一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求：
（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）y=60-10
x
；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房
间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10
x
），利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得：
y =60﹣
10
x （2）p =（200+x ）（60﹣
10x ）=﹣
2
110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10
x ） =﹣2
110
x +42x +10800 =﹣
1
10
（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．
此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=-350
x 2
+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B 、C 的坐标代入2
y ax c =+，得 6,
0100.c a c =??=+?
解得3
,650
a c =-
=. ∴抛物线的表达式是2
3650
y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23
56 4.550
N y =-
?+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050
H y =-
?+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
3．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-22
4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：2
4y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，
所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2
12
y x bx c =
++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为
S 2．求：1
2
S S 的最大值；
②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是4
5
；②点D
的坐标是(2,3)- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-
12
x 2
+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，
求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=5
2
，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），
∵抛物线y=-
12
x 2
+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c ?-?-+????＝＝， ∴3b=-2c=2
?????， 抛物线解析式为：213
222
y x x =-
-+ ;
（2）①令0y =， ∴213
2022
x x -
-+= 解得：14x =- ,21x = ∴B （1，0）
过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，
∴DM ∥BN ∴DME BNE ??∽ ∴
12S DE DM S BE BN
== 设：213222D a a a ?
?--+ ??
?
，
∴122
M a a ??+ ??
?
，
∵()10
B ， ∴51,2N ?? ???
∴()22
121
214225552a a
S DM a S BN --=
==-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是4
5
;
②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2）， ∴55AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形， 取AB 的中点P ，
∴P（-3
2
，0），
∴PA=PC=PB=5
2
，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=4
3
，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，
∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=1
2
，
即RC：DR=1
2
，
令D（a，-1
2
a2-
3
2
a+2），
∴DR=-a，RC=-1
2a2-
3
2
a，
∴（-1
2a2-
3
2
a）：（-a）=1：2，
∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，
∴-1
2a2-
3
2
a+2=3,
∴点D的坐标是()2,3
-
【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．
5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)
A，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点
的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的
9
16
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362
--+． 【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：()2
14y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长
()()
2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；
（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ?==??=????9
4
PH HG ==，即可求解． 【详解】
（1）二次函数表达式为：()2
14y a x =-+，
将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-， 故函数表达式为：2
23y x x =-++…①；
（2）设点M 的坐标为(
)
2
,23x x x -++，则点(
)
2
2,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，
矩形MNHG 的周长()()
2
2
22222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，
∵20-<，故当22b
x a
=-
=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；
（3）PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的916
， 则99272316168
PNC S MN GM ?=
??=??=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，
将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，
OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=?=∠，32CD =
设点()
2
,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，
2711
sin4532822
PNC S PK CD PH ?=
=??=???? 解得：9
4
PH HG =
=， 则2
92334
PH x x x =-+++-=， 解得：32
x =， 故点315,24P ??
??
?， 直线n 的表达式为：93
344
y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322
x ±=
， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362+--??、332362--+??
； 故点P 坐标为：315,24?? ???或332362+--??或332362--+??
． 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；
（3）M1113
+
0）、N1131）；M2
113
+
，0）、N2（1，﹣1）；M3
（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设B D′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A 、C 坐标代入y=ax 2
﹣2ax+c ，得：20
3a a c c ++=??=?
，
解得：1
3a c =-??=?
，
∴抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， 所以点G 的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ，即y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ， 过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，
∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=3B
′D=3m ，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：
2
40
43m k k m
?-+-=??
-=??， 解得：1104m k =??=?（舍），2231
m k ?=??=??，
∴k=1；
（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，
如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，
则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ，
∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ， ∴∠MOQ=∠HQN ， ∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=
113
2
±（负值舍去）， 当x=
113+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=131-，点M （113
+，0）， ∴点N 坐标为（1132++131
2
-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（
1132+﹣1312
-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，
同理可得△OQM ≌△PNH ，
∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1， 解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，
∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113
+0）、N 2（1，﹣1）；M 3
（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
7．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A 点的直线y=﹣
1
2
x ﹣1交于点C ．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=211
184
x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1
2
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
0421
01641a b a b --??
+-?
＝＝ 解得18
14a b ?
???
?-??
＝＝ ∴抛物线解析式为：y=
18x 2?1
4
x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1
41228
b
a -
=-?
＝1 （2）存在
使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小
∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-1 2
∴y=-1 2 x
则P点坐标为（1，-1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a?1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a?1）
把M代入y=1
8
x2?
1
4
x?1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N （2，-1）
∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
8．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】①2
65y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点
N 的横坐标为：4或5412+或541
2
． 【解析】 【分析】
①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线
上，所以2
50
505a b an bn n +-=??+-=??=-?
，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：
265y x x =-+-；
②先求出点P 到BC 的高h 为2
sin 45)BP t ?=
-，于是21122(4)2(2)222222
PBE S BE h t t t ?=
?=?-?=-+2t =时，△PBE 的面积最
大，最大值为
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC
的距离d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、
(,5)P m m -，易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，
Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()
2
5654m m m ---+-=
解得152
m =
，252m =（舍
去），Ⅲ．4NH HP -=，(
)
2
65[(5)]4m m m --+----=
，解得152
m =（舍
去），2m = 【详解】
解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，
∴2
50505a b an bn n +-=??+-=??=-?
， ∴1a =-，6b =，
∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，
4PB t =-，2BE t =，
由①知，45OBC ?∠=， ∴点P 到BC 的高h
为sin 45)BP t ?=-，
∴211(4)2(2)2222
PBE S BE h t t t ?=
?=?-?=-+ 当2t =时，△PBE
的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC
的距离d =
过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=，
∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；
Ⅱ．4NH HP +=， ∴(
)
2
5654m m m ---+-=
解得1m =
，2m =
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
5m >，
∴m =
， Ⅲ．4NH HP -=，
∴()
2
65[(5)]4m m m --+----=，
解得1m =
，2m =
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
0m <，
∴m =
， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或
． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C （0，﹣
4
3），OA=1，OB=4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD=
34
． （1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动时间为t 秒．
①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求
出t 的值；若不存在，请说明理由．
②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=21433x x +-；（2）①存在t=10047或t=3534
，使得△ADC 与△PQA 相似；②当t=13
9
时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. 【解析】
分析：（1）应用待定系数法求解析式
（2）①分别用t 表示△ADC 、△PQA 各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t 值； ②分别用t 表示△APQ 与△CAQ 的面积之和，讨论最大值． 详解：（1）∵OA=1，OB=4， ∴A （1，0），B （﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x ﹣1）， ∵点C （0，﹣4
3
）在抛物线上， ∴﹣
4
=4(1)3a ??-， 解得a=
13
. ∴抛物线的解析式为y=2114(4)(1)3
33
x x x x +-=+-. （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似．
理由：①在Rt △AOC 中，OA=1，OC=43
， 则tan ∠ACO=3
4
OA OC =， ∵tan ∠OAD=
34
， ∴∠OAD=∠ACO ， ∵直线l 的解析式为y=
3
(1)4
x -，
∴D（0，﹣3
4
），
∵点C（0，﹣4
3
），
∴CD=
437 3412 -=，
由AC2=OC2+OA2，得AC=5
3
，
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，
只需AP CD
AQ AC
=或
AP AC
AQ CD
=，
则有
7
5212
5
3
t
t
-
=或
5
523
7
12
t
t
-
=，
解得t1=100
47
，t2=
35
34
，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=100
47或t=
35
34
，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，
在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=3
52)
5
t
-
（，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=5
4
，
在△ADC中，由S△ADC=11
··
22
AD CN CD OA
=，
∴CN=
71
·7
125154CD OA AD ?==， ∴S △AQP +S △AQC =21137313169
()[(52)]()2251559135
AQ PF CN t t t +=--+=--+ ，
∴当t=13
9
时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大.
点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．
10．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（
）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：
与
y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC ．
（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A （－1，0），；（2）；（3）P 的坐标为（1，）
或（1，－4）． 【解析】 试题分析：（1）在
中，令y=0，得到
，，得到A （－1，
0），B （3，0），由直线l 经过点A ，得到
，故
，令
，即
，由于CD ＝4AC ，故点D 的横坐标
为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝
，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以
，解得；
（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令
，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为
4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；