第一章测量误差及数据处理 物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。 第一节测量与误差 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。 国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。 根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，
测量学 第六章测量误差的基本知识 第一节测量误差概述 一、测量误差分类 测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。 二、观测误差产生的原因主要有以下三个方面: 1．观测者 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。 2．测量仪器 每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 3．外界条件 观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。 上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和偶然误差两种。 三、系统误差 在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有： 1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。
数值计算方法 实 验 报 告 实验序号：实验一 实验名称：数值计算中误差的传播规律 实验人： 专业年级： 教学班： 学号： 实验时间：
实验一 数值计算中误差的传播规律 一、实验目的 １．观察并初步分析数值计算中误差的传播； ２．观察有效数字与误差传播的关系． 二、实验内容 1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式； 2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ； 3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值 （1）60)1(-=x y ， （2）61) 1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=， （4）3 3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=． 三、实验步骤 本次实验包含三个相对独立的内容． 1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用； 在matlab 中采用help 语句得到：
1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。 例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11); a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。 2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差； 用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00 用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00 x22=x2,x11=1/x22
工 程 测 量 理论教案 授课教师：谢艳 使用班级：13-1、13-2、 13-3、13-4、13-5
教师授课教案 课程名称：公路工程测量2013年至2014年第二学期第次课 班级：13-1、13-2、13-3、13-4、13-5 编制日期：20 14 年月日 教学单元（章节） 第六章测量误差的基本知识 目的要求 1、了解测量误差的概念。 2、掌握测量误差产生的原因 3、了解测量误差的分类及其相应的处理方式。 4、掌握评定观测精度的标准及其相应的计算方式。 知识要点 1、测量误差概念 2、测量误差产生的原因 3、测量误差的分类 4、评定观测精度的标准 技能要点 分析问题能力 教学步骤 介绍测量误差的概念，了解测量误差的产生的原因、测量误差的分类。介绍评定观测精度的标准。练习中误差、容许误差、相对误差的计算方法。 教具及教学手段 多媒体课件教学。 作业布置情况 3题 教学反思 授课教师：谢艳授课日期：2014年月日
教学内容 第六章测量误差的基本知识 一、情境导入 用PPT播放工程实例图片及其测量误差产生的原因，让学生对测量误差有一个微观上的了解。 讲解测量误差的来源：每一个物理量都是客观存在，在一定的条件下具有不以人的意志为转移的客观大小，人们将它称为该物理量的真值。进行测量是想要获得待测量的真值。然而测量要依据一定的理论或方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由具体的人进行。由于实验理论上存在着近似性，方法上难以很完善，实验仪器灵敏度和分辨能力有局限性，周围环境不稳定等因素的影响，待测量的真值是不可能测得的，测量结果和被测量真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就叫做测量值的误差 二、新课教学 第一节概述 1、测量误差概念:真值与观测值之差 测量误差（△）=真值-观测值 如：测量工作中的大量实践表明，当对某一客官存在的量进行多次贯彻时，不论测量仪器多么的精密，贯彻进行的多么的细致，所得到的各观测值质检总是存在差异。同一量各观测值质检，以及观测值与其真实值（简称为真值）质检的差异，称为建筑测量误差。 2、误差产生的原因： 仪器设备、观测者、外界环境 测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。 具体来说，测量误差主要来自以下四个方面： (1) 外界条件主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。 (2) 仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。 (3) 方法理论公式的近似限制或测量方法的不完善。 (4) 观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。 3、测量误差分类 系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。 系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005 m，则每量尺，就带有+0.005 m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。 再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为l*i″/ρ″（ρ″=206265″，是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水准尺之间的距离l成正比，所以这种误差按某种规律变化。 系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响。
试题 7.1.1名词解释题 (2)图根点 (3)图根控制测量 (4)大地点 (5)导线 (6)导线测量 (7)坐标增量闭合差 (8)三角高程测量 (9)高程闭合差 (10)两差改正 图根点：直接为测绘地形图而布设的控制点，作为测图的根据点。 图根控制测量：为测绘地形图而布设控制点进行的控制测量，一般有图根三角测量及图根导线测量两种。 大地点：国家基本控制网的各类控制点，包括三角点、导线点、水准点及GPS点。 导线：将测区内相邻控制点连成直线而构成的折线。 导线测量：在测区布设控制点成闭合多边形或折线形，测量导线边长及导线边所夹的水平角。 坐标增量闭合差：闭合导线所有坐标增量总和，理论上应为零，如不为零，其值即为坐标增量闭合差。 附合导线坐标增量闭合差是指坐标增量总和与已知两高级点之间坐标差的较差。 三角高程测量：在测站上通过观测目标的竖角，丈量仪器高及目标高，已知测站与目标间 水平距，按三角学的原理，便可求得测站与目标的高差。 高程闭合差：测量得高差总和不等于理论值或不等于所附合的两已知点的高程之差。 7.1.2填空题 (1)控制测量主要包括_平面_控制测量和_高程__控制测量；前者主要的方法有_三角测量__、_三边测量 __、_边角测量__、_导线测量__等，后者主要方法有__水准测量_和_三角高程测量__。 (3)直接为测图服务而建立的控制测量称_图根_控制测量，它的精度比较低，边长短，一般可采用_小三 角测量_、__测角交会_、__侧边交会__、导线测量_等方法进行。 (8)小地区平面控制网应视测区面积大小分级，建立测区的__首级控制__和___图根控制___。 (9)小地区控制网的控制点密度通常取决于_测图比例尺_和 __地物地貌的复杂程度_。 (10)导线按形状可分为：①_闭合导线_；②__附和导线__；③___支导线___。 (11)闭合导线角度闭合差的分配原则是_平均分配角度闭合差，而符号相反。如果不能平均分配，则可 以对短边夹角和长、短边夹角给以较大的改正数。__。 (12)经纬仪视距导线坐标增量闭合差产生的主要原因是由于测量__角度__和_边长__存在误差，其中_ 测边_误差大于 _测角_误差。 (13)导线测量的分类，按测边的方法不同，可分为(a)__经纬仪导线测量___； (b)__视距导线测量__；(c)__视差导线测量____； (d)__电磁波测距导线测量____。 (14)导线测量的外业工作主要项目有：(a)__踏查选点__；(b)___测量导线右角___；(c)__测量导线边 长___；(d)____测量起始边方位角__。 (15)导线测量内业计算主要包括两大方面：(a)__导线点的坐标__；(b)___导线点的高程__。前者主要 内容是①__角度闭合差的计算与调整__；②__方位角的推算___；③_计算各边的坐标增量___；④_ 坐标增量闭合差的计算与调整__；⑤__推算各导线边坐标___。 (16)坐标正算问题是已知_两点的边长和方位角_，计算_纵坐标增量、横坐标增量___； 坐标反算问题是已知_两点的纵坐标增量、横坐标增量_，计算__两边的边长和方位角_。 (17)国家高程控制测量采用水准测量的方法，从高级到低级逐级控制，共分_四_等级。__四__等水准测 量是直接为地形测图和工程建设服务。测区较小，图根控制点的高程可采用_五等水准测量_和_三角 高程测量_方法测定。 (19)三角高程测量是根据__三角__学的原理，两点间水平距离是用_三角测量_方法测量求得的。三角高 程测量在测站应观测_竖直角_，应量__仪器高__和__目标的觇标高____。 (20)建立小地区高程控制网的方法主要有__三、四等水准测量__和___三角高程测量___。 7.1.3是非判断题 (3)独立的闭合导线测量，平差计算求得的坐标增量闭合差ｆ，其大小与导线起始边方位角测量误差、 导线边长测量误差和测角误差均有关。 (× ) (4)三种导线测量的形式，即闭合导线、附合导线与支导线，在相同观测条件下（即用同等精度的仪器 和相同的观测法）进行观测，采用闭合导线的形式，测量结果最为可靠。 ( ×) (5)所谓经纬仪导线，其特点是因为采用经纬仪进行观测。 ( × ) (6)对于附合导线要用经纬仪测量连接角，以便推算各边的方位角。对于独立的导线，为了推算各边的 方位角，用罗盘仪测量起始边的方位角也是可以的。 (√ ) 7.1.4单项选择题
第六章测量误差理论(theory of errors) 第六章测量误差理论(theory of errors) (1) §6－1 观测误差(observation error) (1) §6－2 衡量精度的标准 (3) 一、中误差 (3) 二、容许误差 (4) 三、相对误差 (4) §6－3 误差传播定律(law of propagation of errors) (5) 一、倍数函数 (5) 二、和差函数 (5) 三、线性函数 (6) 四、一般函数 (6) §6－4 算术平均值及其中误差 (7) §6－5 加权平均值及其中误差 (9) 思考与练习题 (10) §6－1 观测误差(observation error) 研究测量误差的来源、性质及其产生和传播的规律，解决测量工作中遇到的实际问题而 建立起来的概念和原理的体系，称为测量误差理论。 在实际的测量工作中发现：当对某个确定的量进行多次观测时，所得到的各个结果之间 往往存在着一些差异，例如重复观测两点的高差，或者是多次观测一个角或丈量若干次一段 距离，其结果都互有差异。另一种情况是，当对若干个量进行观测时，如果已经知道在这几 个量之间应该满足某一理论值，实际观测结果往往不等于其理论上的应有值。例如，一个平 面三角形的内角和等于180°，但三个实测内角的结果之和并不等于180°，而是有一差异。 这些差异称为不符值。这种差异是测量工作中经常而又普遍发生的现象，这是由于观测值中 包含有各种误差的缘故。 任何的测量都是利用特制的仪器、工具进行的，由于每一种仪器只具有一定限度的精密 度，因此测量结果的精确度受到了一定的限制。且各个仪器本身也有一定的误差，使测量结 果产生误差。测量是在一定的外界环境条件下进行的，客观环境包括温度、湿度、风力、大 气折光……等因素。客观环境的差异和变化也使测量的结果产生误差。测量是由观测者完成 的，人的感觉器官的鉴别能力有一定的限度，人们在仪器的安置、照准、读数……等等方面 都会产生误差。此外，观测者的工作态度、操作技能也会对测量结果的质量(精度)产生影响。 观测值中存在观测误差有下列三方面原因： 1、观测者由于观测者的感觉器官的鉴别能力的局限性，在仪器安置、照准、读数等
《误差理论与数据处理》 第一章 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。1-9、解： 由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得 对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g，h，T代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o
第一章实验数据处理的基本方法 我们每做一个物理实验，都是先对这个实验中的物理现象进行观察，然后通过相应的测量获得一些实验数据，最后经过对这些数据的处理得到最终的实验结果。除了通过正确的原理和方法进行实验外，用正确的方法对实验数据进行处理，是获得合理的实验结果的关键。本章主要介绍实验数据处理的基本方法。其内容由以下两部分组成： 第一部的主要内容是有效数字及其运算、实验误差的特点及克服方法、不确定度概念及其初步评定方法等。 第二部的主要内容是列表法、作图法、逐差法等常用的实验数据处理方法。 §1 有效数字及其运算 一、直接测量和间接测量 我们知道，量度物质的属性或描述物质的运动状态所用的各种量值叫做物理量，如长度、速度、热量、功、电流强度等。测量是用实验方法获得物理量量值（测量值）的过程。按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。 1.直接测量： 是指不需要对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算，直接从仪器或量具上得到被测量值的测量。例如：用直尺测量长度；以秒表计时间；用天平称质量；用电流表测电流等。这些用直接测量得到量值的物理量叫做直接测得量。 2.间接测量 是指从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。而用间接测量得到量值的物理量叫做间接测得量。例如：在伏安法测电阻的实验中，用电流表直接测量流过待测电阻的电流I，用电压表直接测量待测电阻两端的电压U，然后欧姆定律R=U/I计算电阻的阻值R的过程，就是间接测量。在这里，电流I和电压U是直接测得量，而电阻R是间接间接
测得量。 二、有效数字的定义 由于种种原因，用任何实验仪器直接测量的数值都不可避免地含有一定的误差，因此，测得的数据都只能是近似数。由这些近似数通过计算而得到的间接测量值也一定是近似数。显然，几个近似数的运算不可能使运算结果更加准确，而只会使其误差增大。因此近似数的表示和计算都必须遵循一些规则，以便确切地表示和记录运算结果的近似性。这些规则就是有效数字及其运算规则。 从仪器上读出的数字，通常都要尽可能估计到仪器最小刻度的下一位。以如图1-1所示的 图1-1 用米尺测量钢棒的长度为例，我们可以读出4.26cm，4.27cm或4.28cm，前二位“4.2”可以从米尺上直接读出来，是准确数字，而第三位数“6”，“7”或“8”是测量者估读出来的，估读的结果因人而异，因此这一位是有疑问的，叫做存疑数字（又叫做不可靠数字）。由于第三位已经存疑，因此已没有必要估计它以后的各位数了。 我们把仪器上直接读出的数字和最后一位估读的存疑数字，全部记录下来，叫做有效数字。也就是说，有效数字包括从仪器上直接读出的准确数字和最后一位存疑数字，即 有效数字=准确数字+存疑数字 而且也只有最后一位数字是存疑数字。测量结果用并且只用它的有效数字表示。 上面所说的钢棒长度的测量值4.26cm，4.27cm或4.28cm包含三位有效数字。也就是说，有效数字的位数等于准确数字的位数加上存疑数字的位数（存疑数字的位数只能为1）。在以下的表述中，存疑数字下面有下滑线。 例：2.365（四位）；0.21008（五位）；0.0024（二位）；0.260（三位）；0.01230（四位）。三、有效数字的特点
第一章绪论参考答案 一、判断题（正确的打√，错误的打×） 1.不经挑选，调整和修配就能相互替换，装配的零件，装配后能满足使用性能要求，就是 具有完全互换性的零件。（√） 2.互换性原则中适用于大批量生产。（╳） 3.为了实现互换性，零件的公差应规定得越小越好。（╳） 4.国家标准中，强制性标准是一定要执行的，而推荐性标准执行与否无所谓。 （╳） 5.企业标准比国家标准层次低，在标准要求上可稍低于国家标准。（╳） 6.厂外协作件要求不完全互换。（╳） 7.装配时需要调整的零、部件属于不完全互换。（√） 8.优先数系包含基本系列和补充系列，而派生系列一定是倍数系列。（╳） 9.产品的经济性是由生产成本唯一决定的。（╳） 10.保证互换的基本原则是经济地满足使用要求。（√） 11.直接测量必为绝对测量。( × ) （绝对、相对测量：是否与标准器具比较） 12.为减少测量误差，一般不采用间接测量。( √ ) 13.为提高测量的准确性，应尽量选用高等级量块作为基准进行测量。(×1-6等，0-k 级 ) 14.使用的量块数越多，组合出的尺寸越准确。(× ) 15.0~25mm千分尺的示值范围和测量范围是一样的。( √ ) 16.用多次测量的算术平均值表示测量结果，可以减少示值误差数值。( × ) 17.某仪器单项测量的标准偏差为σ=0.006mm，若以9次重复测量的平均值作为测量结果， 其测量误差不应超过0.002mm。( ××误差＝X－X0 0.006mm )。 18.测量过程中产生随机误差的原因可以一一找出，而系统误差是测量过程中所不能避免 的。( × ) 19.选择较大的测量力，有利于提高测量的精确度和灵敏度。( × ) 20.对一被测值进行大量重复测量时其产生的随机误差完全服从正态分布规律。 ( √ ) 二、选择题（将下面题目中所有正确的论述选择出来） 1、下列论述正确的有____ABD_______ Ａ、测量误差δ往往未知，残余误差γ可知。 Ｂ、常用残余误差分析法发现变值系统误差。 Ｃ、残余误差的代数和应趋于零。 Ｄ、当|γ|>3σ时，该项误差即为粗大误差。 Ｅ、随机误差影响测量正确度，系统误差影响测量精密度。准确度（精确度） （E应该是随机误差影响测量精密度，系统误差影响测量正确度。） 2、从高测量精度的目的出发，应选用的测量方法有__ADE_______ Ａ、直接测量 Ｂ、间接测量 Ｃ、绝对测量 Ｄ、相对测量 Ｅ、非接触测量。 3、下列论述中正确的有__BCD_______ A、指示表的度盘与指针转轴间不同轴所产生的误差属于随机误差。 B、测量力大小不一致引起的误差，属随机误差。 C、测量被测工件的长度时，环境温度按一定规律变化而产生的测量误差属于系统误差。
第七章控制测量 试题 7.1.1名词解释题 (2)图根点 (3)图根控制测量 (4)大地点 (5)导线 (6)导线测量 (7)坐标增量闭合差 (8)三角高程测量 (9)高程闭合差 (10)两差改正 图根点：直接为测绘地形图而布设的控制点，作为测图的根据点。 图根控制测量：为测绘地形图而布设控制点进行的控制测量，一般有图根三角测量及图根导线测量两种。 大地点：国家基本控制网的各类控制点，包括三角点、导线点、水准点及GPS点。 导线：将测区内相邻控制点连成直线而构成的折线。 导线测量：在测区布设控制点成闭合多边形或折线形，测量导线边长及导线边所夹的水平角。 坐标增量闭合差：闭合导线所有坐标增量总和，理论上应为零，如不为零，其值即为坐标增量闭合差。 附合导线坐标增量闭合差是指坐标增量总和与已知两高级点之间坐标差的较差。 三角高程测量：在测站上通过观测目标的竖角，丈量仪器高及目标高，已知测站与目标间水平距，按三角学的原理，便可求得测站与目标的高差。 高程闭合差：测量得高差总和不等于理论值或不等于所附合的两已知点的高程之差。 7.1.2填空题 (1)控制测量主要包括_平面_控制测量和_高程__控制测量；前者主要的方法有_三角测量__、_三边测量 __、_边角测量__、_导线测量__等，后者主要方法有__水准测量_和_三角高程测量__。 (3)直接为测图服务而建立的控制测量称_图根_控制测量，它的精度比较低，边长短，一般可采用_小三 角测量_、__测角交会_、__侧边交会__、导线测量_等方法进行。 (8)小地区平面控制网应视测区面积大小分级，建立测区的__首级控制__和___图根控制___。 (9)小地区控制网的控制点密度通常取决于_测图比例尺_和 __地物地貌的复杂程度_。 (10)导线按形状可分为：①_闭合导线_；②__附和导线__；③___支导线___。 (11)闭合导线角度闭合差的分配原则是_平均分配角度闭合差，而符号相反。如果不能平均分配，则可 以对短边夹角和长、短边夹角给以较大的改正数。__。 (12)经纬仪视距导线坐标增量闭合差产生的主要原因是由于测量__角度__和_边长__存在误差，其中_ 测边_误差大于 _测角_误差。 (13)导线测量的分类，按测边的方法不同，可分为(a)__经纬仪导线测量___； (b)__视距导线测量__；(c)__视差导线测量____； (d)__电磁波测距导线测量____。 (14)导线测量的外业工作主要项目有：(a)__踏查选点__；(b)___测量导线右角___；(c)__测量导线边 长___；(d)____测量起始边方位角__。
第三节误差传播定律 §5-3 误差传播定律 在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。 误差传播定律： 说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。 间接观测量: 在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的, 则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。 例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。 间接观测量的误差： 由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。 一、误差传播定律? 设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即 式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
式中为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。 求任意函数中误差的方法和步骤如下： 列出独立观测量的函数式： 求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得 求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式： 表5-2 常用函数的中误差公式 二、应用举例 【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。 解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例
尺分母。 两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。 【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。 解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得 两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。 【例 5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差 mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD 解: 1）首先列出函数式 2）水平距离 这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分， 3）先求出各偏导值如下
第五章误差传播定律
第五章误差传播定律 5.1误差的来源和分类（板书） 经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。 一、定义： 观测值与真值之间的差值，记为： = ? Li X i- x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。i?为观测误差，即真误差。 二、误差的来源 1、测量仪器 一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水
准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。 2、观测者 是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。 3、外界条件 测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。 上述三项合称为观测条件 a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同 b.不等精度观测 测量误差的分类 根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。 图4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。 15
16 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m = m = m = m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。 （3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。 （4）已知D=( ) h S -，s m =±5mm ，h m =±5mm ，求D m 。 （5）如图4-2，已知x a m =±40 mm ，y a m =±30 mm ； S=30.00m ，β=30? 15'10"，s m =±5.0mm ，βm =±6"。求P 点坐标的中误差x p m 、y p m 、M （M=m m + ）。
第六章测量误差的基本知识 第一节测量误差概述 一、测量误差分类 测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。 例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所 测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观 测误差。研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其 误差影响，是测量工作者的一项主要任务。 二、观测误差产生的原因主要有以下三个方面 1．观测者 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照 准、读数等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状 态都对测量成果的质量有直接影响。 2．测量仪器 每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受 到一定的限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存 在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 3．外界条件 观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对 观测结果产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。 上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面 因素综合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着 密切的联系。 43
观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和 偶然误差两种。 三、系统误差 在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出 系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。例如， 用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一 尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着 尺段的倍数呈累积性。系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累 积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。 3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平 角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。 四、偶然误差 在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现 出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从 大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差 或随机误差。例如用经纬仪测角时，测角误差实际上是许多微小误差 项的总和，而每项微小误差随着偶然因素影响不断变化，因而测角误 差也表现出偶然性。对同一角度的若干次观测，其值不尽相同，观测 结果中不可避免地存在着偶然误差的影响。 除上述两类误差之外，还可能发生错误，也称粗差，如读错、记 错等。这主要是由于粗心大意而引起。一般粗差值大大超过系统误差 或偶然误差。粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性， 甚至造成返工。因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。 五、偶然误差特性 偶然误差是由多种因素综合影响产生的，观测结果中不可避免地 存在偶然误差，因而偶然误差是误差理论主要研究的对象。由上节知， 43 就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，
误差传播定律 设有形如12(,,,,,)i n Z f x x x x = 的函数，其中12,,,n x x x 为可以直接观测的未知量，Z 为不便于直接观测的未知量。 设(12)i x i n =、、、 的独立观测值为i l ，其相应的真误差为i x ? 。由于 i x ?的存在，使得函数12(,, ,, ,)i n Z f x x x x =也产生相应的真误差Z ? 。 将12(,,,,,)i n Z f x x x x =取全微分，得到： 1212 i n i n f f f f dZ dx dx dx dx x x x x ????= +++++???? (1.1) 因为误差i x ? 以及Z ? 都很小，所以在上式中，可以近似用i x ? 以及 Z ?代替来i dx 以及dZ ，于是有： 1212 i n i n f f f f Z x x x x x x x x ?????= ?+?++?++????? (1.2) 上式中i f x ?? 为函数f 对各个自变量的偏导数(12)i n =、、、。 将i i x l = 带入各偏导数中，即为确定的常数，设( )i i x l i i f f x =?=? ，则 1212 i n i n f f f f Z x x x x x x x x ?????= ?+?++?++ ????? (1.3)可以写成： 1122i i n n Z f x f x f x f x ?=?+?++?+ +? (1.4) 为了求得函数与观测值之间的中误差的关系式，设对各i x 进行了k 次观测，则可以写出k 个类似于(1.5)的关系式：
第六章误差理论的基本知识 一、填空题 1、观测条件与精度的关系是 B 。 A.观测条件好，观测误差小，观测精度小。反之观测条件差，观测误差大，观测精度大 B.观测条件好，观测误差小，观测精度高。反之观测条件差，观测误差大，观测精度低 C.观测条件差，观测误差大，观测精度差。反之观测条件好，观测误差小，观测精度小 2、防止系统误差影响应该 C 。 A.严格检验仪器工具；对观测值进行改正；观测中削弱或抵偿系统误差影响 B.选用合格仪器工具；检验得到系统误差大小和函数关系；应用可行的预防措施等 C.严格检验并选用合格仪器工具；对观测值进行改正；以正确观测方法削弱系统误差影 响 3、系统误差具有的特点为（C ）。 A．偶然性B．统计性C．累积性D．抵偿性 4、水平角测量时视准轴不垂直于水平轴引起的误差属于（B ）。 A．中误差B．系统误差C．偶然误差D．相对误差 5、下列误差中（A）为偶然误差 Ａ.照准误差和估读误差 Ｂ.横轴误差和指标差 Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差 6、经纬仪对中误差属（A） Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差 7、尺长误差和温度误差属（B） Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差 8、测量的算术平均值是 B 。 A. n次测量结果之和的平均值 B. n次等精度测量结果之和的平均值 C.是观测量的真值 9、算术平均值中误差按 C 计算得到。 A. 白塞尔公式 B. 真误差△。 C. 观测值中误差除以测量次数n的开方根 10、角度测量读数时的估读误差属于（ C ）。 A．中误差B．系统误差C．偶然误差D．相对误差 11、边长测量往返测差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ D ）。 A．系统误差B．平均中误差C．偶然误差D．相对误差
误差传播定律计算及注意事项 在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。误差传播定律： 说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。 间接观测量: 在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的, 则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。 例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。 间接观测量的误差： 由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。 一、误差传播定律? 设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即 式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
式中为函数Z分别对各变量xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。求任意函数中误差的方法和步骤如下： 列出独立观测量的函数式： 求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得 求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式： 表5-2 常用函数的中误差公式 二、应用举例 【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD 。 解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。 两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。