信号与系统复习
书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章信号与系统
1、信号的分类
①连续信号和离散信号
②周期信号和非周期信号
连续周期信号f(t)满足
f(t) = f(t + mT)，
离散周期信号f(k)满足
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号
④因果信号和反因果信号
2、信号的基本运算（+ - ×÷）
2.1信号的（+ - ×÷）
2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）
3、奇异信号
3.1 单位冲激函数的性质
f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)
例：
3.2序列δ(k)和ε(k)
f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质
4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质
T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)
T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：
y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]
T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)
)
0(d )()(f t t t f =?
∞
∞
-δ)
(d )()(a f t a t t f =-?
∞
∞
-δ?d )()4sin(9
1=-?-t t t δπ
)0('d )()('f t t f t -=?∞
∞-δ)
0()1(d )()()
()
(n n n f
t t f t -=?
∞
∞
-δ
4)2(2])2[(d d
d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-?t t t t t
t t t δ)(1||1)()
()(t a
a at n n n δδ?=)(|
|1
)(t a at δδ=
)(||1
)(00a
t t a t at -=
-δδ)
0()()(f k k f k =
∑∞
-∞
=δ
T[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统
T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：
若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI 连续系统的微分特性和积分特性 ①微分特性：
若 f (t) → y f (t) ， 则 f ’(t) → y ’ f (t) ②积分特性：
若 f (t) → y f (t) ， 则 4.5因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述 第二章 连续系统的时域分析 1、LTI 连续系统的响应 1.1微分方程的经典解
y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解） 描述某系统的微分方程为
y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e -t ，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t ，t ≥0；y(0)= 1，y ’(0)=0时的全解 2、冲激响应
系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法 ①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等
??
∞
-∞
-→t
t
x
x y x x f d )(d )(f
②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()
()d t t dt
εδ=
例y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 3、阶跃响应
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。 4、卷积积分
4.1定义 1212()()()()f t f t f f t ττ∞
-∞*=-? 4.2 任意信号作用下的零状态响应 4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法 4.4 卷积积分的性质 ①交换律②结合律③分配律 ④积分性质
⑤微分性质
⑥任意时间函数与冲激函数的卷积
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f ’(t) ；f(t)*ε(t) ⑦卷积的时移性质 f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f(t –t 1 –t 2)
第三章 离散系统的时域分析 1、LTI 离散系统的响应 1.1差分与差分方程
1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）
[]n
n n n n
n
t t f t f t f t t f t f t f t d )
(d *
)()(*d )(d )(*)(d d 212121==]
d )([*)()(*]d )([d )](*)([212121τττττττ?
?
?
∞
-∞
-∞
-==t
t
t f t f t f f f f
1.2.1y(k) = y h (k) + y p (k)
当特征根λ为单根时，齐次解y n (k)形式为： C λk
当特征根λ为r 重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1k r-1+ C r-2k r-2+…+ C 1k+C 0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解y n (k)形式为：
1.2.2 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r ≥1） 。 ①所有特征根均不等于1时;
y p (k)=P m k m +…+P 1k+P 0 ②有r 重等于1的特征根时;
y p (k)=k r [P m k m +…+P 1k+P 0] （2） 激励f(k)=a k
①当a 不等于特征根时; y p (k)=Pa k ②当a 是r 重特征根时;
y p (k)=（P r k r +P r-1k r-1+…+P 1k+P 0)a k （3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e ±j β ； y p (k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) 若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k ，k ≥0。求方程的全解。 1.3 零输入响应和零状态响应 2、单位序列响应和阶跃响应
1,2j e β
λρ±=[]
cos()sin()k C k D k ρββ+
2.1 单位序列响应 2.1.1定义 2.1.2 求法
递推求初始值，求齐次差分方程的解
例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。 例 若方程为：
y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2) 求单位序列响应h(k) 2.2 阶跃响应 2.2.1定义 2.2.2 求法
3 常用序列
01
()()(1)()()
()(1)()1
()(1)()
21()(1)1i k
i k
i k k
i
i k k k k k i i k k i i k k k a a i a a δεεεδεεεεε∞
==-∞=-∞
+=-∞
=--=-=+=+-=<-∑∑∑∑
4 离散信号的卷积和 4.1 任意序列的分解
∑∑∞
=-∞
=-==0
)
()()(j k j j k h i h k g ，h (k) =?g (k)
f(k)
4.2列作用下的零状态响应
4.3 定义
4.4 卷积和的求法
4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步： （1）换元： k 换为 i →得 f 1(i)， f 2(i)
（2）反转平移：由f 2(i)反转→ f 2(–i)右移k → f 2(k – i) （3）乘积： f 1(i) f 2(k – i)
（4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 4.1.2 不进位乘法求卷积 例f 1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 f 2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0 4.2 卷积和的性质
4.2.1法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. ∑∞
-∞
=-=
i i k i f )
()(δ∑∞
-∞
=-=i f i k h i f k y )
()()(∑∞
-∞
=-=i i k f
i f k f )
()()(2
14.2.2f （k)*δ
(k) = f(k) ， f(k)*δ(k – k 0) = f(k – k 0)
4.2.4f 1(k – k 1)* f 2(k – k 2) = f 1(k – k 1 – k 2)* f 2(k)
第四章 连续系统的频域分析 1 傅里叶级数
1.1 傅里叶级数的三角形式
1.2 波形的对称特性和谐波特性
A .f(t)为偶函数——对称纵坐标 展开为余弦级数
B .f(t)为奇函数——对称于原点 展开为正弦级数
C f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t ±T/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量
D f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t ±T/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。 1.3 傅里叶级数的指数形式
4.2.3. f(k)*ε(k) =
∑-∞
=k
i i f )(4.2.5 ?[f 1(k)* f 2(k)] = ?f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ?f 2(k) ∑∑∞
=∞
=Ω+Ω+=1
10)sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ?-Ω=22d )cos()(2T
T n t t n t f T a ?-Ω=22
d )sin()(2
T
T n t
t n t f T b ∑∞
-∞
=Ω=
n t
jn n
F
t f e
)(22
1()e d T
jn t T n F f t t
T -Ω-=?
n = 0, ±1, ±2，…
2 周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
例：周期信号 f(t) =
试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。 3 傅里叶变换 3.1 定义
3.2 常用函数的傅里叶变换
（1）单边指数函数f(t) = e –αt ε(t)， α >0实数
（2）双边指数函数f(t) = e –?αt ? , α >0
（3）门函数(矩形脉冲)
（4）冲激函数δ(t)、δ′(t)
1211cos sin 24
343
6t t πππ
π????--+- ? ?
????ω
αω
αωωαωαj j t j F t
j t
j t
+=
+-
==∞+-∞
--?1e 1
d e
e
)(0
)(0
2
2
211d e
e
d e
e )(ωαα
ωαωαωωαωα+=++-=
+=??∞
--∞--j j t t j F t
j t
t
j t ??
??
?>
≤=2
,
02,
1)(τ
ττt t t g ω
ωτ
ω
τ
ω
ττωj t j F j j t
j --=
=---?
2
2
2
/2
/e e
d e )()
2
Sa(
)
2
sin(2ωτ
τω
ωτ
==
1
d e )()(=←→?
∞
∞
--t t t t
j ωδδω
δδωωj t
t t t t t
j t
j =-
=←→=-∞
∞
--?0
e d d d e )(')('
（5）常数1
（6）符号函数
（7）阶跃函数
3.3 傅里叶变换的性质
（1）线性
（2）时移性质(Timeshifting Property)
（3）对称性质(Symmetrical Property)
（4）频移性质(Frequency Shifting Property)
（5）尺度变换性质(Scaling Transform Property)
（6）卷积性质(Convolution Property) )
(2)(2d e
1ωπδωπδω=-=←→?
∞
∞
--t t
j 220022sgn()lim ()lim j t F j j αααωωαωω
→→?
?←→=-= ?+??111
()sgn()()2
2
t t j επδωω
=+←→+[a f 1(t ) + b f 2(t ) ] ←→ [a F 1(j ω) + b F 2(j ω) ] 00()e ()
j t f t t F j ωω--←→F ( j t ) ←→ 2πf (–ω)
00[()]e ()
j t F j f t ωωω-←→1()||f at F j a a ω??
←→
???
If f 1(t ) ←→F 1(j ω)， f 2(t ) ←→F 2(j ω) Then
f 1(t )*f 2(t ) ←→F 1(j ω)F 2(j ω)
（7）时域的微分和积分
（8）频域的微分和积分
（9）怕赛瓦尔关系
（10）奇偶性(Parity) 4 周期信号的傅里叶变换
5 连续系统的频域分析 5.1
5.2 无失真传输y(t) = K f(t –t d ) Y(j ω)=Ke – j ωt d F(j ω)
Then f 1(t ) f 2(t ) ←→ F 1(j ω)*F 2(j ω)
1
2π
()()()()
n n f t j F j ωω←→()
()d (0)()t
F j f x x F j ωπδωω
-∞
←→+
?
0(0)()
()d F F j f t t
ωω∞
=-∞
==?
(–jt)n f (t ) ←→F (n)(j ω) 1
(0)()()()d f t f t F jx x jt
ωπδ-∞+←→-?1
(0)()d 2f F j ωω
π
∞
-∞
=
?
?
?∞
∞
-∞
∞-=
=ω
ωπ
d )(21
d )(2
2
j F t t f E ∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=ΩΩ-=←→=
n n
T n t
jn n
T
n F j F F
t f )
(2)(e
)(ωδπ
ω?-Ω-=22
d e )(1T
T t
jn T n t
t f T F Y(j ω) = F(j ω)H(j ω)
例：系统的幅频特性|H(j ω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是
6 抽样定理
第五章 连续系统的s 域分析
(a)
(b)
10
-10
π
5-5
00ω
ω
|H (j ω)|θ(ω)5-5(A) f (t ) = cos(t ) + cos(8t ) (B) f (t ) = sin(2t ) + sin(4t ) (C) f (t ) = sin(2t ) sin(4t ) (D) f (t ) = cos 2(4t )
二、求解方法 1、部分分式展开法
1110
1110
....()()()...m m m m n n n a s a s a s a B s F s A s s b s b s b ----++++==
++++
（1）F(s)为单极点（单根）
（2）若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –α±j β)
（3）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r 重根，
n
n i i p s K p s K p s K p s K s A s B s F -+
+-++-+-==.......)
()()(2211i
p s i i s F p s K =-=)()()(e ]1
[
1t p s L t p i
i ε=--22()()
()()[()]()(j )(j )
B s B s F s D s s D s s s αβαβαβ==
+++-+-)
(j j 22
1s F s K s K ++++-+=
β
αβαβ
αβαβαβαθ
θ
j e
||j e ||j j )(j 1
j 1211+++-+=+++-+=-s K s K s K s K s F )
(....)()()()()(111112111p s K p s K p s K s A s B s F r r r -++-+-==-
K 11=[(s –p 1)r F(s)]|s=p1， K 12=(d/ds)[(s –p 1)r F(s)]|s=p1
[]
1
)()(d d )!1(111
1
1p s r r r r s F p s s
r K =----=)(e !1])(1[
11
11t t n p s L t
p n n ε=-+-1
!)]([+=
n n s n t t L ε
三、系统的s 域分析方法 思路：用拉普拉斯变换微分特性
例1 描述某LTI 系统的微分方程为
y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5cost ε(t)， 求系统的全响应y(t) 四、系统函数 系统函数H(s)定义为
系统的s 域框图
第六章 离散系统的z 域分析
)
0()()()(1
1)
(--=--∑-←→p i p p i i
i y s s Y s t y ∑∑∑∑==-==---=-n i n i i p m j j j p p i i i i s F s b y s a s Y s a 00100
)(1)
(][)]0([)(][)()
()
()()()()]
0([)(0
00
)
(1
1s F s A s B s A s M s F s
a s
b s
a y
s
a s Y n
i i i
m
j j
j n
i i
i n i p i p p
i i +=
+
=∑∑∑∑∑====--=--)
()
()()()(f def
s A s B s F s Y s H =
=
H (s)= L [h (t)]
)
26()1(t f -[])26(d d
)
2(t f t
-
附：部分重要内容（无z 变换） 第一章：
1． 连续时间信号与离散时间信号 2． 模拟信号与数字信号 3． 信号的运算
（1）移位、反褶与尺度变换
O
t
1
2
1
2()
t f
（2）微分和积分 （3）两信号相加或相乘 4． （1）单位阶跃信号)(t u
（2）单位冲激信号)(t δ
① 抽样性：()()(0)t f t dt f δ∞
-∞=? 00()()()t t f t dt f t δ∞-∞-=? ② 偶对称性： ()()t t δδ=- ③ 尺度变换性：1
()()||
at t a δδ=
④ 相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 000()()()()f t t t f t t t δδ-=- 冲激偶信号
()
()d t t dt
δδ=
5． 线性时不变系统
()1t dt δ∞
-∞
=?
()0t δ=（当0t ≠时）
（1）叠加性与均匀性 （2）时不变性 （3）因果性 第二章
1．系统的状态（起始状态，初始条件） 2． 系统的全响应
（1）求解方法：经典法，双零法
（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应 3．线性系统的特性 （1） 响应的可分解性
系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。 （2） 零状态线性
当起始状态为零时，系统的零状态响应)(t r zs 对外加激励信号)(t e 呈现线性。 （3） 零输入线性
当外加激励为零时，系统的零输入响应)(t r zi 对于各起始状态呈线性关系。 第三章
1． 周期信号的傅里叶级数 （1）三角函数形式的傅里叶级数 （2）指数形式的傅里叶级数 2． 傅里叶变换定义为
正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞
--∞==? 逆变换11()[()]()2
j t
F t f f f e d ωωωω∞--∞==
? 3． 傅里叶变换的性质