第1章 单元检测(B 卷)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列命题：
①?x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立；
②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；
③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b
”的逆否命题； ④若命题p ：?x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：?x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧?q 是真命题．
其中真命题有________．(填序号)
2．下列命题中，假命题的个数为________．
①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b
； ②若正数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2
； ③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1和圆O 2相切．
3．下列命题中真命题的序号为________．
①?x ∈R,2x ＋1是整数；
②?x ∈R ，sin x >1；
③?x ∈Z ，x 2＝3；
④?x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.
4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件．
5．下列说法正确的是________(填序号)．
①若a ，b 都是实数，则“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件；
②若p ：x >5，q ：x ≥5，则p 是q 的充分而不必要条件；
③条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的必要而不充分条件；
④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分必要条件．
6．“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的____________条件．
7．命题p：若a≥b则c>d，命题q：若e≤f则a 8．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的序号是________． (1)(?p)∨q；(2)p∧q；(3)(?p)∧(?q)；(4)(?p)∨(?q)． 9．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，c a－ d b>0(a，b，c，d均为实数)，以其中两个不 等式作为条件，余下一个作为结论组成命题，可组成真命题的个数是________．10．已知条件p：x2－x≥6，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则x的取值集合为________________． 11．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是______________．12．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________．13．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 14．若|x－1| 15．(14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并判断它们的真假． (1)p：平行四边形对角线相等； q：平行四边形的对角线互相平分； (2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同； q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等． 16．(14分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 17.(14分)已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2＋ax ＋1>0对 x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围． 18．(16分)已知条件p：|2x－1|>a和条件q：1 x2－4x＋3 >0，请选取适当的正实数a的值，分别利用所给的条件作为A、B构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命 题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 19.(16分)已知p：a＝0，q：直线l1：x－2ay－1＝0与直线l2：2x－2ay－1＝0平行，求证：p是q的充要条件． 20．(16分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式 x ≤f (x )≤1＋x 22 对一切实数x 均成立？ 第1章 常用逻辑用语(B) 1．①②③ 2．1 解析 ①②均为真命题，③是假命题． 3．④ 4．充要 解析 对于“a >0且b >0”可以推出“a ＋b >0且ab >0”，反之也是成立的，故为充要条件． 5．①②④ 解析 ③中，a >a ?a >1，a >1是a >a 的充要条件． 6．必要不充分 解析 因为“sin x ＝sin y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，所以“x ≠y ”是“sin x ≠sin y ”的必要不充分条件． 7．充分 解析命题q的否命题为“若e>f，则a≥b”，且为真命题，而命题p：若a≥b则c>d，且为真命题，则有“若e>f，则c>d”，即“e>f”是“c>d”的充分条件，由等价命题关系可知“c≤d”是“e≤f”的充分条件． 8．(4) 解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而只有(綈p)∨(綈q)为真命题．9．3 解析共可组成3个命题，且都为真命题． 10．{－1,0,1,2} 解析由题意得p假q真，所以x2－x<6且x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，故x的取值集合为{－1,0,1,2}． 11．(－∞，0)∪[3，＋∞) 12．?x∈R，使得x2＋2x＋5≠0 解析已知命题是存在性命题，其否定是全称命题． 13．2 解析逆命题、否命题为真． 14．a≥b 解析由题意可知|x－1| 15．解(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分． p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分． 非p：平行四边形的对角线不相等． 由于p假q真，所以p或q为真，p且q为假，非p为真． (2)p∨q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等． p∧q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等． 非p：方程x2－16＝0的两根符号相同． 由于p真q真，所以p或q、p且q均为真，非p为假． 16．证明充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2 ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2) ＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2) ∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab －b 2＝????a －b 22＋34 b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1. 必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0， ∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2 ＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 综上可知，当ab ≠0时， a ＋ b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 17．解 ∵y ＝a x 在R 上单调递增， ∴p ：a >1； 又不等式ax 2－ax ＋1>0对?x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，即????? a >0，a 2－4a <0， ∴0 而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假． ①若p 真q 假，则a ≥4； ②若p 假q 真，则0 所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)． 18．解 已知条件p 即2x －1<－a 或2x －1>a ， ∴x <1－a 2或x >1＋a 2 ；已知条件q 即x 2－4x ＋3>0， ∴x <1或x >3.令a ＝5，则p 即x <－2或x >3，此时必有p ?q ，反之不然． 故可以选取一个实数a ＝5，令A 为p ，B 为q ，构造命题“若|2x －1|>5，则1x 2－4x ＋3>0”， 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题． 19．证明 (1)当a ＝0时，l 1：x ＝1，l 2：x ＝12 ， 所以l 1∥l 2，即由“a ＝0”能推出“l 1∥l 2”． (2)当l 1∥l 2时，若a ≠0， 则l 1∶y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a ， 所以12a ＝1a ，无解． 若a ＝0，则l 1：x ＝1，l 2：x ＝12 ， 显然l 1∥l 2，即由“l 1∥l 2”能推出“a ＝0”． 综上所述a ＝0?l 1∥l 2，所以p 是q 的充要条件． 20．解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立． ∵f (x )的图象过点(－1,0)， ∴a －b ＋c ＝0. 又x ≤f (x )≤1＋x 22 对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1， 故a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝12，c ＝12 －a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12 －a . 故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22 时，x ∈R 成立． 即????? ax 2－12x ＋12－a ≥0，(1－2a )x 2－x ＋2a ≥0，恒成立． ?????? Δ1≤0Δ2≤0a >01－2a >0???? 14－4a ????12－a ≤0，1－8a (1－2a )≤0，0 ∴a ＝14，c ＝14 ， 从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14 ， ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22 对于x ∈R 恒成立．
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