1 【优化指导】2015年高中数学 1.1.2弧度制学业达标测试 新人教A
版必修4
1．2弧度的角所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：∵π2＜2＜π，∴2弧度的角是第二象限角．
答案：B
2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A ．扇形的面积不变
B ．扇形的圆心角不变
C ．扇形的面积增大到原来的2倍
D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍
解析：根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长与半径的比，故选B.
答案：B
3．将1 920°转化为弧度数为( )
A.163
B.323
C.16π3
D.32π3
解析：1 920°＝1 920×π180＝32π3.
答案：D
4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．
解析：∵R ＝16，α＝2 rad ，∴l ＝α·R ＝16×2＝32.
答案：32
5．若扇形的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形圆心角的弧度数．
解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，
由已知条件可知?????
12lR ＝1，
2R ＋l ＝4，解得????? l ＝2，R ＝1，
所以扇形的圆心角度数为l R ＝2.
1.1.2弧度制 【学习目标】 1. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算. 2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用. 【新知自学】 知识回顾： 1．角的概念 一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。 按__________方向旋转所形成的角叫正角； 按_______方向旋转所形成的角叫负角； 如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角. 2．象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________, 新知梳理： 1. 角度制规定 将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度， 直角等于90度. 2. 弧度制的定义 长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？ 3．弧度数的求法 一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么角α的弧度数的绝对值是：α________.α的正负由__决定. =
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 4．角度与弧度的换算 （1）3600=________rad ； （2）________=πrad ； 度数0 180π?=弧度数； 弧度数π 0180?=度数. 【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 对点练习1： 填写下表 12 5. 扇形的公式: (1)l R α=; (2)212 S R α=; (3)12 S lR = . 对点练习2： 若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 c m ，求扇形圆心角的弧度数．
高一数学同步测试（1）角的概念/弧度制 第I 卷（共50分） 一、选择题（每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的） 1．下列命题中的真命题是 （ ） A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 B ．第一象限的角是锐角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－ 2 π ＜α＜2k π(k ∈Z) 2．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是 （ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 3．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ．π2 k 与)(2 Z k k ∈+ π π B ．)(3 k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈±+π πππ与 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 5．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为： （ ） A ．70 cm B ．6 70 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 6．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．以上都不对 7．已知A(1，2) 、B(5，4) 、C(x ，3) 、D(－3，y) 且AB ∥CD ， 则x 、y 的值分别为（ ） A ．－7，－5 B ．－7，5 C ．7，－5 D ．7， 5 8．将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数是 （ ） A ． 4 π B ．－ 4 π C ． 6 π D ．－ 6 π 9．角α的终边上有一点P （a ，|a |），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为 （ ） A ．2 2 - B ．22 C ．1 D ． 22或2 2 - ≠
4.2弧度制（二） 教学目的： 1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ） ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad
∴ 1?= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801ο οο =≈?? ? ??=πrad 在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 任意角的集合 实数集R 5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180 r n l π=；3602R n S π=扇 二、讲解新课： 1．弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221 R ππ o R S l
1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题 【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制 【答案】C 3．扇形圆心角为 3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3 B ．2:3 C ．4:3 D ．4:9 【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析) 【答案】B 4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π 【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题 【答案】C 5．若扇形的面积为38 π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316 π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题 【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23 π-
【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B 7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧 BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ） ，设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ） A ．30θ B ．40θ C ．100θ D ．120θ 【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】C 8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．14 B ．12或2 C ．1 D ．14 或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 9．已知扇形的圆心角为150?，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题 【答案】B 10．已知扇形AOB ?的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ） A ．2 B ．sin1 C ．2sin1 D ．2cos1 【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题 【答案】C 11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高
任意角和弧度制练习题 一、选择题 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 6.终边落在X 轴上的角的集合是（ ） Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z } C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z } D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z } 7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 8.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是 （ ） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．{ }Z k k ∈±?=,90360|οοαα={}Z k k ∈+?=,90180|οοαα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C
必修四第一章三角函数 1.1任意角与弧度制 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的围大扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 4、常用的角的集合表示方法 <1>、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和。 (Z k （2）所有与α终边相同的角连同α在可以构成一个集合
{}Z k k S ∈?+==,360|οαββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 <2>、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180|οββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ <3>、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180|οοββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|οοββ <4>、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 二、弧度与弧度制 <1>、弧度与弧度制： 弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
人大附中分校高一数学导学学案 一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题： ① 角的弧度制是如何引入的？ ② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？ ④ 角度制与弧度制的区别与联系。 1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 2．平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad 3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算： 1．∵ 360 =2 rad ∴180= rad ； ∴ 1= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α?=r l ，由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。 ②扇形面积公式 lR S 2 1 =，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 o R S l
1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案 例题 例1：（1）把11230'化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230'化成弧度（用π表示） 解：（1）α=1.969 rad （2）58 π； 例2： 把3 rad 5 π化成度 解：33 rad 18010855 π= ?= 例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3 ⑵ 165 解： cm r 10= ⑴ )(3 401034cm r l ππα=?=?=; ⑵ rad rad 12 11)(165180 165π π = ?= 例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2 ，求扇形中心角的弧度数． 解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ， 由题意：?????=?=+62 1102r l r l ?0652 =+-r r ∴ ???==62l r 或?? ?==4 3l r ∴ r l =α=3 或34 随堂练习 1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题． 2．把－8π 3 化成角度是( ) A ．－960° B ．－480° C ．－120° D ．－60° 解析：选B.－8π3＝－8 3 ×180°＝－480°. 3．把－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－7π6 解析：选B.－300°＝－300×π180＝－5 3π. 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π 12 的扇形面积是________ cm 2. 解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π. 答案：3 2π
厦门外国语学校高一下学期校本作业（2） 班级: 姓名: 座号__________ 弧度制 一、选择题 1、若α是第四象限角，则απ-是（ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 2、若α＝－3，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 求值：13 33 -tan sin cos π π π ··等于（ ） A. 14 B. 34 C. 12 D. 32 4、下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2 k 与)(2 Z k k ∈+ π π B ．)(3 k 3Z k k ∈± π π π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6 Z k k k ∈± + π ππ π与 5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 6、集合? ??? ??∈= =Z k k A ,6 π αα与? ??? ??∈+==Z n n B ,6 3ππββ的关系是（ ） A 、B A ? B 、B A ? C 、B A = D 、B A ? 7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 8．某扇形的面积为12 cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ） A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 9．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( ) 2 2 2 2 )1cos 1sin D.(1 2 1. 1cos 1sin 2 1B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10．下列命题中正确的命题是( ) A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2 B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 ) (22Z k k ∈+=+π πβα)(2Z k k ∈+=+ππβα) (2 Z k k ∈+=+π πβα)(Z k k ∈+=+ππβα
弧度制测试卷 姓名 班级 分数 一、选择题（每题5分共60分 ） (1）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ） A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等 C.所对的弧长等于各自的半径 D.以上都不对 (2).把0 1458-化为)20,(2παπα<≤∈+Z k k 的形式是（ ） A. ππ84- B.ππ847-- C.ππ104-- D.ππ104 7- (3). α为第四象限角，12 5tan -=α，则αsin 等于 A.51 B.51- C. 135 D. 135- (4).若?是第二象限角，那么2?和?π-2 都不是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (5).将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是 （ ） A 、3π B 、3π- C 、5 π D 、5π- (9).集合,,22|,,2)1(|? ?????∈+==?????? ∈? -+==Z k k x x B Z k k x x A k ππππ 则A 、B 的关系为 ( ) A.B A ≠? B.B A ≠ ? C.A=B D,A φ=?B (10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( ) A.32 B.23 C.32π D.π2 3 (11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( ) A.??? ??-2,2ππ B.?? ? ?????? ??πππ2,232,0 C.)(22,22Z k k k ∈??? ??+-ππππ D.)(22,22,22Z k k k k k ∈??? ? ?+???? ??-ππππππ （12）若α是第四象限的角，则απ-在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（每题5分共10分） (13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧的弧长是 (14)用弧度制表示x 轴上方的角的集合 (15)扇形的半径是5cm ，弧长是 32πcm 那么扇形的面积是 cm (16)=?-?+?2cos 4tan 6cos 6tan 3tan 3sin π ππ π π π 三、解答题（每题10分共20分） 17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
1．1．2弧度制 1. —600°化为弧度是 ( ) A.π38. B.π310 - C.π47 - D.π37 - 2.下列各角中，终边相同的角是 ( ) A.π32和240° B.5π -和314° C.ππ929 97 和- D.3和3° 3.终边在x 轴上的集合是 ( ) A.{}Z ∈=k k ,|παα B.?????? Z ∈+=k k ,22|ππ αα C.??????Z ∈+-=k k ,22|ππ αα D.{}Z ∈+=k k ,2|ππαα 4.若α=4，则α是第( )象限角. A.一. B.二. C.三 D .四 5. 圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) A.3π - B.32π C.3 D.2 6. 若α是第四象限角,则απ-,必定是( ) A.第一象限角. B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7. 集合 M=??????Z ∈+?=k k x x ,42|π π ，N=??????Z ∈+=k k x x ,24|π π ,则( ) A.M=N. B.M ?N C.M ?N D.M N=Φ 8. 在()π4,0中,与π43 -终边相同的角是 __________________. 9. 扇形的半径长为a ，弧长为a 35 ，则圆心角的弧度数为______________. 10.角βα,的终边关于x+y=0对称,且α=3π -,则___________=β. 11.已知{}236|x y x A -==，B=??? ???Z ∈+<<-k k k ,3232|ππβππβ, 求A B ，A B .
弧度制（人教A版） 一、单选题(共13道，每道7分) 1.下列说法正确的是( ) A.1弧度角的大小与圆的半径无关 B.同心圆中大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D.用弧度来表示的角都是正角 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度制 2.圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的( )倍. A. B.2 C. D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度制 3.下列各角中，与240°角终边相同的角为( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度与角度的互化 4.比较315°，，的大小，下列选项正确的是( ) A. B. C. D.答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度与角度的互化 5.把-1125°化成的形式是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度与角度的互化
6.若α=-3，则α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度制 7.下列各角中，终边相同的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：终边相同的角 8.集合∩为( )
A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：弧度制 9.已知角α与的终边相同，则与角终边相同的角的集合为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：终边相同的角 10.角α，β的终边关于直线x+y=0对称，且α=，则β=( ) A. B. C. D. 答案：B
弧度制习题 1．已知6 π α= ，则下列各角中与角α终边相同的是（ ） A ． 56 π B ．56 π- C ．136 π - D ． 256 π 2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ． 3 π B ．3 π- C ． 23 π D ．23 π- 3．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 4．已知扇形的半径为R ，面积为22R ，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A B ．C ．2 D ．4 5．下列各命题中，假命题的是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的 1360 ，一弧度的角是周角的1 2π C ．根据弧度的定义，180o 一定等于π弧度 D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 6．把下列弧度化成角度：（1） 12 π ；（2）43π- ；（3） 310 π . 7．把下列角度化成弧度：（1）2230?'；（2）210?-；（3）1200?. 8．填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边. 9．已知扇形AOB 的圆心角为 23 π ,AB =
（1）求扇形AOB 的弧长;（2）求图中阴影部分的面积. 10．已知角2010α?=. （1）把α改写成()2,02k k πββπ?+∈≤ 人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共15题；共30分) 1. （2分）“”是“”的（） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 2. （2分） (2018高一下·安徽期末) （） A . B . C . D . 3. （2分） (2019高一上·宾县月考) 集合，，则（） A . B . C . D . 4. （2分） (2018高一上·哈尔滨月考) 已知角的终边过点，则的值是（） A . 1 B . C . D . －1 5. （2分） (2016高一下·南市期末) 下列角中终边与330°相同的角是（） A . 30° B . ﹣30° C . 630° D . ﹣630° 6. （2分） (2019高一下·延边月考) 将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是（） A . B . C . D . 7. （2分） (2015高一上·莆田期末) 已知集合{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（） A . B . C . D . 8. （2分）若sin（π+θ）= ，sin（）= ，则θ角的终边在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 9. （2分）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（） A . B . C . D . 10. （2分）已知α是第二象限角，则是（） A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第一或第二象限角 D . 第一或第三象限角 11. （2分）下列各命题正确的是（） A . 终边相同的角一定相等 B . 第一象限角都是锐角 C . 锐角都是第一象限角 D . 小于90度的角都是锐角 12. （2分）已知α=2rad，则下列叙述正确的是（） A . 是锐角 B . cosα＞0 C . α是第一象限角 D . α是第二象限角 13. （2分）下列转化结果错误的是（） A . 67°30′化成弧度是π B . ﹣π化成度是﹣600° C . ﹣150°化成弧度是π D . 化成度是15° 14. （2分）把化成的形式是（） 弧度制【知识梳理】 1．角度制与弧度制 (1)角度制． ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的 1 360作为一个单位． (2)弧度制． ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 4．弧度与角度的互化 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则 【常考题型】 题型一、角度与弧度的换算 【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π 9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π 5； (2)－300°＝－300×π180＝－5π 3； (3)2＝2×????180π°＝???? 360π°； (4)－ 2π 9 ＝－????2π9×180π°＝－40°. 【类题通法】 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π 180＝ 弧度数，弧度数×180 π ＝度数． 【对点训练】 已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝ 3π5，β2＝－π 3 . (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π 6， α2＝750°＝750π180＝25π 6. ∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π 6， α2＝ 25π6＝2×2π＋π6 ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝3 5 ×180°＝108°， 陕西省人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测 试 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2018高一下·集宁期末) 与角终边相同的角为（） A . B . . C . D . 2. （2分） (2017高一下·潮安期中) ﹣150°的弧度数是（） A . ﹣ B . C . ﹣ D . ﹣ 3. （2分） (2016高一下·华亭期中) 将﹣1485°化成α+2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（） A . ﹣﹣8π B . ﹣8π C . ﹣10π D . ﹣10π 4. （2分）若，则θ角的终边在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 5. （2分）已知a=-6，则角的终边落在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 6. （2分） (2019高一上·长春期中) 将弧度化成角度为（） A . B . C . D . 7. （2分）下列叙述正确的是（） A . 180°的角是第二象限的角 B . 第二象限的角必大于第一象限的角 C . 终边相同的角必相等 D . 终边相同的角的同一个三角函数的值相等 8. （2分）下列各角中与角终边相同的角为（） A . B . C . D . 9. （2分） (2017高一上·怀柔期末) 角90°化为弧度等于（） A . B . C . D . 10. （2分）“且”是“为第三象限角”的（） A . 充要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分不必要条件 D . 既不充分也不必要条件 11. （2分） (2016高一下·汉台期中) 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C 关系是（） A . B=A∩C B . B∪C=C C . A?C 练习三 弧度制 (一) 要点 1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以 “弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算: 10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/. 3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600 终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600 ,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+ 3 π,k ∈Z }或{ x|x=k 〃3600 +600 ,k ∈Z } 同步练习 1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.① 4π , ② －45π,③4 19π,④－43π,其中终边相同的角是 ( ) (A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－ 3 2π 角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350 ⑵ －670 30 / ⑶2 ⑷－ 6 7π 1. 将下列各数按从小到大的顺序排列. Sin40 , sin 2 1, sin300 , sin1 2. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相 同的角. (1)－3 16π; (2)－6750 . 3. 若角θ的终边与1680 角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3 θ 角的终边相同的角. 练习四 弧度制(二) 要点 1. 弧长公式和扇形面积公式: 弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= 21Lr=2 1|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径. 2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但 人教A版必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 第二课时弧度制 《弧度制》教学设计 河北省石家庄二中赵春生 深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨。本节课我教学的重点就是弧度制概念，设计的一大亮点就是由一道探究题目，展开本节课的全部教学内容。 一．教学内容解析 弧度制在本章的位置： 本节知识结构： 《弧度制》是人教A版必修4第一章第一节第二课时的知识内容，教学重点是弧度制的概念。本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础。 首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；理解任意角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用。 其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想、以及数形结合的思想，还有提高数学推理论证能力、几何直观能力、数据处理与数值计算能力都提供了很好的契机。 另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；系统的去思考概念产生的必要性，合理性，优越性，概念的内涵和外延；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展。 三．学生学情分析 其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础。 能力上，学生经过高中半个多学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内。 弧度制的概念教学是重点也是难点，力求讲清概念的内涵和外延，分析概念生成的必要性、合理性、优越性。 四．教学策略分析 本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，围绕这样的问题链展开： 引发学生探究性思维活动，使学生在思考、 讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程。 目标测试题 弧度制 1．已知α= –3，则α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 2．一条弦长等于半径的12 ，则此弦所对圆心角（ ）． A ．等于6π弧度 B ．等于3 π弧度 C ．等于12弧度 D ．以上都不对 3．把01485-化为2(,02)k k z πααπ+∈≤<的形式是（ ）． A ．84π π-+ B ．7 84ππ-- C ．104π π-- D ．7104 ππ-+ 4．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是（ ）． A ．16π B ．32π C ．16 D ．32 二、填空题 1．若4π<α<6π，且与π34角的终边相同，则α=____________________． 2．3弧度的角的终边在第_____________象限，7弧度的角的终边在第_____________象限． 3．半径为a （a>0）的圆中，6 π弧度圆周角所对的弧长是_________________；长为2a 的弧 所对的圆周角为____________弧度． 4．若0 1的圆心角所对的弧长为1m ，则此圆的半径为______________． 三、解答题 1．在半径为 的圆中，扇形的周长等于半圆的长，那么扇形的圆心角是多少度？扇形的面积是多少？ 2．在直径为10cm的滑轮上有一条弦，其长为6cm，且p为弦的中点，滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5s后，p点转过的弧长是多少？ 1cm，它的周长为4cm，求扇形圆心角的弧度数及弦长AB．3．扇形AOB的面积为2 4．一扇形周长是32cm，扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 人大附中分校高一数学导学学案 题目 1.1.2 弧度制和弧度 制与角度制的换算 课型 新授课 教材 数学B 版必修4 §1.1.2 学 习 要 求 1．知识目标： ① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算 ② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深 2. 能力目标： ①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系. ②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. ③ 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力. 重 点 难 点 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 导 学 学 案 一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题： ① 角的弧度制是如何引入的？ ② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？ ④ 角度制与弧度制的区别与联系。 1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 2．平角、周角的弧度数：平角=π rad 、周角=2π rad 3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角α的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算： 1．∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ； ∴ 1?= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801ο οο =≈?? ? ??=πrad 2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α?=r l ，由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。 ②扇形面积公式 lR S 2 1 =，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 o R S l人教新课标A版 高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 同步测试A卷
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