1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
第一课时
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
（2）1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数
表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n C 可以看成
以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,
,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
（∵m n m n n C C -=）．
直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=?
，
∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定，11
12
n k n k k -++>?<， 当1
2
n k +<
时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，1
2n n
C
+取得最大
值．
（3）各二项式系数和：
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
三、讲解范例：
例1．在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令
1,1a b ==-，则0123
(11)(1)n n n
n n n n n C C C C C -=-+-++-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴02
13
n n n n C C C C ++
=++
，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
1312n n n n n C C C C -++=++
=.
例2．已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+，求：
（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a ++
+.
解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a +++
+
∴0127a a a a +++
+1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++）（
=x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
C
第二课时
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数
解：∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+?， ∴此展开式中x 的系数为240
例5.已知n
2)x
2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意2
n 4
n 2
n 4
n C 14C 33:14C :C =?= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10
设第r+1项为常数项，又 2
r 510r 10r r 2r
10r 10
1r x C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=?=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
例6． 设()()()()23
1111n
x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x +++
+，
当012254n a a a a ++++=时，求n 的值
解：令1x =得：
23
0122222n
n a a a a +++
+=+++
+2(21)
25421
n -==-，
∴2128,7n
n ==，
点评：对于1
01()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-+
+，令1,x a -=即1x a =+可得各项系
数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项
和的关系
例7．求证：123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=?．
证（法一）倒序相加：设S =123
23n
n n n n C C C nC ++++ ①
又∵S =12
21
(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+
++ ②
∵r n r
n n C C -=，∴011,,
n n n n n n C C C C -==，
由①+②得：(
)012
2n n n n n S n C C C C =+++
+，
∴11222
n n S n n -=
??=?，即123
1232n
n n
n n n C C C nC n -++++=?．
（法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --?-=?
==---，
∴ ()123
012
1
112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++
+=+++
+12
n n -=?． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r
n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中
的系数无关.
解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*), 各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a ++
+,偶数项系数和为
9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为1010
10110010
2=+++C C C . ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为910
10210010
2=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为9910310110
2=+++C C C . ④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)
(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为2
5110
+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a , ∴偶数项的系数和为2
5110
-.
⑤x 的奇次项系数和为2
5110
9531-=++++a a a a ;
x 的偶次项系数和为2
5110
10420+=++++a a a a .
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n x
x 2)12(-的
展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. 解：由题意992222=-n n ,解得5=n .
①10
1
(2)x x
-的展开式中第6项的二项式系数最大,
即8064)1()2(555
10156-=-??==+x
x C T T .
②设第1+r 项的系数的绝对值最大,
则r r r
r r r r r x C x
x C T 2101010101012)1()1()2(---+???-=-??=
∴??????≥??≥?--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得?????≥≥+-110
101
101022r r r r C C C C ,即???-≥+≥-r r r r 10)1(2211
∴3
1138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项
例10．已知：2
23
(3)n
x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n
+=， 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22
2992n
n -=，5n =．
（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223
22
6
335
()(3)90T C x x x ==，22232
23
33
45
()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则2
1045233
15
5
()
(3)3r r
r
r r
r r T C x x C x
+-+==，
∴1155
11
55
33792233r r r r r r r r C C r C C --++?≥??≤≤?≥??，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，226424
3
3
55
()(3)405T C x x x
==．
例11．已知)(122
221
2211+---∈+?++++=N n C C C S n n n n n n n n ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式 ∵1122
122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++?+=+3n =，
∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*
k N ∈）， ∴14--n S n 2381k
k =--(81)81k
k =+-- 011
1888181k k k k k k C C C k --=++
++--
011228(88)8k k k k C C C -=++
+ （*） ，
当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
三、课堂练习：
1．
)
()
4
5
1
1x +-展开式中4
x 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式12233
()(1)(1)(1)(1)n
n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-+
+-（6n >）的展开式
中，6
x 的系数为 3．若二项式2
31(3)2n
x x
-
（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％
B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间
D.在8％以上
5．在(1)n
x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n
x -等于（ ） A.0 B.pq C.2
2
p q + D.2
2
p q -
6．求和：
()23410123
11111111111n n
n
n n n n n a a a a a C C C C C a a a a
a
+------+-++------．
7．求证：当n N *
∈且2n ≥时，()1
32
2n n n ->+．
8．求()10
2x +的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16n
f x x n =->
3. B
4. C
5. D
6. ()
1
1n a a ---
7. (略) 8. 3
3115360T x +=
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 2
1．已知2(1)n
a +展开式中的各项系数的和等于5
216
5x ? ?
的展开式的常数项，而
2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈
答案：a =2．设()()()()()5
9
14
13
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++
求：① 0114a a a ++
+ ②1313a a a ++
+．
答案：①9
3
19683=； ②
()
9
5332
+=
3．求值：0123456789
999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．
答案：8
2=
4．设296
()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）6
3729=；
（2）所有偶次项的系数和为631
3642-=； 所有奇次项的系数和为631
2
+= 六、板书设计（略） 七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n 一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b 2+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它
们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用n
n n n a a a 10,来表示，它这样一来(a+b)n 的展开形式就可写成(a+b)n=n n n r r n r n n n n
n b a b a a b a a a
a +++-- 110
现在的问题就是要找r
n
a 的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算
2007年高考题
1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x ，有323
0123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，
则2a 的值为（B ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．（2007年湖北卷）如果n
x x ??? ?
?-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值
为
A.3
B.5
C.6
D.10 【答案】：B. 【分析】：22()325132(3)
()3(2)3(2)r
n r
r r n r r n r r r n r
r n r r n n n T C x C x C x x
------+=-
=-=-， 250n r -=，52
r
n =
（2,4,r =）。min 5n =.
【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力. 【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r 的关系。 【备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。
3．（2007年江西卷）已知
n
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ C ）
Ａ．4 Ｂ．5
Ｃ．6
Ｄ．7
4．（2007年全国卷I ）21n
x x ??- ??
?的展开式中，常数项为15，则n =（ D ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．（2007年全国卷Ⅱ）8
2
1(12)x x x ?
?+- ??
?的展开式中常数项为 42- ．（用数字作答）
6．（2007年天津卷）若6
21x ax ??+ ??
?的二项展开式中2
x 的系数为52，则a = 2 （用数字作答）．
7．（2007年重庆卷）若n
x
x )1
(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A10 B.20 C.30 D.120 8．（2007年安徽卷）若(2x3+
x
1)a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于
7 . 9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 21n - 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… ……………………………………… 图1
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 授课人： 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 【教学任务分析】 (1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和 才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感. (2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩 固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位. 【教学目标】 （1）知识和技能：
掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题. (2) 过程和方法： 通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养. (3) 情感态度和价值观： 通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让 学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感. 【教学重点、难点】 重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景. 难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质. 【教法、学法】 教法：问题引导、合作探究． 学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想, ①从课上交流展示中感知规律； ②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质； ③在探究证明性质中理解知识. 【教学流程】 例题及练习
【教学过程】 环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项” 【师生活动】教师提出问题，学生复习回答. 【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备 环节2: 创设情境 引入新课 “计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史 【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角. 【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质 之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自 豪感和探索新知识的欲望. 环节3：合作探究 发现规律 【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。 环节4：演绎推理 证明性质 （1） 结合组合数性质证明： 性质1 除1外的每个数都等于它“肩上”的两个数的和。 利用性质求7 )(b a + 性质2 对称性 （2） 从函数角度分析证明：二项式系数的单调性与最大值； ①借助7,6==n n 时r n C r f =)(的图像，直观感知二项式系数的对称性及单调性与最大值. ②证明r n C r f =)(的单调性，并确定最大值位置； 【师生活动】学生画图，证明结论 【设计意图】引导学生结合函数图象，理解增减性与最大值，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；学生从函数图像角度认识二项式系数的增减性与最值体会函数思想，数学结合思想。 ③巩固练习 【设计意图】及时巩固对称性与增减性最值，应用二项式系数性质，加深理解。
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
“教材分析与导入设计” 本节教材分析 课本通过杨辉三角这个历史素材，引入了二项式系数的讲解．课本分别对杨辉三角中的二项式系数进行观察、归纳发现结论的。第一条性质是递推性，它表明杨辉三角中任何一个不为1的二项式系数都是它“肩上”的两个二项式系数的和；第二条性质是对称性，它表明杨辉三角中与首末“等距离”的两个二项式系数相等.其次在性质的推导基础上进行了简单应用. 三维目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项式系数性质 过程与方法：能解决与二项系数有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及系数性质的掌握及运用 教学难点：二项式定理及系数性质的掌握及运用 教学建议： 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成． 新课导入设计 导入一：（复习引入） 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 导入二：情境导入 通过课本上的阅读材料，了解杨辉，继而画出杨辉三角 让学生观察这个图形，并结合上节内容研究观察二项式系数 性质.
第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．
2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
二项式系数的性质及应用 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质 2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】 1. 已知c bx ax x f ++=2)( （1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f 2. =+n b a )( ，其中二项式系数分别是 =+n x )1( 【活动方案】 活动一：理解二项式系数的性质 1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角 2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n a b +展开式的二项式系数填入下表．
将上表改成三角形几何排列 3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什 么特点？ 4. 从函数的角度看，r n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{} n r N r r ≤∈,， 分别画出r C r f 6 )(=)61,0( =r 以及r C r f 7)(=)71,0( =r 的图像． 5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性 2. 增减性与最大值 3. 二项式系数的和
活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法 例1证明：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 小结： 例2已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+- 变式训练：（1）求2 53126420()(）a a a a a a a ---+++ （2）求72172a a a +++ （3）求7 722 1222a a a +++
杨辉三角与二项式系数的性质 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 3．呈现合作交流
《二项式系数的性质》教学设计 江西省新余市第一中学聂生庚 北师大版选修2-3第一章第5节第2课时 一、教学内容解析 1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。 2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。 3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。 4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。 二、教学目标设置 教学目标： 1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法； 2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程. 3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。 教学重点、难点：
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 一、选择题 1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )． A ．2n ＋1 B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋ 1－2 2 ．在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 3．(2 )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 4 ．已知1n x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )． A ．第19项 B ．第17项 C ．第17项或第19项 D ．第18项或第19项 5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )． A ．1 B ．－1 C ．36 D ．26 二、填空题 6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________． 7．(2012安徽安庆模拟，理14)设 (1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________． 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶ 3. 三、解答题 9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5 2165 x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .
二项式定理 第3课时 教学目标： 掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。 教学过程： 【设置情境】 在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！ 【探索研究】 上节课我们已经知道 在二项式定理n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+--ΛΛ中， ),,2,1,0(C n r r n Λ=叫做二项式系数。 它们是一组仅与二项式的次数n 有关的1+n 个组合数，而与a 、b 无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。 1．“杨辉三角”的来历及规律 n b a )(+展开式中的二项式系数，当Λ,3,2,1=n 时，如下表所示： 1)(b a +…………………………………1 1 2)(b a +………………………………1 2 1 3)(b a +……………………………1 3 3 1 4)(b a +…………………………1 4 6 4 1 5)(b a +………………………1 5 10 10 5 1 6)(b a +……………………1 6 15 20 15 6 1
这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。 由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n 不大时，可以根据这个表来求二项式系数。 n b a )(+展开式的二项式系数依次是 n n n n n C ,,C ,C ,C 210 Λ 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是 {}n ,,2,1,0Λ 2．二项式系数的性质 1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式m n n m n -=C C 得到。 2）增减性与最大值 由于 k k n k k k n n n n k n k n 1C )!1()1()2)(1(C 1+-?=-?+---= -Λ 所以k n C 相对于1C -k n 的增减情况由 k k n 1+-决定。由 2 111++-n k k k n 。 可知，当2 1+ 河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 杨辉三角与 二项式系数的性质教案 教学目标：掌握二项式系数的四个性质。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。 一，复习1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式： 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 课本32页探 究： ，。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性： ， 。 （2）增减性与最大值: , . . （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++， 令 ，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++ +++ 三，课堂小练 （1）20)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （2）19)(b a +第 项的二项式系数最大，最大是 。 （3）n x )21(+的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项是 。 注意：二项式系数最大的项不一定是系数最大的项。 （4）=++++77372717C C C C 。 三、讲解范例： 例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=. 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： 二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 11 01C C 02 C 12 C 2 2C 0 3 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释） 【提示】设这一数为 r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： ③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点 n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n . 从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝ 当n=5及n=6时，分别作出其图象 图1 图2 据图可分析出函数r n C r f =)(，图象的对称轴是2 n r = 3、二项式系数的性质 据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． [典型问题] .已知5 15C =a ，9 15C =b ，那么10 16C =__________； 《二项式系数的性质》教学设计 一、教学内容解析 1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。 2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。 3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。 4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。 二、教学目标设置 教学目标： 1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法； 2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程. 3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。 教学重点、难点： 1．教学重点：观察，讨论交流到归纳二项式系数的性质，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力； 2．教学难点：从函数的角度，理解二项式系数的增减性与最大值，并论证。 杨辉三角与二项式系数的性质教学点评 本节课有以下几点值得一提: 一、目标定位准确 本节课,教师在充分挖掘教学内容的内在联系,了解学生已有知识基础,充分分析学情后,确定的教学目标:理解、领悟二项式系数性质;渗透数形结合和分类讨论思想;灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确,科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实,并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”,以递进的形式呈现:观察分析、归纳猜想、抽象概括,提炼上升;特殊——一般——特殊到一般…,课堂实践表明,这些目标,在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1.放手发动学生 把课堂还给学生,一直是课改的大方向,也是新课标的原动力之一.还给学生什么呢?教师作了很好的诠释: 一是给“问题”,当然问题有预设的,也有生成的,符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”,这体现了教师的先进教学理念,即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试.当然,n=6,7时,离散型函数的图象起了直观引领,奠基的重要作用.不为完成任务所累,不为主宰课堂所困. 三是给“机会”,让学生展示自主探索,合作交流的成果,极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性,参与程度和激情得到了空前的提高. 2.彰显理性数学 本节课,无论是对称性,增减性(最大值,及二项式系数和的逐步生成,学生都能从“特殊到一般”的认识规律,归纳猜想到结论.但数形结合的函数思想,组合数两个性质的运用,两个计数原理的巧妙“会师”,奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,反馈升华例示中赋值法再现.这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华,让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维,更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 10.7 二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 『梳理自测』 一、二项式定理及特点 1．(教材改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 3．(教材改编)二项式????x 3－1 x 25的展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．－10 C ．－14 D ．14 『答案』1.B 2.B 3.A ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n － 1b ＋…＋C r n a n － r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的C r n a n － r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n － r b r . (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n ＋1. ②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . ③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . ④二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n － 1n ，C n n . 二、二项式系数的性质 1．若????x －1 2n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( ) A.132 B.164 C ．－164 D.1128 2．若????3x －1 x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－405 D ．405 『答案』1.B 2.C ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n － r n (r ＝0,1，…，n ) (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12 n 取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n － 1. 『指点迷津』 1．一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n － r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 2．一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 3．两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．高考数学总复习 杨辉三角与二项式系数的性质教案
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