第九章 结构的动力计算
一、判断题：
1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。
6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题：
10、图示梁自重不计，求自振频率ω。
l l /4
11、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k ，求自振频率ω。
l /2
l /2
12、求图示体系的自振频率ω。
l l
0.5l 0.5
13、求图示体系的自振频率ω。EI = 常数。
l
l 0.5
14、求图示结构的自振频率ω。
l l
15、求图示体系的自振频率ω。EI =常数，杆长均为l 。
16、求图示体系的自振频率ω。杆长均为l 。
17、求图示结构的自振频率和振型。
l /2
l /2
l /
18、图示梁自重不计，W EI ==??
2002104kN kN m 2
,，求自振圆频率ω。
B
2m
2m
19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。
EI
EI
W
20、图示刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。求自振周期T 。
EI
EI
W
EI 2
21、求图示体系的自振频率ω。各杆EI = 常数。
a a
a
22、图示两种支承情况的梁，不计梁的自重。求图a 与图b 的自振频率之比。
l /2
l
/2(a)
l /2
l /2
(b)
23、图示桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。求水平自振周期T 。
3
m 3m
24、忽略质点m 的水平位移，求图示桁架竖向振动时的自振频率ω。各杆EA = 常数。
m 4m
4m
25、图示体系E P W I =?====-2102052048004kN /cm s kN, kN, cm 214
,,θ。求质点处最大动位移和最大动弯矩。
W
4m
m
2t
26、图示体系EI k =??==2102035kN m s 2-1,,θ×1055N /m, P =×N 103
。
kN W 10=。求质点处最大动位移和最大动弯矩。
m
2m
2sin P
27、求图示体系在初位移等于l/1000，初速度等于零时的解答。θωω=020
.
( 为自振频率)，不计阻尼。
l
28、图示体系受动力荷载作用，不考虑阻尼，杆重不计，求发生共振时干扰力的频率θ。
/3
P t
sin( )
29、已知：m P ==38t, kN ，干扰力转速为150r/min ，不计杆件的质量，
EI =??6103kN m 2。求质点的最大动力位移。
2
m
2m
30、图示体系中，电机重kN 10=W 置于刚性横梁上，电机转速n r =500/min ，水平方向干扰力为) sin(kN 2)(t t P θ?=，已知柱顶侧移刚度kN/m 1002.14
?=k ，自振频率ω=-100s 1。求稳态振动的振幅及最大动力弯矩图。
m
31、图示体系中，kN 10=W ，质点所在点竖向柔度917.1=δ，马达动荷载P t t ()sin()=4kN θ，马达转速n
r =600/min 。求质点振幅与最大位移。
32、图示体系中，W =8kN ，自振频率ω=-100s 1
，电机荷载P (t ) = 5kN ·sin(
θt )，电机转速n = 550r/min 。求梁的最大与最小弯矩图。
2m
2m
P t ()
33、求图示体系支座弯矩M A 的最大值。荷载P t P t (),.==004sin θθω 。
/2
/2
34、求图示体系的运动方程。
l
l
m
0.50.5
35、求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图。θωω=05
.( 为自振频率)，EI = 常数，不计阻尼。
l
l
l
36、图示体系分布质量不计，EI = 常数。求自振频率。
a
a
37、图示简支梁EI = 常数，梁重不计，m m m m 122==,，已求出柔度系数()δ123718=
a EI /。求自振频率及主振型。
a
a
a
38、求图示梁的自振频率及主振型，并画主振型图。杆件分布质量不计。
a a
a
39、图示刚架杆自重不计，各杆EI = 常数。求自振频率。
2m
2m
40、求图示体系的自振频率和主振型。EI = 常数。
l l
l /3
/3
/3
41、求图示体系的自振频率及主振型。EI = 常数。
l /2l /2l /2l /2
42、求图示体系的自振频率及相应主振型。EI = 常数。
/2l l
/2l /2l /2
l
43、求图示结构的自振频率和主振型。不计自重。
l/2l/2
44、求图示体系的自振频率和主振型。不计自重，EI = 常数。
m
a a
a
45、求图示体系的第一自振频率。
l/2l/2l/2l/2
46、求图示体系的自振频率。已知：m m m
12
==。EI = 常数。
m
1.51
m
1.5m1m
1m
47、求图示体系的自振频率和主振型，并作出主振型图。已知：m m m
12
==，EI = 常数。
2m 2
4m4m
48、求图示对称体系的自振频率。EI = 常数。
l l l l
/2/2/2/2
49、图示对称刚架质量集中于刚性横粱上，已知：m1=m，m2=2m 。各横梁的层间侧移刚度均为k。求自振频率及主振型。
m 1
m 2
2
1
50、求图示体系的自振频率并画出主振型图。
m
51、求图示体系的自振频率和主振型。EI = 常数。
l l
52、用最简单方法求图示结构的自振频率和主振型。
l l
53、求图示体系的频率方程。
l
54、求图示体系的自振频率和主振型。EI =常数。
2a a
a
55、求图示体系的自振频率和主振型。不计自重，EI = 常数。
a /2
a /2
a /2
a /2
56、求图示体系的自振频率。设 EI = 常数。
l
57、图示体系，设质量分别集中于各层横梁上，数值均为m 。求第一与第二自振频率之比ωω12:。
2
58、求图示体系的自振频率和主振型。
l
m m 2EI =∞ EI =∞ EI 1
EI 1
2EI 1
2EI 1
59、求图示体系的自振频率和主振型。m m m m 122==，。
60、求图示桁架的自振频率。杆件自重不计。
m 3m
3m
61、求图示桁架的自振频率。不计杆件自重，EA = 常数。
m m
m
33
62、作出图示体系的动力弯矩图，已知：θ=082567
3
.EI
ml 。
0.5
l
0.5l
2
63、作图示体系的动力弯矩图。柱高均为h ，柱刚度EI =常数。
l l
θ=13257
.EI
mh
30.50.5P
64、绘出图示体系的最大动力弯矩图。已知：动荷载幅值P =10kN ，θ=-209441.s ，质量m =500kg ，a =2m ，EI =??48
1062.N m 。
()
P t sin θ
65、已知图示体系的第一振型如下，求体系的第一频率。EI = 常数。
振型101618054011 .
.????
???
?
?? /2
第九章 结构的动力计算（参考答案）
1、(X)
2、(X)
3、(X)
4、(X)
5、(O)
6、(O)
7、(O) 8、(X) 9、(X)
10、ω=19253
EIg Wl / 11、()ω=4kg /W
12、)/(16,48/332311ml EI EI l ==ωδ
13、)5/(48,48/5323ml EI EI l ==ωδ
14、
3
3477.11124ml EI
ml EI ==
ω
15、)5/(3,3/5323ml EI EI l ==ωδ
16、32311
9,/9ml
EI
l EI k =
=ω 17、()
06424 , 5
.123
213231
=--=A l m A l m EI ml
EI ωωω， 0)248(3 , 28
.423
213232=-+=A EI l m A l m ml
EI ωωω 振 型 1
振 型 2
18、1s 2.54-=ω
19、()
T Wh EIg =263
π/
20、()
T Wh
EIg =2483
π/
21、)/(889.23ma EI =ω
22、2:1:=b a ωω
23、)/(56.16EAg W T =
24、m EA m 5.10//1==δω
25、cm
Ystp Y M ml EI 3029.1,,127.3)/1/(1,s 25.24)2/8/(Max Mstp Dmax 22-1====-===μμωθμω
26、ωδ==+=-1143143416
//(//).m m EI k s 1 μθω=-=11152222/(/).
m,
006.0stp max ==y Y D μ ，
m, kN 61.7Dmax ==stp M M μ
27、
),
sin(04167.1)sin(20833.0)cos(001.0,1000/ ,),cos()cos()sin(,04067.1 ,/st st st 2
2st t Y t Y t l Y l B Y A t m P
t B t A Y m P Y D
D D θωωω
θ
μ
θμωωωμω+-===+
+===
28、)/(273ml EI =θ
29、-1s 92.38=ω ，-1s 71.15=θ ，19.1=μ ，m 10/09.23max =y 30、,378.1 ,s 36.52-1==βθ
，mm 27.0 m,9610.1st 4st ===-y A y β
M
M F M D 756.2==β
31、,s 83.62 ,s 50.71-1-1==θω
；β=4389. ；A F ==βδ337.mm ；
m m 28.5)(max =+=δβF w y
32、θβ==575961496.,.s -1
，M F M M D ==β748. ，
{}M M M M T
D 52.0 48.15st max =+=
33、3
33 , 3l EI
k ml EI ==
ω，
运动方程： m
P
y y
k ky y m P 165, 21=+??=+ω 特征解y *
：
y P m t P m
t *sin .sin =
-
=51600595
2
2
2
ωθωθθ
11
()l P M t l P t l P l P Pl
l y
m M A A 0max 000*56.0, sin 56.0 sin )2
0595.0(2==+=+=θθ 34、 16)sin(533
t P y l EI y
m θ=
+
35、
))(sit (3,3/4,4/3st t EI
Pl
Y EI Pl Y θμ-=
==
36、{}EI
ma /1211.02123.3/1T
32==ωλ
)/(874.2,)/(558.03231ma EI ma EI ==ωω
37、{}EI ma /07350.0125984
.0/1T
32==ωλ
)/(|6886.3,)/(8909.03231ma EI ma EI ==ωω
954
.0/1/2111=Y Y ，()097.2/1/2212
-=Y Y
38、EI
a EI a 6/,3/231232211
===δδδ，
)/(414.1,)/(0954.13231ma EI ma EI ==ωω
{}λω==1561223
////ma EI T
，Y Y Y Y 112112221111//,//()==-
M
1M
2
1
第二主振型
第一主振型
图图
11
1
1
39、
EI
EI
EI
2
8
3
4
12
22
11
-
=
=
=δ
δ
δ，
，
，?
?
?
?
?
?
=
=
779
.0
554
.8
1
2EI
m
ω
λ
m
EI
m
EI
1328
.1
,
3419
.0
2
1
=
=ω
ω
40、对称：,
162
/
53EI
l
=
δ,
)
/
(
69
.52/1
3
1
ml
EI
=
ω
反对称：,
/
00198
.03EI
l
=
δ,
)
/
(
46
.
222/1
3
2
ml
EI
=
ω
41、EI
l
EI
l
EI
l96
/
5
,
24
/
,
48
/
53
21
12
3
22
3
11
=
=
=
=δ
δ
δ
δ
3
2
3
1
/
054
.9
,
/
736
.2ml
EI
ml
EI=
=ω
ω
{}[]
Φ1105653
=.,()
T
分
{}[]
Φ2117663
=-.()
T
分
42、对称：,
)
/
(
191
.2
,
24
/
52/1
3
2
3
11
ml
EI
EI
l=
=ω
δ
反对称：δδδ
11
3
2112
3
48
===
l EI l EI
/,/，δ
22
348
=l EI
/，
,
)
/
(
69
.7
,
)
/
(5.0
2/1
3
2
2/1
3
1
ml
EI
ml
EI
=
=
ω
ω
{}[]Y 1=1 0.03 -0.03T
，{}[]Y 2=0 1 1T
,，{}[]Y 3=1 -31.86 31.86T
43、ωω132
3
12
82==.,.,EI ml EI
ml 1
.01
,4.101,
16,382,48221221113
2112322311-======Y Y Y Y EI l EI l EI l δδδδ 44、
3
21321/2.397.0;/0975.007.1ma EI EI ma ??
????=??????=ωωλλ
61.3/;28.0/)
2(2)2(1)1(2)1(1+=-=A A A A
45、3
/48ml EI =ω
46、
),
/(7708.1,/)(4393.0),/(3189.0),/(1818.5),/(6875.1),/(1),/(5.4212
121122211m EI m EI EI m EI m EI EI EI ====-====ωωλλδδδδ
47、
)
/(6664.2),/(6645.12)
3/(32),/(4),3/(142122211211EI m EI m EI EI EI ===-===λλδδδδ
5
.0:1:,2:1:)/(6124.0,)/(281.022********=ΦΦ-=ΦΦ==m EI m EI ωω 48、3
1/47.10ml EI =ω，,/86.1332
ml EI =ω
49、k k k k k k k 112212212====-,
,
ωωω2
12228080219204682
15102=
??????==k m k m k
m
..,.,.
Y Y Y Y 112112221178110281
==-.,. 50、k i l k k i l k i l 112211222226630===-=/,/,/,
ω11/20146
=.(/)EI m ，2/12)/(381.0ml EI =ω，
{}[]{}[]T
T
4.24- 1,0.236 121=Φ=Φ
51、k EI l k EI l k EI l 113123223
1812998==-=/,/,/，
ωω132
316925245==.
,.EI m l EI
m l 52、利用对称性： 反对称：δω11
313366245===l EI
EI m l EI
m l ,. ， 对称：δω11
3
233
9696737===l EI
EI m l EI
m l ,.
53、列幅值方程：
δωδωδωδω1121222122222222m x m y x m x m y y +=+=???，
2121
0211122
221112m m m m ωδδωωδδω--=， δδδδ11
312213223
3243====l EI l EI l EI
,,
2
2x
δ11
22
54、对称：δω22
3230183333032==.,.a EI EI
ma
反对称：δω11313
407071==a EI EI ma ,. 55、对称：
1
1
δ113
24=a EI /()，ω1324=EI ma /()
反对称：
1
1
δ113
7768=a EI /()，ω137687=EI ma /()
56、ωω132********==./,./EI ml EI ml
57、
设k EI l =243
/ 频率方程：
()()()
22,024,03222422
2
2
±=
=+-=---m
k
k km m k
m k m k ωωωωω
828.5:11:1716.0:21==ωω
58、ωω14
24
1248=
=EI
ml EI
ml ,，ΦΦΦΦ11211222051==-., 59、k EI l k EI l k EI
l
1131232233351=
=-=,, []M m EI ml EI
ml =???
???==100216735071323,.,. ωω，[]Φ=-?????
?1114020132.. 60、W EAg W EAg /506.0,/379.021==ωω
61、ωω12034048==././EA m EA m , 62、
EI
Pl A A EI l EI
l EI l 3
213223
123111397.00531.0348524??
????=??????===，，
，δδδ 0.Pl
0047612.Pl
63、
EI
Ph A A h EI k h EI k h EI k 3
213123223110500.00538.0242448??
????=??????-===，，，