12、反比例函数
要点一：反比例函数的图象与性质 一、选择题
1、（2010·东阳中考）1.某反比例函数的图象经过点(－2,3)，则此函数图象也经过点（ ）
A ．(2,－3)
B ．(－3,－3)
C ．（2，3）
D ．（－4，6）
【解析】选A 。某反比例函数的图象经过点(－2,3)，可设y=x
k
,将(－2,3)代入可得，k=－6,在四个选项中乘积为－6的，A 符合。
2、（2010·兰州中考）已知点),1(1y -，),2(2y ，),3(3y 在反比例函数x
k y 1
2--=的图像上.
下列结论中正确的是（ ）
A ．321y y y >>
B ．231y y y >>
C ．213y y y >>
D ． 132y y y >>
【解析】选B.根据题意可知，反比例函数21
k y x
--=的图像在第二、四象限，其大
致图像如图所示，在图像上标出点),1(1y -，),2(2y ，),3(3y ，显然有231y y y >>.
3、 (2009·南宁中考)在反比例函数1k
y x
-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．2
答案：D
y
4、 (2009·河北中考)反比例函数1
y x
=（x ＞0）的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值（ ）
A ．增大
B ．减小
C ．不变
D ．先减小后增大
答案：B
5、(2009·梧州中考)已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x
k
y =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有（ ） A ．210y y << B ．120y y << C ．021< 答案：A 6、(2009·大连中考)下列四个点中，有三个点在同一反比例函数x k y =的图象上，则不在这个函数图象上的点是 ( ) A ．(5，1) B ．(－1，5) C ．(35，3) D ．(－3，3 5-) 答案：B. 7、(2009·宁波中考)反比例函数k y x = 在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】选C.k=xy 等于双曲线上一点分别到x 轴、y 轴所作的垂线与两坐标轴形成的矩形的面积，然后将此面积与图中1×2，2×2的矩形面积作比较得结论. 8、(2009·河池中考)如图，A 、B 是函数2y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴， AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 答案：B. 二、填空题 9、 (2009·益阳中考)如图，反比例函数k y x = )0( 答案：)1,2(-， 10、（2010·衢州中考）若点（4，m ）在反比例函数8 y x = (x ≠0)的图象上，则m 的值是 ． 【解析】将（4，m ）代入8y x =得，8 2.4 m == 答案：2 11、（2010·衡阳中考）如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 【解析】由点D 、C 都在双曲线)0k (x k y ＞=得OCA ODE S S ??=,由题意易得ΔODE ∽ΔOBA,所以 ,413=+=+=???????ODE ODE OAC OBC ODE OBA ODE S S S S S S S 解得1=?ODE S ，而,12 1 ==?xy S ODE 所以.2==xy k 【答案】2 12、（2009·钦州中考）如图是反比例函数y ＝k x 在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC 的面积为2，则k ＝_______． 答案：－2 13、（2007·兰州中考）老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内， y 随x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式________________． 答案：1y x =（注：k y x =只要0k >即可）； 三、解答题 14、（2010·金华中考）（1）如图所示，若反比例函数解析式为y = 2x -，P 点坐标为（1， 0）， 图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN ，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ 1M 1N 1，并写出点M 1的坐标； （温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！）M 1的坐标是 （2） 请你通过改变P 点坐标，对直线M 1 M 的解析式y ﹦kx ＋b 进行探究可得 k ﹦ ，若点P 的坐标为（m ，0）时，则b ﹦ ； （3） 依据(2)的规律，如果点P 的坐标为（6，0），请你求出点M 1和点M 的坐标． 【解析】（1）如图；M 1 的坐标为（－1，2） y P Q M N O x 1 2 －－－ － － － 1 2 3 (第23题 （2）1-=k ，m b = （3）由（2）知，直线M 1 M 的解析式为6+-=x y 则M (x ，y )满足2)6(-=+-?x x 解得 1131+=x ，1132-=x ∴ 1131-=y ，1132+=y ∴M 1，M 的坐标分别为（113-，113+），（113+，113-）． 15、(2009·长沙中考)反比例函数21m y x -=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该 图象上的两点． （1）比较1b 与2b 的大小；（2）求m 的取值范围． 【解析】（1）由图知，y 随x 增大而减小．又12->-，12b b ∴<． （2）由210m ->，得1 2 m > ． 16、(2009·宁夏中考)已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数2 2(0)k y k x = ≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)， ． （1）求正比例函数、反比例函数的表达式； M 1 P Q M N O y 1 2 3 － －－ － － － 1 2 3 Q 1 N 1 x （2）求点B 的坐标． 【解析】（1）把点(21)A ，分别代入1y k x =与2k y x = 得11 2k =，22k =． ∴正比例函数、反比例函数的表达式为：12 2y x y x ==，． （2）由方程组1 2 2y x y x ? =?? ? ?=??得1121x y =-??=-?，2221x y =??=?． B ∴点坐标是(2,1)--． 要点二：反比例函数的应用 一、选择题 1、（2010·眉山中考）如图，已知双曲线(0)k y k x = <经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 【解析】选 B 过点D 作DE ⊥x 轴与点E ，则⊿ODE ∽⊿OAB ∴ 2 1 ===OA OD AB DE OB OE ∵点A 的坐标为（6-，4）∴AB=4,OB=6 ∴OE=3,DE=2 ∴D(﹣3,2) ∵双曲线(0)k y k x =<经过点D ∴3k 2-= ∴k=﹣6 ∴x y 6-= 设点C(x,y)∵点C 在双曲线x y 6 -=上，∴xy=－6 ∴S ⊿BOC =21|x| y=3∴△AOC 的面积为2 1 ×4×6－3＝9。 2、（2009·衡阳中考）一个直角三角形的两直角边长分别为y x ，，其面积为2，则y 与x 之 间的关系用图象表示大致为（ ） 答案：C. 3、（2009·荆州中考）若120a b -++=，点M （a ，b ）在反比例函数k y x =的图象上，则反比例函数的解析式为( ). A ．2y x = B ．1y x =- C ．1y x = D ．2y x =- 答案：D. 4．（2009·恩施中考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与 x 的函数图象是（ ） 答案：A 5、（2009·青岛中考）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应（ ）． A ．不小于4.8Ω B ．不大于4.8Ω C ．不小于14Ω D ．不大于14Ω 【解析】选A.根据图象信息可求得电源电压为48伏，再根据电流不得超过10A 可求得电阻的范围. 二、填空题 6、(2009牡丹江中考)如图，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、 y 轴作垂线段，若1S =阴影， 则12S S + = ． 答案：4 7、（2009·济宁中考）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1 y x = 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 答案：π 8、（2008·福州中考）如图，在反比例函数2 y x = （0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴 影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ． 【解析】4P 的纵坐标=2142=，将23S S ，向左平移，则123S S S ++=2－1×12=32 . 答案： 3 2 9、（2008·宁德中考）蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I （安）与电阻R （欧）之间关系图象如图所示，若点P 在图象上，则I 与R （R ＞0）的函数关系式是______________． A B O x y 2y x = x y O P 1 P 2 P 3 P 4 1 2 3 4 答案： R I 36 = 10、（2007·陇南中考）你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一 定体积的面团做成拉面，面条的总长度у（cm）是面条粗细（横截面积）x（cm2）的反比例函数，假设其图象如图所示，则у与x的函数关系式为__________ ． 答案： 128 y x =，x>0 三、解答题 11、（2010·兰州中考）如图，P1是反比例函数)0 (＞ k x k y=在第一象限图像上的一点，点A1的坐标为(2，0)． （1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积将如何变化？ （2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标． 【解析】（1）△P1OA1的面积将逐渐减小．………………2分 （2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形， 所以OC=1，P1C=3，所以P1)3 ,1(．………………3分 代入 x k y=，得k=3，所以反比例函数的解析式为 x y 3 =．…4分 I（安） R（欧） ·P（3，12） O P40 作P 2D ⊥A 1 A 2，垂足为D 、设A 1D=a ，则OD=2+a ，P 2D=3a ， 所以P 2)3,2(a a +． ……………………………6分 代入x y 3= ，得 33)2(=?+a a ，化简得0122=-+a a 解的：a=－1±2 …………………7分 ∵a ＞0 ∴21+ -=a ……8分 所以点A 2的坐标为﹙22，0﹚ ……………9分 12．（2009·河池中考）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例；药物释放完毕后，y 与x 成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【解析】（1）药物释放过程中y 与x 的函数关系式为 y = 3 4 x （0≤x ≤12） 药物释放完毕后y 与x 的函数关系式为y =108 x （x ≥12） （2） 108 0.45x = 解之，得 240x =（分钟）4=（小时) 答： 从药物释放开始，至少需要经过4小时后，学生才能进入教室．
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