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椭圆经典例题答案版

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椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.

分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系2

2

2

c b a +=可求出m 的值.

解:方程变形为

1262

2=+m

y x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2

262=-m ,5=m 适合.故5=m .

例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,P ,b a 3=,求椭圆的标准方程.

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,

求出参数a 和b (或2

a 和2

b )的值,即可求得椭圆的标准方程.

解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x .

由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92

=a ,故椭圆的方程为19

22=+y x .

当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122

22>>=+b a b

x a y .

由椭圆过点()03,P ,知10922=+b a .又b a 3=,联立解得812=a ,92

=b ,故椭圆的方程为19

8122=+

x y .

例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.

分析:(1)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解.

(2)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程.

解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,

知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,

故其方程为

()0136

1002

2≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则

()0136

1002

2≠'='+'y y x . ① 由题意有???

????='='33

y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).

例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=

PF ,3

5

22=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F PF

Rt ?中,2

1

sin 12

21==∠PF PF F PF , 可求出6

21π

=

∠F PF ,3

526

cos

21=

?=π

PF c ,从而3102

22=-=c a b .

∴所求椭圆方程为

1103522=+y x 或15

1032

2=+y x . 例5 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,

θ=∠21PA A ,

α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示)

. 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 2

1

=

?求面积. 解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 2

2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

24cos c PF =α.①

由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2

得 α

cos 122

21+=?b PF PF

. 故αsin 21212

1PF PF S PF F ?=? αα

sin cos 12212+=b 2tan 2αb =. 例6 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322

=+-y x B :的内部与其相内切,

求动圆圆心P 的轨迹方程.

分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.

解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,

即定点()03,

-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,

半长轴为4,半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程:

17

162

2=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.

例7 已知椭圆1222=+y x ,

(1)求过点??

?

??2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;

(3)过()12,A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;

(4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-

=?OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.

分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.

解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则

??????

?=+=+=+=+④

,③,②,①,y y y x x x y x y x 2222222

1212

2222121

①-②得

()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x .

由题意知21

x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()

022

12

12121=-+++x x y y y y x x ,

将③④代入得022

12

1=--+x x y y y

x .⑤

(1)将21=

x ,21=y 代入⑤,得2

12121-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662

=--y y ,04

1

6436>??-=?符合题意,0342=-+y x 为所求. (2)将

22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .

(椭圆内部分) (3)将

2

12121--=

--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 02222

2=--+y x y x .(椭圆内部分) (4)由①+②得 :

()

22

2

2212

221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 2122

22124y y y y y -=+, ⑨

将⑧⑨代入⑦得:

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212

212=??

? ??--+-x x y x x x , 即 12

122=+y x . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142

2=++m x x , 即01252

2

=-++m mx x .()()

020*********

≥+-=-??-=?m m m ,解得2

5

25≤

≤-

m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221m x x -=+,5

1

221-=m x x .

根据弦长公式得 :5102514521122

2

=-?

-??

? ??-?+m m .解得0=m .方程为x y =.

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.

这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式?;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.

例9 以椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,

点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.

解:如图所示,椭圆13

122

2=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x . 解方程组??

?=+-=-+0

90

32y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.

所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,

∴()

363532

2

2

2

2

=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为

136

452

2=+y x . 例10 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围.

解:由??

?

??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明:本题易出现如下错解:由??

?<-<-,

03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.

例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.

解:方程可化为

1cos 1sin 122=+α

αy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1

cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈.

说明:(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α,0cos 1

>-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α

sin 12

=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0.

例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,

可设其方程为12

2=+ny mx (0>m ,0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.

解:设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得

?????=?+-?=-?+?,

11)32(,1)2()3(222

2n m n m 即???=+=+,112,

143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x .

例13 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.

分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ,则2

x x =

,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x .

将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .

说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为),(y x ,

设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ,y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ,y 的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.

例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为

3

π

的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.

分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212

x x x x k x x k AB -++=

-+=求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上,

所以椭圆方程为

19

362

2=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132

=?++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以13

3

7221-

=+x x ,1383621?=

x x ,3=k , 从而13

48]4))[(1(1212

212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.

由题意可知椭圆方程为19

362

2=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ?中,3

cos

22112

21212

F F AF F F AF AF -+=,即2

1

362336)12(2

2?

??-?+=-m m m ; 所以3

46-=

m .同理在2

1F BF ?中,用余弦定理得346

+=n ,所以1348=+=n m AB . (法3)利用焦半径求解.

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132

=?++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.

例15 椭圆

19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4 B .2 C .8 D .

2

3

说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.

例16 已知椭圆13

42

2=+

y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.

分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组???????

=++-=,134,41

22y

x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =

+.于是1342210n x x x =+=,13

124100n

n x y =+-=,

即点M 的坐标为)1312,134(

n n .∵点M 在直线m x y +=4上,∴m n n +?=1344.解得m n 4

13-=. ② 将式②代入式①得04816926132

2=-++m mx x ③

∵A ,B 是椭圆上的两点,∴0)48169(134)26(2

2

>-?-=?m m .解得13

13

213132<

<-m . (法2)同解法1得出m n 413-

=,∴m m x -=-=)4

13

(1340, m m m m x y 34

13

)(414134100-=--?-=--=,即M 点坐标为)3,(m m --.

∵A ,B 为椭圆上的两点,∴M 点在椭圆的内部,∴13)3(4)(22<-+-m m .解得13

13

213132<<-m . (法3)设),(11y x A ,),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点,直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x .

∵A ,B 在椭圆上,∴1342121=+y x ,13

42

222=+y

x .两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ,

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x .∴

)(43210

0212

1x x y x x x y y ≠-=--.

又∵直线l AB ⊥,∴1-=?l AB k k ,∴14430

-=?-

y x ,即003x y = ①。 又M 点在直线l 上,∴m x y +=004 ②。由①,②得M 点的坐标为)3,(m m --.以下同解法2.

说明:涉及椭圆上两点A ,B 关于直线l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式: (1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0>?,建立参数方程.

(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部,满足12

020<+b

y

a x ,将0x ,0y 利用参数表示,建立参数不等式.

例17 在面积为1的PMN ?中,2

1

tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P

∴所求椭圆方程为13

1542

2=+y x 例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

19

362

2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程.

分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x ),得到关于x (或y )

的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出21x x +,21x x (或21y y +,21y y )的值代入计算即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.

解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得

036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴1

4)

24(8221+-=+k k k x x

∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=

k k k x x ,2

1

-=k .∴所求直线方程为082=-+y x . 方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y .

又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642222=+y x 两式相减得0)(4)(2

2212221=-+-y y x x , 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴

2

1

)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y .∴直线方程为082=-+y x .

方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --.

∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①。 36)4(4)8(22=-+-y x ②

从而A ,B 在方程①-②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条,∴直线方程为082=-+y x . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法. 若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4,

则如何求椭圆方程?

高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)

(教师版)椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为(0,2)求的值. 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由,根据关系可求出的值. 解:方程变形为.因为焦点在轴上,所以,解得. 又,所以,适合.故. 例2已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设 条件,运用待定系数法, 求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在轴上时,设其方程为. 由椭圆过点,知.又,代入得,,故椭圆的方程为. 当焦点在轴上时,设其方程为. 由椭圆过点,知.又,联立解得,,故椭圆的方程为. 例3 的底边,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹. 分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解. (2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程. 解:(1)以所在的直线为轴,中点为原点建立直角坐标系.设点坐标为,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因,, 有, 故其方程为. (2)设,,则.① 由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点). 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方 程. 解:设两焦点为、,且,.从椭圆定义知.即. 从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,, 可求出,,从而. ∴所求椭圆方程为或.

例5已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,,.求:的面积(用、、表示). 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用求面积.解:如图,设,由椭圆的对称性,不妨设在第一象限. 由余弦定理知:·.① 由椭圆定义知:②,则得. 故. 例6 已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式. 解:如图所示,设动圆和定圆内切于点.动点到两定点, 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径, 即.∴点的轨迹是以,为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为的椭圆的方程:. 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标

椭圆经典例题(带答案,适用于基础性巩固)

椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1已知椭圆mx 2 3y 2 6m 0的一个焦点为(0, 2)求m 的值. 解:方程变形为 x 2 2 y 2m 1?因为焦点在y 轴上,所以2m 6,解得m 3 . 又c 2,所以 2m 5适合.故m 5. 例2已知椭圆的中心在原点,且经过点 P 3,0 ,a 3b ,求椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为 2 与 1 a b 0 . b 2 9 0 由椭圆过点P 3,0,知冷 2 a b 3b , 代入得b 2 1 当焦点在y 轴上时,设其方程为 2 y 2 a x 2 2 a 9,故椭圆的方程为 9 9 由椭圆过点P 3,0,知弓 a 0 3b , 联立解得 a 2 81 ,八9,故椭圆的方程为右 2 x- 1 . 9 例3 ABC 的底边BC 16 , AC 和AB 两边上中线长之和为 30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 解:(1)以BC 所在的直线为x 轴, BC 中点为原点建立直角坐标 系. 设G 点坐标为x , y ,由GC GB 20, 知G 点的轨迹是以B 、 C 为焦点的椭圆, 且除去轴上两点. a 10, c 8,有 b 6 , 2 故其方程为— 100 2 y 36 (2)设 A x , y 2 ,则— 100 2 y 36 1 y x 由题意有 x 3代入①,得A 的轨迹方程为 y 3 2 x 900 2 y 324 ,其轨迹是椭圆(除去 x 轴上两点). 例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点P 到两焦点的距离分别为 4.5 2 5 空和 3,过P 点作焦点所在轴的垂线, 3 它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为 F 1、F 2,且PF 1 从 PF 1 PF 2 知 PF 2 4.5 3 三5 .从椭圆定义知 3 垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt PF 2F 1 中, 2a sin PF 1 PF 2 2/ 5 .即 a PF 1F 2 PF 2 PF 1 可求出 PF 1F 2 —, 2c PF 1 cos — 6 - 2 5 ,从而b 2 6 3

椭圆典型题型归纳(供参考)

椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程; 练习: 1.6=对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆,则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ; 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ,(1,0)A 是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为 ; 题型二. 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹; (二)分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程; (三)用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ,求椭圆的方程; 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程; 注:一般地,与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++; (四)定义法求轨迹方程; 例5.在ABC ?中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >>

椭圆经典例题讲解

椭圆 1.椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距.注:①当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是 .②当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹不存在. (2) 椭圆的第二定义:到 的距离与到 的距离之比是常数e ,且∈e 的点的轨迹叫椭圆.定点F 是椭圆的 ,定直线l 是 ,常数e 是 . 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是: 12 22 2=+ b y a x ,其中( > >0,且 =2a ) (2) 焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+ b x a y , 其中a ,b 满足: .(3)焦点在哪个轴上如何判断 3.椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围: ≤ x ≤ , ≤ y ≤ (2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 . (3) 顶点坐标: ,焦点坐标: ,长半轴长: ,短半轴长: ;准线方程: . (4) 离心率:=e ( 与 的比),∈e ,e 越接近1,椭圆越 ; e 越接近 0,椭圆越接近于 . (5) 焦半径公式:设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点,),(00y x P 是椭圆上一点,则 =1PF ,122PF a PF -== 。 4.焦点三角形应注意以下关系(老师补充画出图形):(1) 定义:r 1+r 2=2a (2) 余弦定理:21r +22r -2r 1r 2cos θ=(2c ) 2 (3) 面积:21F PF S ?=2 1 r 1r 2 sin θ=2 1·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,∠F 1PF 2=θ)基础过关

人教A版高二数学选修21第二章第二节椭圆经典例题汇总

椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由2 1= e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12. 由21= e ,得4191=-k ,即4 5-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论. 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围. 解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈. 说明:(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α,0cos 1>-α ,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α sin 12=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点, 即定点()03, -A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程:17162 2=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法. 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得 2=a ,3=b ,∴1=c ,2 1= e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:

高中理科椭圆的典型例题

典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+ y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+ y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:3 1 222??=c a c ∴223a c =, ∴3 331-= e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点, OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 =+y a x ,

由?????=+=-+1012 22y a x y x ,得()0212 22=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,211 1a x y M M +=-=, 41 12=== a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14 22 =+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ,,?? ? ??594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列. (1)求证821=+x x ; (2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知: a c x c a AF = -12 ,∴115 4 5x ex a AF -=-=. 同理2545x CF -=.∵BF CF AF 2=+,且5 9 =BF , ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ,即821=+x x . (2)因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得() 212 2 21024x x y y x --=-

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)

椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 ( ). A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a=22b?a=2b,又a2=b2+c2 ?b=c?a=2c?e= 2 2 . 答案B 2.(2012·长沙调研)中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ). A.x2 81 + y2 72 =1 B. x2 81 + y2 9 =1 C. x2 81 + y2 45 =1 D.x2 81+ y2 36 =1

解析 依题意知:2a =18,∴a =9,2c =1 3×2a ,∴c =3, ∴b 2 =a 2 -c 2 =81-9=72,∴椭圆方程为x 2 81 + y 2 72 =1. 答案 A 3.(2012·长春模拟)椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( ). A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2+4y 2=1 化为标准方程x 21+y 214 =1,则a =1,b =12,c =a 2-b 2=3 2 . 离心率e =c a =3 2. 答案 A 4.(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2 =1的左、右焦点,P 是第一象 限内该椭圆上的一点,且PF 1⊥PF 2,则点P 的横坐标为( ). A .1 B.83 C .2 2 D.26 3 解析 由题意知,点P 即为圆x 2+y 2=3与椭圆x 24 +y 2=1在第一象限的交点, 解方程组???? ? x 2+y 2=3,x 24+y 2 =1,得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5.(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为 3 2 ,且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为( ).

椭圆知识点总结及经典习题.docx

圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义:平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a,2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程:c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上:盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上:—2 = 1(a>b>0);焦点F (0, ±C) a b 注意:①在两种标准方程中,总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上; 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示:X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质: 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点:A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭

圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆; e 越接近于O (e 越小),椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大),椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关 小结一:基本元素 (1) 基本量:a 、b 、c 、e 、(共四个量), 特征三角形 (2) 基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线:对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上, 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离,最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定:联立方程组求根的判别式; (2) 弦长公式: ________________________ (3) 中点弦问题:韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1),

高中数学-椭圆经典练习题-配答案

椭圆练习题 一.选择题: 1.已知椭圆 上的一点P ,到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为( D ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( C ) A. B. C. D. 3.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A 4.椭圆的一个焦点是,那么等于( A ) A. B. C. D. 5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于( B ) A. B. C. D. 6.椭圆两焦点为 , ,P 在椭圆上,若 △的面积的最大值为12,则椭圆方程为( B ) A. B . C . D . 7.椭圆的两个焦点是F 1(-1, 0), F 2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项,则该椭圆方程是( C )。 A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 8.椭圆的两个焦点和中心,将两准线间的距离四等分,则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 9.椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |为( A ) A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3

椭圆练习题(经典归纳)

椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

初步圆锥曲线 感受:已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1)求圆O 的方程; (2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 (1)曲线上点的坐标都是方程的解; (2)方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠,则动点M 的轨迹方程为___________ 总结:求点轨迹方程的步骤: (1)建立直角坐标系 (2)设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示) (3)列式:从已知条件中发掘,x y 的关系,列出方程 (4)化简:将方程进行变形化简,并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程:若直线方程未给出,应先假设. (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ; (2)若已知直线恒过y 轴上一点()t ,0,则假设方程为t kx y +=; (3)若仅仅知道是直线,则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论; (4)若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设

特别解析:椭圆经典例题分类

特别解析:椭圆经典例题分类 题型一 .椭圆定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,椭圆的标准方程为:1142 2=+y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,椭圆的标准方程为:116 42 2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12 -=k c .由2 1 =e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92 =a ,82 +=k b ,得k c -=12 . 由21= e ,得4191=-k ,即4 5-=k . ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论. 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例4 已知1cos sin 2 2 =-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.

椭圆经典例题(带答案-适用于基础性巩固)

椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值. 解:方程变形为 1262 2=+m y x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2 262=-m ,5=m 适合.故5=m . 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03, P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03, P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92 =a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y . 由椭圆过点()03, P ,知10922=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ,故椭圆的方程为198122=+x y . 例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b , 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点). 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541= PF ,3 5 22=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F PF Rt ?中,2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ,

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02,A , 其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+ y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+ y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:3 1 222??=c a c ∴223a c =, ∴3 331- = e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点, M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 =+y a x , 由?????=+=-+1012 22y a x y x ,得()021222=-+x a x a , ∴22 2112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,

4 1 12=== a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14 22 =+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ,,?? ? ??594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的 距离成等差数列. (1)求证821=+x x ; (2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知: a c x c a AF =-12 , ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=. 同理 25 4 5x CF - =. ∵ BF CF AF 2=+,且5 9= BF , ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x , 即 821=+x x . (2)因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 () 2122 21024x x y y x --=-

椭圆经典例题答案版

椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值. 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值. 解:方程变形为1262 2=+ m y x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合.故5=m . 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03, P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法, 求出参数a 和b (或2a 和2b )的值,即可求得椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03,P ,知10 922 =+b a .又 b a 3=,代入得12=b ,92=a ,故椭圆的方程为19 22 =+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y . 由椭圆过点()03, P ,知1092 2=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ,故椭圆的方程为19 812 2=+x y .

例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 分析:(1)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解. (2)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为 ()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因 10=a ,8=c ,有6=b , 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除 去x 轴上两点). 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为 3 5 4和3 5 2,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ,3 5 22=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F PF Rt ?中,

高中数学椭圆经典例题

椭圆的经典例题 1.已知点A(2,5)、B(3,一1),则线段AB 的方程是( ). (A)6x+y-17=0 (B)6x+y-17=0(x ≥3) (C)6x+y-17=0(x ≤3) (D)6x+y-17=0(2≤x ≤3) 2.(直接法)已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求曲线的方程. 3.(相关点法) 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动,M 和定点B(3,O)连线的中点为P ,求P 点的轨迹方程,并指出点P 的轨迹. 4.已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 5. 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值. 6.已知椭圆的中心在原点,且经过点()03, P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 7.已知M 是椭圆14 92 2=+y x 上的一点,21,F F 是椭圆的焦点,则||||21MF MF ?的最大值是( ) A 、4 B 、6 C 、9 D 、12 8.点P 为椭圆22 154 x y +=上一点,以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1,则点P 的坐标是 (A )(±2, 1) (B )(2, ±1) (C )(2, 1) (D )(±2 , ±1) 9.已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为 354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

10.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 11.已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点, α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示). 12.已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 13.已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 5 102,求直线的方程. 14.如果椭圆22 1369x y +=弦被点A (4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

(一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的 焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下:

圆锥曲线的综合经典例题(有答案)

经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又

故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),

将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.

高中数学椭圆题型完美归纳(经典)

椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 122 22=+b x a y (a >b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形, 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置,求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里.|x|≤a ,|y|≤b . 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 5.顶点 椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ). 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .

|B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2,即c 2=a 2-b 2. 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2 OM AB b k k a ?=-,即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e

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