细介绍PLC处理模拟量的各重要环节, 特别是相关软件的设计。为利用PLC全面地实现对机床系统工作参数的检测打下技术基础; 为机床故障的判断、故障的预防提供重要的数据来源。 1 PLC采集、处理模拟量的一般过程 在PLC组成的自动控制系统中, 对物理量(如温度、压力、速度、振动等) 的采集是利用传感器(或变送器) 将过程控制中的物理信号转换成模拟信号后, 通过PLC提供的专用模块, 将模拟信号再转换成PLC可以接受的数字信号, 然后输入到PLC中。由于PLC保存数据时多采用BCD码的形式, 所以经过A /D专用模块的转换后, 输入到PLC的数据存储单元的数据应该是一个BCD 码。整个数据传送过程如图1所示。 图1 PLC采集数据的过程图 PLC对模拟量数据的采集, 基本上都采用专用的A /D模块和专用的功能指令相配合, 可以让设计者很方便地实现外部模拟量数据的实时采集, 并把采集的数据自动存放到指定的数据单元中。经过采集转换后存入到数据单元中的BCD码数字, 与物理量的大小之间有一定的函数关系, 但这个数字并不与物理量的大小相等, 所以, 采集到PLC中的数据首先就需 要进行整定处理, 确定二者的函数关系, 获得物理量的实际大小。通过整定后的数据, 才是实时采集的物理量的实际大小, 然后才可以进行后序的相关处理, 并可根据需要显示输出数据, 整个程序设计的流程图如图2所示。
数学运算快速计算技巧 平均数速算技巧——中位数法 在涉及平均数的数学运算题目中,巧妙利用中位数就是可以大大简化运算过程的。将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。那么将这个特性移植到自然数列等等差数列中时,中位数即为数列的平均数。 自然数列的中位数特性: 位置特性:一定在数列的最中间位置。 数值特性:为整数或*5 计算方法: a中=(a1+a n)÷2 下面以例题来说明中位数就是如何运用的。 小华在练习自然数求与,从1开始,数着数着她发现自己重复数了一个数。在这种情况下,她将所数的全部数求平均数,结果为7、4,请问她重复的那个数就是:( ) A、2 B、6 C、8 D、10 平均数为7、4显然不符合自然数列的中位数规则。那么这个自然数列的中位数可能就是7、5,即1—14的平均数,1—14的与为105。由于中间重复数了一个数字,那么她数了15个数,此时的数列与为7、4×15=111。所以小华数重复的数字为111－105=6。 数学算式——结合律法 在考试中常常会出现计算一个数学算式结果的题目。这类题目往
往被考生朋友视作鸡肋——弃之可惜,食之无味——本来很简单不愿放弃,但要计算又很花时间。其实在考试中,由于题量大,所以所有的题目都就是可以凭借解答技巧来快速作答的。算式计算当然也不例外,如下题: 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+ 1998=？ “暴力”计算本题无疑就是很大的工作量,如果我们换个角度来瞧这一列数字就会发现其实隐含在其中的规律。 技巧1:原式可写为1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+… +(1994-1995-1995+1997)+1998=？ 我们可以发现所有括号内的运算结果均为0,那么最终结果就为1+1998=1999。这就是顺序不变的结合。 技巧2:原式可写为 (1+1998)+(2+1997)+(-3-1996)+(-4-1995)+…=？ 可以发现整个算式及为1999+1999-1999-1999+…这样循环的,那么最后剩下的就是0呢？还就是其她组合呢？每8个数字的与为0,计算1998÷8=249…6,那么最后剩下的就就是1999+1999-1999=1999,得出最终答案。 由上例我们瞧到灵活运用换位的及不换位的结合率可以极大的 减化运算过程,节省作答时间。 结果验算——尾数法 尾数法就是大家比较熟悉的一种方法。大多数人都将其瞧做一种
因为A/D（模/数）、（D/A）数/模转换之间的对应关系，S7-200 CPU 内部用数值表示外部的模拟量信号，两者之间有一定的数学关系。这个关系就是模拟量/数值量的换算关系。 例如，使用一个0 - 20mA的模拟量信号输入，在S7-200 CPU内部，0 - 20mA对应于数值范围0 - 32000；对于4 - 20mA的信号，对应的内部数值为6400 - 32000。 如果有两个传感器，量程都是0 - 16MPa，但是一个是0 - 20mA输出，另一个是4 - 20mA输出。它们在相同的压力下，变送的模拟量电流大小不同，在S7-200内部的数值表示也不同。显然两者之间存在比例换算关系。模拟量输出的情况也大致相同。 上面谈到的是0 - 20mA与4 - 20mA之间换算关系，但模拟量转换的目的显然不是在S7-200 CPU中得到一个0 - 32000之类的数值；对于编程和操作人员来说，得到具体的物理量数值（如压力值、流量值），或者对应物理量占量程的百分比数值要更方便，这是换算的最终目标。 如果使用编程软件Micro/WIN32中的PID Wizard（PID向导）生成PID功能子程序，就不必进行0 - 20mA与4 - 20mA信号之间的换算，只需进行简单的设置。 通用比例换算公式 模拟量的输入/输出都可以用下列的通用换算公式换算：
Ov = [(Osh - Osl)*(Iv - Isl)/(Ish - Isl)] + Osl 其中： Ov:换算结果 Iv:换算对象 Osh:换算结果的高限 Osl:换算结果的低限 Ish:换算对象的高限 Isl:换算对象的低限 它们之间的关系可以图示如下： 图1. 模拟量比例换算关系 实用指令库 在Step7 - Micro/WIN Programming Tips（Micro/WIN编程技巧中）的Tip38就是关于如何实现上述转换的例程。 为便于使用，现已将其导出成为”自定义指令库“，可以添加到自己的Micro/WIN编程软件中应用。
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值
小学二年级数学的快速计算方法附练习题 小学二年级数学的快速计算方法 一、十几乘十几 口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。 例：1214= 解: 11=1 2+4=6 24=8 1214=168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 二、头相同，尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。 例：2327= 解：2+1=3 23=6 37=21 2327=621 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 三、第一个乘数互补，另一个乘数数字相同
口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。例：3744= 解：3+1=4 44=16 74=28 3744=1628 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 四、几十一乘几十一 口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。 例：2141= 解：24=8 2+4=6 11=1 2141=861 五、11乘任意数 口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：1123125= 解：2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7
2和5分别在首尾 1123125=254375 注：和满十要进一。 六、十几乘任意数 口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。 例：13326= 解：13个位是3 33+2=11 32+6=12 36=18 13326=4238 注：和满十要进一。 二年级数学思考类难题练习带答案 1、有一个天平，九个砝码，其中一个砝码比另八个要轻一些，问至少要称几次才能将轻的那个找出来 答：将砝码分为3个3个一组，共3组，先选择其中2组称，如果天平倾斜则选择较轻的3个，如果天平不倾斜选择第3组的3个砝码。再将砝码分为3组，每组1个。取其中的2个进行第二次称重，如果天平是倾斜的，则较轻的砝码就是需
一.两个20以内数的乘法 两个20以内数相乘,将一数的个位数与另一个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。如12×13＝156,计算程序是将12的尾数2,加至13里,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。 二.首同尾互补的乘法 两个十位数相乘,首尾数相同,而尾十互补,其计算方法是:头加1,然后头乘为前积,尾乘尾为后积,两积连接起来,就是应求的得数。如26×24＝624。计算程序是:被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。 三.乘数加倍,加半或减半的乘法 在首同尾互补的计算上,可以引深一步就是乘数可加倍,加半倍,也可减半计算,但是:加倍、加半或减半都不能有进位数或出现小数,如48×42是规定的算法,然而,可以将乘数42加倍位84,也可以减半位21,也可加半倍位63,都可以按规定方法计算。48×21＝1008,48×63＝3024，48×84=4032。有进位数的不能算。如87×83＝7221,将83加倍166,或减半41.5,这都不能按规定的方法计算。 四.首尾互补与首尾相同的乘法 一个数首尾互补,而另一个数首尾相同,其计算方法是:头加1,然后头乘头为前积,尾乘尾为后积,两积相连为乘积。如37×33＝1221,计算程序是(3＋1)×3×100＋7×3＝1221。 五.两个头互补尾相同的乘法
两个十位数互补,两个尾数相同,其计算方法是:头乘头后加尾数为前积,尾自乘为后积。如48×68＝3264。计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。 六.首同尾非互补的乘法 两个十位数相乘,首位数相同,而两个尾数非互补,计算方法:头加1,头乘头,尾乘尾,把两个积连接起来。再看尾和尾的和比10大几还是小几,大几就加几个首位数,小几就减掉几个首位数。加减的位置是:一位在十位加减,两位在百位加减。如36×35＝1260,计算时(3＋1)×3＝12 6×5＝30 相连为1230 6＋5＝11,比10大1,就加一个首位3,一位在十位加，1230＋30＝1260 36×35就得1260。再如36×32＝1152,程序是(3＋1)×3＝12,6×2＝12,12与12相连为1212,6＋2＝8,比10小2减两个3,3×2＝6,一位在十位减,1212－60就得1152。 七.一数相同一数非互补的乘法 两位数相乘,一数的和非互补,另一数相同,方法是:头加1,头乘头,尾乘尾,将两积连接起来后,再看被乘数横加之和比10大几就加几个乘数首。比10小几就减几个乘数首,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减,如65×77＝5005,计算程序是(6＋1)×7＝49，5×7＝35,相连为4935,6＋5＝11,比10大1,加一个7,一位数十位加。4935＋70＝5005 八.两头非互补两尾相同的乘法 两个头非互补,两个尾相同,其计算方法是:头乘头加尾数,尾自乘。两积连接起来后,再看两个头的和比10大几或小几,比10大几就加几个尾数,小几就减几个尾数,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减。如67×87＝5829,计算程序是:6×8＋7＝55,7×7＝49,相连为5549,6＋8＝14,比10大4,就加四个7,4×7＝28,两位数百位加,5549＋280＝5829
PLC模拟量（工程量）转化的方法 1、基本概念 我们生活在一个物质的世界中。世间所有的物质都包含了化学和物理特性，我们是通过对物质的表观性质来了解和表述物质的自有特性和运动特性。这些表观性质就是我们常说的质量、温度、速度、压力、电压、电流等用数学语言表述的物理量，在自控领域称为工程量。这种表述的优点是直观、容易理解。在电动传感技术出现之前，传统的检测仪器可以直接显示被测量的物理量，其中也包括机械式的电动仪表。 2、标准信号 在电动传感器时代，中央控制成为可能，这就需要检测信号的远距离传送。但是纷繁复杂的物理量信号直接传送会大大降低仪表的适用性。而且大多传感器属于弱信号型，远距离传送很容易出现衰减、干扰的问题。因此才出现了二次变送器和标准的电传送信号。二次变送器的作用就是将传感器的信号放大成为符合工业传输标准的电信号，如0－5V、0－10V或4－20mA（其中用得最多的是4－20mA）。而变送器通过对放大器电路的零点迁移以及增益调整，可以将标准信号准确的对应于物理量的被检测范围，如0－100℃或-10－100℃等等。这是用硬件电路对物理量进行数学变换。中央控制室的仪表将这
些电信号驱动机械式的电压表、电流表就能显示被测的物理量。对于不同的量程范围，只要更换指针后面的刻度盘就可以了。更换刻度盘不会影响仪表的根本性质，这就给仪表的标准化、通用性和规模化生产带来的无可限量的好处。 3、数字化仪表 到了数字化时代，指针式显示表变成了更直观、更精确的数字显示方式。在数字化仪表中，这种显示方式实际上是用纯数学的方式对标准信号进行逆变换，成为大家习惯的物理量表达方式。这种变换就是依靠软件做数学运算。这些运算可能是线性方程，也可能是非线性方程，现在的电脑对这些运算是易如反掌。 4、信号变换中的数学问题 信号的变换需要经过以下过程：物理量－传感器信号－标准电信号－A/D转换－数值显示。 声明：为简单起见，我们在此讨论的是线性的信号变换。同时略过传感器的信号变换过程。 假定物理量为A，范围即为A0－Am，实时物理量为X；标准电信号
几种简单的数学速算技巧 一、一种做多位乘法不用竖式的方法。我们都可以口算1X1 10X1,但是,11X12 12X13 12X14呢 这时候,大家一般都会用竖式，通过竖式计算,得数是132、156、168。其中有趣的规律：积个位上的 数字正好是两个因数个位数字的积。十位上的数字是两个数字个位上的和。百位上的数字是两个因数十 位数字的积。例如： 12X14=168 1=1X1 6=2+4 8=2X4 如果有进位怎么办呢这个定律对有进位的情况同样适用，在竖式时只要~满几时，就向下一位进几。 ~例如： 14X16=224 4=4X6的个位 2=2+4+6 2=1+1X1 试着做做看下面的题： 12X15= 11X13= 15X18= 17X19= 二、几十一乘以几十一的速算方法 例如：21×61＝41×91＝41×91= 51×61= 81×91= 41×51= 41×81= 71×81= 这些算式有什么特点呢是“几十一乘以几十一”的乘法算式，我们可以用：先写十位积，再写十位
和（和满10 进1），后写个位积。“先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积”就是一见到 几十一乘以几十一的乘法算式，如果十位数的和是一位数，我们先直接写十位数的积，再接着写十位数的 和，最后写上1 就一定正确；如果十位数的和是两位数，我们先直接写十位数的积加1 的和，再接着写十 位数的和的个位数，最后写一个1 就一定正确。 我们来看两个算式： 21×61＝ 41×91＝ 用“先写十位积，再写十位和（和满10 进1），后写个位积”这种速算方法直接写得数时的思维过程。 第一个算式，21×61＝思维过程是：2×6＝12，2＋6＝8，21×61 就等于1281。 第二个算式，41×91＝思维过程是：4×9＝36，4＋9＝13，36＋1＝37，41×91 就等于3731。 试试上面题目吧！然后再看看下面几题 61×91＝81×81＝31×71＝51×41＝ 一、10-20的两位数乘法及乘方速算 方法：尾数相乘，被乘数加上乘数的尾数（满十进位）
假设模拟量的标准电信号是 A0—Am（如：4—20mA），A/D转换后数值为D0—Dm（如：6400—32000） ，设模拟量的标准电信号是A，A/D转换后的相应数值为D，由于是线性关系，函数关系 A＝f（D）可以表示为数学方程： A＝（D－D0）×（Am－A0）／（Dm－D0）＋A0。 根据该方程式，可以方便地根据D值计算出A值。将该方程式逆换，得出函数关系D＝f（A）可以表示为数学方程： D＝（A－A0）×（Dm－D0）／（Am－A0）＋D0。 具体举一个实例，以 S7-200和4—20mA为例，经A/D转换后，我们得到的数值是6400—32000，即A0＝4，Am＝20，D0＝6400，Dm＝32000 ，代入公式，得出： A＝（D－6400）×（20－4）／（32000－6400）＋4 假设该模拟量与AIW0对应，则当AIW0的值为12800时，相应的模拟电信号是6400×16／25600＋4＝8mA。 又如，某温度传感器，－10—60℃与4—20mA相对应，以T表示温度值，AIW0为PLC模拟量采样值，则根据上式直接代入得出： T=70×（AIW0－6400）／25600－10 可以用T 直接显示温度值。 模拟量值和A/D转换值的转换理解起来比较困难， 该段多读几遍， 结合所举
例子，就会理解。为了让您方便地理解，我们再举一个例子： 某压力变送器，当压力达到满量程5MPa时，压力变送器的输出电流是20mA，AIW0的数值是32000。可见，每毫安对应的A/D值为32000/20，测得当压力为0.1MPa时，压力变送器的电流应为4mA，A/D值为（32000/20）×4＝6400。由此得出，AIW0的数值转换为实际压力值（单位为KPa）的计算公式为： VW0的值＝(AIW0的值－6400)(5000－100)/(32000－6400)＋100（单位：KPa） 编程实例 您可以组建一个小的实例系统演示模拟量编程。本实例的的CPU 是CPU222，仅带一个模拟量扩展模块EM235，该模块的第一个通道连接一块带4—20mA变送输出的温度显示仪表，该仪表的量程设置为0—100度，即0度时输出4mA，100度时输出20mA。温度显示仪表的铂电阻输入端接入一个220欧姆可调电位器，
模拟量计算 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
假设模拟量的标准电信号是 A0—Am（如：4—20mA），A/D转换后数值为D0—Dm（如：6400—32000） ，设模拟量的标准电信号是A，A/D转换后的相应数值为D，由于是线性关系，函数关系 A＝f（D）可以表示为数学方程： A＝（D－D0）×（Am－A0）／（Dm－D0）＋A0。 根据该方程式，可以方便地根据D值计算出A值。将该方程式逆换，得出函数关系D＝f（A）可以表示为数学方程： D＝（A－A0）×（Dm－D0）／（Am－A0）＋D0。 具体举一个实例，以 S7-200和4—20mA为例，经A/D转换后，我们得到的数值是6400—32000，即A0＝4，Am＝20，D0＝6400，Dm＝32000 ，代入公式，得出： A＝（D－6400）×（20－4）／（32000－6400）＋4? 假设该模拟量与AIW0对应，则当AIW0的值为12800时，相应的模拟电信号是6400×16／25600＋4＝8mA。 又如，某温度传感器，－10—60℃与4—20mA相对应，以T表示温度值，AIW0为PLC模拟量采样值，则根据上式直接代入得出： T=70×（AIW0－6400）／25600－10可以用T直接显示温度值。 模拟量值和A/D转换值的转换理解起来比较困难，
该段多读几遍， 结合所举 例子，就会理解。为了让您方便地理解，我们再举一个例子： 某压力变送器，当压力达到满量程5MPa时，压力变送器的输出电流是20mA，AIW0的数值是32000。可见，每毫安对应的A/D值为32000/20，测得当压力为0.1MPa时，压力变送器的电流应为4mA，A/D值为（32000/20）×4＝6400。由此得出，AIW0的数值转换为实际压力值（单位为KPa）的计算公式为： VW0的值＝(AIW0的值－6400)(5000－100)/(32000－6400)＋100 （单位：KPa） 编程实例 您可以组建一个小的实例系统演示模拟量编程。本实例的的CPU 是CPU222，仅带一个模拟量扩展模块EM235，该模块的第一个通道连接一块带4—20mA变送输出的温度显示仪表，该仪表的量程设置为0—100度，即0度时输出4mA，100度时输出20mA。温度显示仪表的铂电阻输入端接入一个220欧姆可调电位器，
数学运算简便快捷公式 数学运算在狂做题之外，更需要冷静下来做做相关题型的总结，这样才能达到熟悉题型，事半功倍的效果。我自己总结了一些公式。 仅供参考理解，不提倡盲目死记。 1 最近看了天字一号关于盐溶液配比的题目受益匪浅，窃取一个公式嘿嘿。 有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克 解析：带入公式 m=xy/x+y m=9600/200=48 2 某S为自然数,被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知100〈S〈1000,请问这样的数有几个？ 解析：公式，这类被N除余数是N-1的问题，这个数即为[（这几个N的公倍数）-1]，所以s=360n-1，注意，这里n！不=0。 3 闰年的判定关键：闰年为366天，一般来说，用年份除以4，能整除就是闰年。但是，整百年份要除以400。比如1900年不是闰年，1600年是闰年 如 2003年7月1日是周二，那么2005年7月1日是周几？ 解析：每过一年星期数加一，但是闰年加二。所以答案是周五。 4 圆分割平面公式 最多分成平面数：N^2－N+2 5 类似于每两个队伍之间都要比赛的问题 如有几个球队参加比赛，每两个队伍之间都要进行一场比赛。最后总共比赛了36场。求几个队？ 解析：带入公式 m（m-1）/2=36 求得m=9 此外 N个人彼此握手，则总握手数为？的问题也可以用公式解答。 6 有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？ 解析：不管牌书有多少张，都可以这样算：小于等于总牌数的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序号。例题中小于等于300的2的N次方的最大值是2 的8次方，故最后剩下的一张牌是256号。 公式 2*n<300 另：总是拿掉偶数牌，最后剩下的是第一张牌，即编号是1的。
一、 HanselandGretel______(live)nearaforestwithhisfatherandstepmother.Oneyear,theweather______(be)sodry thatnofood_____(grow).Thewifetoldherhusbandthatunlesshe________(leave)hischildren______(die)inthe forest,thewholefamilywoulddie.Gretel_________(hear)thattheirstepmotherplanned________(kill)herandh erbrother.ButHanselhadaplan________(save)himselfandhissister.Hewenttogetsomewhitestonesbeforehew enttobedthatnight.Thenextday,thewife_________(send)thechildrentotheforest.Hansel___________(drop)t https://www.doczj.com/doc/3f10247938.html,terthatnight,they________(see)thestonesbecauseoftheshiningmoon.Thestones__ ace)forthisistheHimalayas.TheHimalayasrunalongthe______________(southwest)partofChina.Ofallthem ountains,Qomolangma________(rise)thehighestandis____________(famous).Itis8,844.43metershighands oisverydangerous________(climb).Thickcloudscoverthetopandsnow__________(fall)veryhard.Evenmore serious_______(difficulty)includefreezingweatherconditionsandheavystorms.Itisalsoveryhard_____(take) inairasyougetnearthetop. Thefirstpeople_____(reach)thetopwereTenzingNorgayandEdmundHillaryonMay29,1953.ThefirstChi neseteam__(do)soinI960,whilethefirstwoman_____(succeed)wasJunkoTabeifromJapanin1975. Whydosomanyclimbersrisktheir_____(life)?Oneofthemain_______(reason)isbecausepeoplewant______(c hallenge)themselvesinthefaceofdifficulties. Thespiritoftheseclimbers_____(show)usthatweshouldnevergiveup____(try)toachieveourdreams.Itals
高中数学：50个公式，50种快速做题方法！赶快看！！今天，为大家整理了高中数学50个快速解题的公式， 一定要记住！ 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线 与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是 焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线 段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k; (2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k; (3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在 最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必 是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴 为x=(a+b)/2 (2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称; (3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称 4 . 函数奇偶性
(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0; (2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项 (3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5.数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标); (2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差 (3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立 (4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)， a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外