2014年长沙市中考数学试卷
(本卷共26个小题，满分120分，考试时间120分钟)
一、选择题：(本大题10个小题，每小题3分，共30分)在每个小题的下面，都给出了A 、
B 、
C 、
D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡对应的题号内． 1．
2
1
的倒数是( )A ．2 B ．-2 C ．
2
1 D ．-
2
1 2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )
A ．圆锥
B ．六棱柱
C ．球
D ．四棱锥
3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( )
A ． 3和3
B ． 3和4
C ． 4和3
D ． 4和4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A ．相等
B ．互相平分
C ． 互相垂直
D ．互相垂直且相等 5 ．下列计算正确的是( )
A ．752=
+ B ．422)(ab ab = C ．a a a 632=+ D ．43a a a =?
6 ．如图，C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD 的长等
于( )
A ． 2 cm
B ． 3 cm
C ． 4 cm
D ． 6 cm 7 ．一个关于x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )
A ． x >1
B ．x ≥1
C ．x >3
D ．x ≥3 8．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB=60°, 则对角线BD 的长为 ( )
A ． 1
B 3
C ． 2
D ．3
9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与
原图形完全重合的是( )
10．函数a y x
=
与函数2
y ax =（0a ≠）在同一坐标系中的图像可能是( ) A B D
C ·
。
60°
A D B
二、填空题：(本大题8个小题，每小题3分，共24分)在每小题中，请将答案直接填在答
题卡中对应的横线上．
11．如图，直线a ∥b,直线c 与a,b 相交，∠1=70°，则∠2= 度； 12．抛物线2
3(2)5y x =-+的顶点坐标为 ；
13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠A OB=100°，则∠ACB= 度；
14．已知关于x 的 一元二次方程2
2340x kx -+=的一个根是1，则k= ． 15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为 ． 16．如图，△ABC 中，DE ∥BC,
2
3
DE BC =,△AD E 的面积为8，则△ABC 的面积为 ；
17.如图，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= ； 18.如图，在平面直角坐标系中，A(2，3),B(-2，1),在x 轴上存在点P ，使P 到A,B 两点的
距离之和最小，则P 的坐标为 ；
三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分) 19．计算：2014
131
(1)
8()2sin 453
--+-+?
20．先化简，再求值：22121(1)24
x x x x -++÷--，其中，x =3；
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四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)
a b
c 1
2 第11题图 A
B
O
C 第13题图 A
E
D
C
第16题图 C A
F D
E 第17题图
21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的
小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.
请根据所给信息解答以下问题： （1） 请补全条形统计图； （2） 若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人； （3） 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序
号A,B,C,D ，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A ”的概率；
22.如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交
于点O,
(1) 求证：△AEO ≌△CDO ；
（2）若∠OCD=30°，3,求△ACO 的面积；
五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分)
23． 为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
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小吃类别 口味人数臭豆10 15 25 20 14 21
5
唆螺 糖油粑调查问卷 在下面四中长沙小吃中，你最喜欢的是（ ） （单选） A.臭豆腐 B.口味虾 C.唆螺 D.糖油粑粑 A
E O
C
D
第22题
24.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O, ⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 边的中点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E,
(1) 求证：DE ⊥AC ；
(2) 若AB=3DE,求tan ∠ACB 的值；
四、解答题：(本大题2个小题，每小题10分，共20分)解答时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，将解答书写在答题卡中对应的位置上． 25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），
（-2，-2），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。
（1）若点P （2，m ）是反比例函数n
y x
=
（n 为常数，n ≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦
之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数2
1y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ，
B 22(,)x x ,且满足-2＜1x ＜2，12x x -=2，令2
157
48
t b b =-+，试求t 的取值范围。
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A O
C B
26.如图，抛物线2
(0,,,y ax bx c a a b c =++≠为常数）的对称轴为y 轴，且经过（0,0），
1
16
）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求,,a b c 的值； （收集整理cjzl ）
(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；
（3）设⊙P 与x 轴相交于M 1(,0)x ，N 2(,0)x （1x ＜2x ）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
2014年长沙市中考数学试卷参考答案
一．选择题： ACBBD,BCCAD
二．填空题：
11. 110°， 12.(2,5), 13. 50°, 14. 2, 15.
1
20
16. 18 , 17. 6 18. (-1,0) 解答题：
19. 1 20. 21x x +-，代入求值得5
2
； 21.（1）略，（2）560 （3）1
16
22.（1）略
（2）3
23.（1）甲300棵，乙100棵
（2）甲种树苗至少购买240棵； 24.（1）（略） （2）
35
2
± 设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD ⊥BC,DE ⊥AC,易证∠C=∠ADE,
则△ADE ∽△DCE,∴DE 2
=AE ●EC,即：2
(3)b b a a =-?，化简得：22
30b ab a -+=；
解得：352b a ±=，则352b a ±=，故tan ∠ACB=35
2b a ±=； 25.（1）4
y x
=
（2）由31y kx s =+-得当y x =时，(13)1k x s -=-
当1
3k =且s=1时，x 有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；
当1
3k =且s ≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；
当13k ≠，方程的解为113s x k -=-，此时的“梦之点”存在，坐标为（113s k --，1
13s k
--）
（3）由21y ax bx y x
?=++?=?得：2
(1)10ax b x +-+=则12,x x 为此方程的两个不等实根，
由12x x -=2，又-2＜1x ＜2得：-2＜1x ＜0时，-4＜2x ＜2；0≤1x ＜2时，-2≤2x ＜4；
∵抛物线2
(1)1y ax b x =+-+的对称轴为12b x a
-=
，故-3＜12b
a -＜3
由12x x -=2, 得： 22(1)44b a a -=+，故a ＞18；215748t b b =-+=2
109(1)48
b -+
=2
44a a ++10948=21614()248a ++，当a ＞12
-时，t 随a 的增大而增大，当a =18时，
t=176
,∴a ＞18时， 176t 。
26.（1）1
,04
a b c =
== （2）设P(x,y), ⊙P 的半径
，又2
14
y x =
，则
化简得：
＞21
4
x ，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交； （3）设P(21,
4a a )，
∵
作P H ⊥MN 于H,则
又PH=21
4
a ,则
2=，故MN=4，∴M(2a -，0)，N(2a +,0)， 又A(0，2)，∴
当AM=AN 时，解得a =0，
当AM=MN 时
,
，解得：a
=2±21
4a
=4±；
当AN=MN 时
, ，解得：a
= 2-±214
a
=4±综上所述，P 的纵坐标为0
或4+
或4-；