第2章逻辑代数基础
2.1 概述
1、逻辑代数亦称布尔代数，是研究数字逻辑电路的基本工具。
2、事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为0 和1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。
3、逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。
4、逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。但不同的是，逻辑代数是描述客观事物间的逻辑关系，逻辑函数表示式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0 和1。这两个值不具有数量大小的意义，仅表示事物的两种相反状态。
2.2 逻辑函数及其表示法
2.2.1基本逻辑函数及运算
·基本的逻辑关系：与、或、非三种逻辑。
·数字系统中所有的逻辑关系均可以用基本的三种来实现（如同十进制数总可以用10个数字和小数点表示出来一样。
·每一种基本逻辑关系对应一种逻辑运算。
1、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Ｙ＝ABC…
开关A，B串联控制灯泡Y
两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：
Y=AB
定义：这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。
实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定
事件（Y ）发生的各种条件（A ，B ，C ，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y ）就发生。表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…同理分析课本图2.2.3，有
实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：3、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y ）发生的条件（A ）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：亦可同样道理分析课本电路图2.2.5
，有
逻辑符号：
2.2.2 几种导出的逻辑运算（即复合逻辑运算）
1、与非、或非、与或非运算
Y A
B
Y
A
B
与非：先与后非，逻辑表达式为：
或非：先或后非，逻辑表达式为：
与或非：先与再或后非，逻辑表达式为：
2、异或运算和同或运算
·都是二变量逻辑运算
·异或逻辑关系为：输入逻辑变量A、B不同时，输出Y为1，否则为0 。逻辑表达式为
·同或逻辑关系为：输入逻辑变量A、B相同时，输出Y为1，否则为0 。逻辑表达式为
比较异或运算和同或运算真值表可知，异或函数与同或函数在逻辑上是互为反函数。
2.2.3逻辑函数及其表示法
1、逻辑函数的建立
（1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A 、B 、C 、D 等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y 称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。逻辑表达式描述了逻辑变量与逻辑函数间的逻辑关系，是实际逻辑问题的抽象表达。
（2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A 、B 、C 、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y 就有唯一确定的值，则称Y 是A 、B 、C 、…的逻辑函数。记为
2、逻辑函数的表示方法
（1）真值表
真值表是由逻辑函数输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。其特点是：直观地反映了变量取值组合和函数值的关系，便于把一个实际问题抽象为一个数学问题。
（2）逻辑函数式
·由逻辑变量和与、或、非、异或及同或等几种运算符号连接起来所构成的式子。
·由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或逻辑式。写标准与-或式的方法是：
①把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A 、B 、C 三个变量的取值为110时，则代换后得到的变量与组合为C AB 。
②把逻辑函数Y 的值为1所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。
（3）逻辑图
·将逻辑表达式中的逻辑运算关系，用对应的逻辑符号表示出来，就构成函数的逻辑图。
·只要把逻辑函数式中各逻辑运算用相应门电路和逻辑符号代替，就可画出和逻辑函数相对应的逻辑图。
（4）卡诺图。
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1逻辑代数的基本公式
1、逻辑常量运算公式
·与运算：111 001 010 000=?=?=?=?
·或运算：111 101
110 000=+=+=+=+ ·非运算：10 01==
2、逻辑变量、常量运算公式
·0-1律：???=?=+A A A A 10 ???=?=+0
011A A ·互补律： 0 1=?=+A A A A
·等幂律：A A A A A A =?=+ ·双重否定律：A A =
2.3.2 逻辑代数的基本定律
1、与普通代数相似的定律
·交换律：???+=+?=?A
B B A A B B A
·结合律：?
??++=++??=??)()()()(C B A C B A C B A C B A ·分配律：???+?+=?+?+?=+?)
()()(C A B A C B A C A B A C B A
A·B=B·A ： 2、吸收律
·还原律：???=+?+=?+?A
B A B A A B A B A )()(
·吸收率：?????+=?+?=+????=+?=?+B
A B A B A B A A A B A A A B A A )( )( ·冗余律：C A AB BC C A AB +=++
3、摩根定律
反演律（摩根定律）：??????=++=?B
A B A B A B A . 2.3.3 逻辑代数的三个重要规则 1、代入规则：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置（包括等式两边）都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。例2、反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y 的反函数Y （或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如： E D C B A Y += ))((E D C B A Y +++=
E D C B A Y ++++= E D C B A Y ????=
3、对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y ＇，Y ＇称为函Y 的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
E D C B A Y ++++= E D C B A Y ????='
2.4 逻辑函数的公式化简法
2.4.1化简的意义与标准
1、化简逻辑函数的意义
逻辑函数化简的意义：在逻辑设计中，逻辑函数最终都要用逻辑电路来实现。若逻辑表达式越简单，则实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。2、逻辑函数式的基本形式和变换 对于同一个逻辑函数，其逻辑表达式不是唯一的。常见的逻辑形式有5种：与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式。如：
（1）与或表达式：AC B A Y +=
（2）或与表达式：Y ))((C A B A ++=
（3）与非-与非表达式：Y AC B A ?=
（4）或非-或非表达式：Y C A B A +++=
（5）与或非表达式：Y C A B A +=
3、逻辑函数的最简形式
·最简与-或表达式
（1）逻辑函数式中的乘积项（与项）的个数最少；
（2）每个乘积项中的变量数也最少的与或表达式。
2.4.2逻辑函数的代数化简法
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。
1、并项法利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。
2、吸收法
（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的变量。
３、配项法
（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。 （２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
４、消去法
2.4.3代数化简法举例
2.5 逻辑函数的卡诺图化简法
2.5.1最小项与卡诺图
1、最小项的定义和性质
（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。 3个变量A 、B 、C 可组成8个最小项：
ABC C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、、（2）最小项的表示方法：通常用符
号m i 来表示最小项。下标i 的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i 。
3个变量A 、B 、C 的8个最小项可以分别表示为：
（3）最小项的性质：
3变量全部最小项的真值表
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。 ②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。
③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。
④全部最小项的和必为1。2、表示最小项的卡诺图
逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
（1）、相邻最小项
定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
（2）最小项的卡诺图表示
卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻
·三变量卡诺图
每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
2变量卡诺图
3变量卡诺图
·四变量卡诺图
4变量卡诺图
·每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻
·最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的
·最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的
·对角的两个最小项也是相邻的
2.5.2 用卡诺图表示逻辑函数
1、逻辑函数的标准与-或式（最小项表达式）
任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项
将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
2、用卡诺图表示逻辑函数
（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
2.5.3 用卡诺图化简逻辑函数1、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
2、化简逻辑函数式的步骤和规则
（1）画出逻辑函数的卡诺图
（2）合并卡诺图中的相邻最小项
·只有相邻的1方格才能合并，而且每个包围圈只能包含2 n个1方格（n =0，1，2…）。
·在新画的包围圈中必须有未被圈过的1方格，否则该包围圈的多余的。
·包围圈的个数尽量少，这样逻辑函数的与项就少。
·画包围圈时应遵从由少到多的顺序圈。
·包围圈尽量大，这样消去的变量就多，与门输入端的数目就少。
（3）将合并化简后的各与项进行逻辑加，便为所求的逻辑函数最简与-或式。
3、化简举例
课本例题：[例2.5.5]、[例2.5.6]、[例2.5.7]
2.5.4具有无关项的逻辑函数的化简
1、逻辑函数中的无关项
逻辑函数中的无关项也叫做约束项、随意项。
定义：逻辑函数中的无关项是指那些与所讨论的逻辑问题没有关系的变量取值组合所对应的最小项。分两种：
·一种是某些变量取值组合不允许出现。如8421BCD编码中，1010～1111这六种代码是不允许出现的。
·另一种是某些变量取值组合在客观上不会出现。如在连动互锁开关系统中，几个开关的状态是互相排斥的。
约束项和随意项都是一种不会在逻辑函数中出现的最小项，所以对应于这些最小项的变量取值组合，函数值视为1或0都可以（因为实际上不存在这些变量取值），这样的最小项统称为无关项。
2、利用无关项化简逻辑函数
在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。如：
本章小结
1、逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算。
逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据。
2、逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用随意项可以得到十分简单的结果。