数学物理方法第三版答案
【篇一：数学物理方法试卷答案】
xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）
a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.
??2u?0,?
3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）
??n?f??
a．f?0.b．u??0.c．
?fds?0. d．?uds?0.
?
?
?x(x)??x(x)?0,0?x?l
4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题?
?x(0)?x(l)?0
的解是（ b ）
n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sin
llll????
(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??
x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin
2l2l2l2l????
2
2
2
2
5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）
a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.
c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.
二、填空题（每题4分，共20分）
??2u?2u
?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??
1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是
(2sintcosx).
?
?ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????
2．对于如下的二阶线性偏微分方程
a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0
其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).
4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln
1
（）.
r
1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r
113
y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x
1
(x) 3
22
5．已知j1(x)?
2
22
sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求
??x?x2
3
j3(x)?（
2
21221dsinx
(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx
三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题
2??2u2?u
??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0?
?u??u
?0, ?0, t?0 ?
?xx?l
??xx?0
?u?x, u
tt?0?0, 0?x?l.?t?0
?
解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得
x(x)t(x)
x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2
x(x)at(x)
2
此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与x,t无关的常数。设为??，则有
x(x)t (x)
x(x)?a2t(x)???
??t
(t)??a2
??t(t)?0,??x
(x)??x(x)?0.
将u(x,t)代入边界条件得
x(0)t(t)?x(l)t(t)?0,
从而可得特征值问题
x(x)??x(x)?0x
(0)?x
(l)?0,
第二步：求解特征值问题 1) 若??0，方程的通解形式为
x(x)?ae
?x
?be?
?x
由定解条件知a?0,b?0，从而x(x)?0，不符合要求。 2) 若??0，方程的通解形式为
x(x)?ax?b
由边界条件知a?0,，从而x(x)?b。 3) 若??0，方程的通解形式为 x(x)?acos?x?bsin?x
代入边界条件得
??b?0,?
b?0,???asinl?0???
??(n?l)2, n?1,2,3,... 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数
?
???n?(n?)2, n?0,1,2,3?
l
,... ???
xn(x)?ancosn?lx, n?1,2,3,...分)
(4
第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分) 求解了特征值问题后，将每特征值?n代入函数t(t)满足的方程可得出相应的解
tt)?cd
0(0?0t
t
n?n? n(t)?cn
coslat?dnsinl
at, n?1,2,3,...
因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解
u(x,t)?c0?d0t???
(cn?ncos
n?1lat?dn?n?nsinlat)cosl
x, 第四步：确定叠加系数由初始条件可知
?
cn?
0??cncos
n?1l
x?x?
d0??dn?ann
n?1
lcos?
l
x?0可得
cl
0?2cnn?
2l
n2
?
2
[(?1)?1],n?1,2,3?
dn?0,n?0,1,2,?
故原方程的解为
2ln?at2??coscosn?
22[(?1)n?1]l
x
n?1n?l?
?
l4l(2n?1)?at(2n?1)?
2??coscosxn?0(2n?1)2?2ll
.
分)
(4
四、（10分）用行波法求解下列问题
???2u?2u?2?3u
?2?2
?x?y2?0, y?0, ???x???, ?
?x
?y??u ?u?
y?0?3x2, ?y?0,???x???.
y?0解：其特征方程为
(dy)2?2dxdy?3(dx)2?0 由此可得特征线方程为 3x?y?cx?y?d
因此作变换
??
??3x?y,
?
??x?y从而可得
?2u
????
＝0 从而有
u(x,y)?f(3x?y)?g(x?y)由初始条件可得
f(3x)?g(x)?3x2?f
(3x)?g
(x)?0
所以有
f(3x)?3g(x)?c，
从而可得
9x2
f(3x)?4
?c
2
g(x)?3x
4
?c
故而可知
u(x,y)?f(3x?y)?g(x?y)?3x2?y2。
(2分)
(2分) (2分) (2分)
【篇二：数学物理方法习题解答(完整版)】
>一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明rez在z平面上处处不可导。
证明：令rez?u?iv。?rez?x，?u?x,v?0。
?u?x
?1，
?v?y
?0
，
?u?x
?
?v?y
。
于是u与v在z平面上处处不满足c－r条件，所以rez在z平面上处处不可导。
2、试证f
?z??
z
2
仅在原点有导数。
z
2
证明：令f?z??u?iv。???f?z??
?u?x
?2x,???
?u?y
?2y。?
?v?x??v?y
?x?y????????u?x?y,v?0
2222
。
???
。
?u?y
?v?x
?v?y
在原点
所以除原点以外，u,v不满足c－r条件。而 ??,?????,??
连续，且满足c－r条件，所以f?z?在原点可微。 ?v???uf??0????i?
?x???x
?z?z
2
x?0y?0
??v?u?
???i?
?y?y??
*
?0。
x?0y?0
2
或：f??0???lim
z?0
lim
z??z
2
?lim??z??lim??x?i?y??0
?z?0
?x?0?y?0
。
。
*
?z
?z?0
?z
?lim
?zz??zz
?z
*
?i2?
?z?0
?lim(z?
?z?0
*
?z
*
?z
z)???0
z?0
【当z?0,?z?rei?，
?z
?z
?e
与趋向有关，则上式中
?z
?z
?
?z
*
?z
?1】
3、设
?x3?y3?i(x3?y3)?22
f(z)??x?y
?0?
z?0z=0
，证明f?z?在原点满足c－r条件，但不可微。
证明：令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则 ?x3?y3
?
u?x,y???x2?y2
?0??x3?y3?
v(x,y)??x2?y2
?0?ux(0,0)?lim
x?y?0x?y=0
2
2
，
x?y?0x?y=0 2
2
22
。
u(x,0)?u(0,0) x
u(0,y)?u(0,0) y
x?0
?lim
xx
33
x?0
?1，
uy(0,0)?lim y?0
?lim
?yy
3
3
x?0
??1；
vx(0,0)?lim v(x,0)?v(0,0) x
v(0,y)?v(0,0) y
x?0
?lim
xx
33
x?0
?1，
vy(0,0)?lim y?0
?lim
33
x?0
?1。
??ux(0,0)?vy(0,0)??,??uy(0,0)??vx(0,0) ?f(z) 在原点上满足c－r条件。
3
3
但limz?0
f(z)?f(0)
z
?lim
x?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)
2
2
33
z?0
。
令y沿y?kx趋于0，则
lim
x?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)
2
2
3
3
3
3
z?0
?
1?k?i(1?k)(1?k)(1?ik)
2
33
?
k?k?k?1?i(k?k?k?1)
(k?1)
2
2
4343
依赖于k，?f(z)在原点不可导。
4、若复变函数f?z?在区域d上解析并满足下列条件之一，证明其在区域d上
必为常数。
（1）f?z?在区域d上为实函数；（2）
f
*
?z?在区域d上解析；
（3）ref?z?在区域d上是常数。证明：（1）令f(z)?u(x,y)
?iv(x,y)
。
由于f?z?在区域d上为实函数，所以在区域d上v(x,y)?0。 ?
f(z)在区域d
上解析。由c－r条件得
??
?v?x?0。
?u?x
?
?v?y
?0，
?u?y
?在区域d上u(x,y)为常数。从而f?z?在区域d上为常数。
（2）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则f*(z)?u(x,y)?iv(x,y)。 ?
?u?x
f(z)在区域d
上解析。由c－r条件得。（1）
?
?v?y
,??
?u?y
??
?v?x
又f*(z)在区域d上解析，由c－r条件得
?u?x
??
?v?y??,???u?y
??v?x
。（2）
联立（1）和（2），得
?u?x
??u?y
??v?x??v?y
?0。
?u,v在区域d上均为常数，从而f(z)在区域d上为常数。
f(z)?u?x,y?。
?u?x
??u?y
?0。
（3）令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则re
由题设知u?x,y?在区域d上为常数，?
又由c－r条件得，在区域d上
?v?x??
?u?y
?0?,??
?v?y
??u?x
?0，于是v在区域d
上为常数。
?u,v在区域d上均为常数，从而在区域d上f(z)为常数。 5、证明xy2不能成为z的一个解析函数的实部。
证明：令u?
xy
2
，
?u?x
2
2
?
?u?y
2
2
?0?2x?2x
。
的一个解析函数的实
从而它不能成为z?u 不满足拉普拉斯方程。部。
6、若z?x?iy，试证：
（1）sinz?sinxcoshy?icosxsinhy；（2）
cosz?cosxcoshy?isinxsinhy；（3）sinz（4）cosz
2
＝sinx?sinhy
2
2
22
；
2
?cosx?sinhy。
证明：（1）sinz?sin(x?iy)?sinxcos(iy)?cosxsin(iy)
?cos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy
，
?sinz?sinxcoshy?icosxsinhy。
（2）
cosz?cos(x?iy)?cosxcos(iy)?sinxsin(iy)?cos(iy)?coshy,?sin(iy) ?isinhy，
cosz?cosxcoshy?isinxsinhy。
2
（3）sinz
?(sinxcoshy)?(cosxsinhy)?sinxcoshy?cosxsinhy
2
2
2
222222
?sinx(1?sinhy)?cosxsinhy
2
?sinx?(sinx?cosx)sinhy?sinx?sinhy
222222
。
（4）cosz2
?(cosxcoshy)?(sinxsinhy)?cosxcoshy?sinxsinhy
2
2
2
2
222222
?cosx(1?sinhy)?sinxsinhy ?cosx?cosxsinhy?sinxsinhy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?cosx?(cosx?sinx)sinhy?cosx?sinhy。
7、试证若函数f?z?和??z?在z0解析。f?z0????z0??0则lim
f?z?
z?z0
,
???z0??0，
??z?
?
f??z0?
???z0?
。（复变函数的洛必达法则）
证明：
f?(z0)
lim
f(z)?f(z0)
z?z0
f(z)?f(z0)
?lim
z?z0
z?z0
??(z0)
?
z?z0
z?z0
lim
?(z)??(z0)
z?z0
?(z)??(z0)
z?z0
?lim
f(z)?f(z0)
z?z0
?(z)??(z0)
?lim
f(z)
z?z0
?(z)
。
或倒过来做。 8、求证：lim
证明：lim
z?0
sinzzsinzz
z?0
?1。 ?lim
(sinz)?z?
?limcosz?1。
z?0
z?0
第二章习题解答 9、利用积分估值，证明 a．??i?x2?iy2?dz 右半圆周。 b．证明?
2?ii
i
??
积分路径是从?i到i的
dzz
2
?2积分路径是直线段。
证明：a．（方法一）
??x
?i
i
2
?iy
2
?dz???
x
?i
i
2
?iy
2
?
dz?
?
i?i
?
?
i?i
?
?
i???
。
【篇三：数学物理方法第五次作业-答案】
作业
一、单项选择题
【 a 】1、函数f(z)以b为中心的罗朗（laurent）展开的系数公式为 1a.ck?2?i
c.ck?1
2?i??f(k)(b)f(?)d?b.ck? k?1(??b)k!f(?)k!
d?d.c?k????b2?i??f(?)d? k?1(??b)
【 c 】2、本征值问题x??(x)??x(x)?0,x(0)?0,x(l)?0的本征函数是 n?xn?x(2n?1)?x(2n?1)?x b．sin c．sin d．cos ll2l2l
【 c 】3、点z??是函数cot z的 a．cos
a. 解析点
b. 孤立奇点
c. 非孤立奇点
d. 以上都不对
【 b 】4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是
a. 泛定方程和初始条件为齐次
b. 泛定方程和边界条件为齐次
c. 初始条件和边界条件为齐次
d. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次
【 d 】5、设函数f(z)在单连通区域d内解析，c为d内的分段光滑曲线，端点为a和b，则积分?cf(z)dz
a. 与积分路径及端点坐标有关
b. 与积分路径有关，但与端点坐标无关
c. 与积分路径及端点坐标无关
d. 与积分路径无关，但与端点坐标有关
【 a 】6、条件z?1所确定的是一个
a．单连通开区域b. 复连通开区域c. 单连通闭区域d. 复连通闭区域
【 b 】7、条件0?z??2所确定的是一个
a．单连通开区域 b. 复连通开区域c. 单连通闭区域 d. 复连通闭区域
【 d 】8、积分?|z|?1zcosz2dz?
a．1b．?
【 a 】9、函数f(z)?
?11 c． d．0 221在z?1?2内展成z?1的级数为
1?z???12n(z?1)n
a．?? b．?n?1 c．? d．?zn n?1n?12n?0zn?0n?0(z?1)n?0 ?1?【 c 】10、点z?0是函数f(z)??sin?的 z???1
a. 解析点
b. 孤立奇点
c. 非孤立奇点
d. 以上都不对
二、填空题
1．复数1?i?i??e的三角形式为cos?，其指数形式为. ?isin2
2．复数sin?
5?icos?
53的三角形式为cos3，其指数形式为e10?isin10i.
3.
的实部u?，虚部v?，模r?1，幅角????_. ?2k?(k?0,?1,?2,...)3 4. 复数?2?i2的实部
u
5. z?1?i?0的解为zk?2e4i?2k?
,(k?0,1,2,3).
dzz?1cosz?0.
dz?7. 积分z?1z2?2z?26．积分
8. 积分
9. 积分0. . .
. z?1z3coszdz?0?bazcosz2dz?010．积分?zsinzdz?01sin1-cos111.积分?0zsinz2dz?1/2
12．幂级数?2n?1?1n的收敛半径为2. zn
(z?1)n
13．幂级数?的收敛半径为1. nn?1?14．幂级数1n的收敛半径为1. z-1）?2nn?1
1
2n?1??115．函数f(z)?在|z?1|?2上展成(z?1)的泰勒级数
为?1?zn?0(z?1)n .
1?cosz的一阶极点.（奇点的类型，极点的阶数） 3z
sinz17. z?0 为f(z)?3的二阶极点.（奇点的类型，极点的阶数）
z16. z?0 为f(z)?