第五章 置换群与酉群
§5.1 n 阶置换群S n
【定义5.1】 （置换）
将n 个数字{1，2，…，n}的排列n a a a 21映为排列n b b b 21，称为一个n 阶的置换，记为s , ????
??=n n b a b b a a s 21
21。 置换s 把a 1换为b 1，a 2换为b 2，…，a n 换为b n ，它决定于诸双数码的对换，与诸对数码的排列顺序无关。 【定义5.2】 （置换群）
定义两个置换r ，s 的乘积rs 为先实行置换s ，再实行置换r ，则在此乘法下所有n 阶置换作成的集合，构成一个群，称为n 阶置换群或对称群，记为S n 。 单位元：恒等置换。
逆元：n S s ∈?，??? ??=n n b a b b a a
s 2121
，??
?
??=-n n a b a a b b s 21211
置换的乘法满足封闭性和结合律，S n 群的阶为n ！。 【定义5.3】 （轮换）
一种特殊形式的置换：??
?
??-1132
21
e e e e e e e e
m m m 称为轮换，记为()m e e e 21，轮
换数码的个数m 称为轮换的阶。
?系1 轮换内的数码作轮换，仍表示同一个轮换，即：
()()()12113221-==m m m m e e e e e e e e e e e 。
?系2 两个轮换()m e e e 21和()n f f f 21若没有公共数码，则称它们相互独立；相互独立的轮换之间的乘积满足交换律，即：
()()??
?
?
?=13221132
21
2121f f f f f f e e e e e e
f f f e e e n m n m
()()m n e e e f f f 2121=
?系3 任意的n 阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。例如：
=
??? ??316556432421（1 4 5）
（2）（3 6）=（1 4 5）（3 6） ??
? ??=n n s 3321210=（1）
（2）…（n ） 一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记，故S 0=（1）=（2）=…=（n ）。 ?系4 轮换的逆：（e 1 e 2 … e m ）-1=（e m e m-1 … e 2 e 1）
?系5 2阶轮换（e 1 e 2）称为对换，任一m 阶轮换可以写为（m-1）个对换的乘积。如：
)())(()(321331221
1323
21
2131321e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e =??
?
????? ??==
一般地有：()()()()()213111121
e e e e e e e e e e e m m m -=。
由于诸对换因素有相同数码e 1，故它们的乘积不可交换。
?系6 任意对换（a a+k ）满足递推关系：（a a+k ）=(a+1 a+k ) (a a+1) (a+1 a+k ) 证明：
右边???
??++++??? ??++++??? ??++++=111111a k a k a a a a k a k a a a a a a k a k a a
a a
??
?
??++++??? ?
?++++=a k a k a a a a a k a k a a
a a 1111 ()()()k a a a k a a a k a a k
a a a
+=++=??
? ?
?++++=111 = 左边。 ?系7 由系3、系5、系6可知，任意置换可以写为相临数码对换的积。
例如()43114432321=??
? ??=（1 4）（1 3） =（2 4）（1 2）（2 4）（2 3）（1 2）（2 3）
=（3 4）（2 3）（3 4）（1 2）（3 4）（2 3）（3 4）（2 3）（1 2）（2 3） 一般地：
（a a+k ）=（a+1 a+k ）（a a+1）（a+1 a+k ） =（a+2 a+k ）（a+1 a+2）（a+2 a+k ）（a a+1）
×（a+2 a+k ）（a+1 a+2）（a+2 a+k ）
◆定理5.1◆ 具有相同轮换结构的置换构成S n 群的一个类。
证明：两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子，并且各轮换因子中数码个数也分别相同。 ① 共轭置换具有相同轮换结构:
n S t s ∈?,，
??? ??=n C n C C S 2121, ??? ??=??? ??=n n n f C f f C C d n d d t 212121
21, 有：
???
????? ????? ??=-n d d d C n C C f C f f C C tst n n n n 2121212121211 n n n S f d f f d d ∈??? ??= 21
21 s 的共轭元1-tst 由t 对s 中上下两行数码同时作t 置换得到。当s 为无公共数码轮换的积的形式时，1-tst 的轮换形式由t 对s 的每个轮换因子中的数码作置换得到。
假设置换s 有k 个独立轮换因子s i , i=1,2,…k 构成，s=s 1s 2…s k , 则共轭tst -1
= ts 1t -1
ts 2t -1
…ts k t -1
。考察t 对一个轮换因子s i 的共轭运算，假设：)a ... a a (m 21=i s ，
??
??
??=-1m 13221
......s s s s s s
s s s m m i ，
在t 的变换下，s i 的第一行假设被变换为（t 1 t 2 … t m-1 t m ），则其第二行必变换为（t 2 t3 … t m t 1），于是，
)...( (121132121)
1m m m m m i t t t t t t t t
t t t t t ts ---=???
?
??=， 仍然是同阶的轮换，它由t 对s i 的中的数码做置换得到。故tst -1
通过t 对s 中的轮换数码做置换得到，两者具有相同的轮换结构。
如：
()()()563421356516434221=??? ??=S ，
()()624351236514436521=??
? ??=t ， 有：()()()3241651=-tst 。 ② 具有相同轮换结构的置换相互共轭：
若s ，n S r ∈具有相同轮换结构：
()()()l
n n n C C C b b b a a a S 21212121=， ()()()l
n n n f f f
e e e
d d d
r
21
21
21
2
1
=，
则存在n n n n n n n S f c f c e b e b d a d a t l l ∈????
??= 11111
12211，
有r = tst -1。
由①，②知具有相同轮换结构的置换构成S n 群的一个类。 ?系1 S n 群的一个类可用轮换结构（v ）来表示
()()n v v v n v 2121=，即该类由独立的v 1个1阶轮换，v 2个2阶轮换，…，v n 个n
阶轮换。v 1，v 2，…，v n 为非负的整数，满足：n nv v v v n n =+++ 3132 ?系2 S n 群中的类（v ）的元素个数为：
!
!2!1!
212
1
n v v v v n v v n n
，这是因为：
① l 阶的一个轮换有l 种写法：
()()()1211132121-===m m n n e e e e e e e e e e e ，v l 个l 阶轮换
共有1v l 种写法；② v l 个l 阶轮换有v l ！种不同的排列。 ?系3 S n 群的类()()
n v v v n v 2121=常用[][]n λλλλ 21=来描述，其中：
n v v v +++= 211λ，n v v v +++= 322λ
…，n n v =λ
显然：n λλλλ≥≥≥≥ 321，且=+++n λλλ 21n nv v v v n =++++ 32132。
211λλ-=v ，一般地1+-=i i i v λλ。[]λ称为n 的一个分割，S n 群中共轭类的数目等于n 的分割个数；两个分割[][]n λλλλ 21=，[][]n λλλλ'''=' 21
，如果第一个非零差0>'-i i λλ，则称[]λ大于[]λ'，记为[]λ>[]λ'。
?系4 n 的一个分割或S n 群的一个类[][]n λλλλ 21=经常用杨图来表示：杨图是n
个小方格的排列，排列方式为第一行、第二行、…、第n 行各由n λλλ,,,21 个小方格组成，杨图第一列的小方格上下对齐。
例5.1 S 3群的类分割：[3]，[2 1]，[1 1 1]≡[13]，杨图为：
[13
]
[2 1][3]
分别对应（13 20 30），（11 21 30），（10 20 31）。
S 4群的类分割：[4]，[3 1]，[2 2]，[2 1 1]，[1 1 1 1]，5个类对应的杨图：
[4][2 2][14
]
[2 1 1][3 1]
对应（14 20 30 40），（12 21 30 40），（10 22 30 40），（11 20 31 40），（10 20 30 41）。 一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到，则称该二杨图相互共轭；若一个杨图行列互换而杨图不变，则称它自轭。
§5.2 杨盘及其引理
【定义5.4】 （杨盘）
将数字1，2，…，n 分别填到S n 群杨图的n 个小方格中，这样的杨图称为杨盘。
S 6的杨图[3 2 1]的两个杨盘T a 和T b ：
T b
T a
66
55443
32211
·系1 由一个杨图可以得到n !个杨盘。
·系2 杨盘中的数字可用其所在的行和列即（i ，j ）确定。
·系3 同一杨图的不同杨盘T a 和T b ，可通过一置换相互转换。将杨盘T a 和T b 中
的n 个数码从左到右、从上到下排成有序列：n n b b a a a ...b ,...2121，则将杨盘
T a 变为杨盘T b 的置换??
?
??=n n b b b a a a
s 2121
...。 如S 6的杨图[3 2 1]的两个杨盘T a 和T b 有：()a b T T 563)24(= ·系4 由一个杨盘T 可以定义行置换R (T )和列置换C (T )：
R (T )：保持各行中数字在所在行中的全部置换p 的集合{p }； C (T )：保持各列中数字在所在列中的全部置换q 的集合{q }
R (T )和C (T )显然为S n 的子群，它们有唯一公共元素s 0；若杨盘T 对应杨图为[][]n λλλλ 21=，则R (T )的阶显然为!!!21n λλλ ；C (T )的阶为
,!~
!~!~21n λλλ 杨图[][]
n λλλλ~
~
~~21 =为杨图[]λ的共轭。
·系5 由行，列置换p ，q 可以定义算符P (T )和Q (T ):
()()
∑∈=T R p p T P ，
()()
∑∈=
T C q q q T Q δ, ??
?-=为奇置换
为偶置换q q q 1
1
δ。
P (T )和Q (T )显然为S n 的群代数Sn R 中的元素。 置换的奇偶性：
奇（偶）置换：能分解为奇（偶）数个对换乘积的置换。 阶为l 的轮换的奇偶性与l －1的奇偶性相同。
·系6 同一杨图的不同杨盘T T ',，其()()T R T R ',同构，()()T C T C ',同构。 例5.2 S 6的杨盘T a 对应的行置换R (T )和列置换C (T )：
(){),34(),152(,)125(),25)(15(),12(),1(=a T R ),34)(125(),34)(25(),34)(15(),34)(12(
()()}34152 （(1)为恒等置换s 0）
()()()()()()()()()()
{2413,24,163,136,36,16,13,1=a T C ()()()()()()()()}24163,24136,2436,2416。
【定义5.5】 （杨算符）
杨盘T 的算符P (T )、Q (T )的乘积，定义为杨盘T 的杨算符E (T )：
()()()()
()∑
∑∈∈=
≡T R p T C q q pq T Q T P T E δ
显然()n S R T E ∈。
·系1 若()T C q q T R p p ∈∈'',),(,，且'q p pq '=，则必有',q q p p ='=。 证明：由'q p pq '=，得11'--='q q p p
而()()()o s T C T R T C q q T R p p =∈∈'-- ,' ),(11 故必有o s p p ='-1，o s q q =-1'，即q q p p =='' ,。
·系2 由系1知杨算符E (T )为不同群元的线性组合，必有0)(≠T E 。
下面介绍几个关于杨盘的引理，并证明上述定义的杨算符正是S n 的群代数n
S R
的本质本原幂等元。
※引理5.1※ 设T T ',是由置换r 相联系的杨盘，rT T ='；如果置换s 作用在T 上，使得T （i ，j ）数字变到s T 中的()j i '',处，则1'-=rsr s 使得T '中的（i ，j ）数字也变到T s ''中的()j i '',处。
证明：设}'',...,'',''{ },,...,,{ },',...,',' { },,...,,{21212121n n n n t s t s t s st st st t t t t t t 分别为由杨盘T s sT T T ''',,,的行数码从左至右、由上至下得到的n 个数码的序列，由于
1' ,' , ,-'
='?→?'?→?'?→?rsr s T s T sT T T T s s r ，故有： ,'''21
21??? ??=n n t t t t t t r
??
?
??==??? ??=-n n n n t s t t s t s t t rsr s st t st st t t s '''''''''
' ,21
2112121 ，
由于's 等于r 对s 的上下行分别作置换，故必有：
??
?
??=??? ??=n n n n t s st t s t s st st t t t t t t r '''''''''21
21
21
21
，比较置换r 第二个等号的两
边易知，若左边第i 个数码t i 在右边的位置为第j 个数码，则左边与数码t i 同列的i t '数码在右边的位置也必然为j ；故在对应的杨盘中发生变化的数码位置也相同，定理得证。
例5.3 ()()3 2s ,4 5 2 ,==='r rT T
6
5:(1,2) --> (2,2)3:(2,2) --> (1,2)
2:(1,2) --> (2,2)3:(2,2) --> (1,2)
6
6
5
55
4
4
4333222
r
rsr
-1
s'T'
T '
sT
111
·系1 设rT T ='，则()1)(-='r T rR T R ，()()()11)(,--='='r T rP T P r T rC T C ，
()()()()11 ,--='='r T rE T E r T rQ T Q 。
证明： 选定任意rT T S r n ='∈ ,，
()T R p ∈?，p 只引起T 中同行数字置换，
有p rpr p '≡'- ,1只引起杨盘rT T ='中同行数字置换，故()T R rpr p '∈='-1。 当p 取遍R (T )中元素时，可得(){}
)(1T R p rpr T R ∈='-。实际上因为T ，T '属同一杨图，R (T )，()T R '同构，()1)(-='r T rR T R ，为S n 的相互共轭子群。 类似地可以证明：()1)(-='r T rC T C 。故可得：
()1)(-='r T rp T P ，()()1-='r T rQ T Q ，()()()()1-=''='r T rE T Q T P T E 。
以上结论给出了同一杨图的不同杨盘的杨算符之间的关系。
※引理5.2※ 设p 和q 分别是杨盘T 的行列置换，则T 中位于同一行的任意两数字不可能出现在pqT T ='的同一列中；反之，若rT T ='，而T 中位于同一行的任意
两个数字不出现在T '的同一列，则杨盘T 存在行列置换p ，q ，使得r = pq 。 证明：
1．pqT T T C q T R p ='∈∈ ),( ),(，令pT T =''，1''-=pqp q 。q 为杨盘T 的列置换，故''q 为杨盘T ''列置换。有T pqT pT pqp T q '===''-1''，而列置换''q 不能将T ''中同一行的任意两数字变到T '的同一列，而pT T =''，故T ''的行数码与T 的行数码相同（因为pT T =''），故亦即T 中同一行的任意两数码经p 再经''q 即pq 作用后不能变到T '的同一列。
2．反过来，rT T ='，T 中同一行任意两数码不出现在T '的同一列，亦即T '同列两数码处在T 的不同行中，故总可以用行置换p ()T R ∈对T 作行置换使结果pT T =''与T '的各列数码相同（上下次序可不同），进一步对T ''作列置换''q ，()T C q ''∈''，可使得''q T ''与T '完全相同，即p q r rT pT q T q T '' ,''''===''='。另一方面，令
pq p q =''，由()T C p q p q pqp q ∈==--'' ,''11有 （因T p T ''=-1），故有
q q 1p p p p r ==-。证毕。
引理5.2是同一杨盘的一个结论，对于不同杨图的杨盘有引理5.3。
※引理5.3※ 设杨盘T 和T '分别属于杨图[][][][]λλλλ'>'且,,，则存在两个数字位于T 的同一行和T '的同一列。
证明：设[][]n λλλλ 21=，[][]n λλλλ'''=' ,,21
，[][]λλ'>意味着 第一个不等于0的0>'-i i λλ。
反证：设T 中任两同行数码均在T '的不同列中，先看T ，若其第一行的1λ个数字的
任两个均在T '不同列中，即1λ个数字在T '的不同列中，则必须11
λλ≥'，而[][]λλ'>，故必有11λλ='，且可对T '作列置换使结果T ''和T 的第一行数码相同（次
序可能不同）；由于列置换不会使原来T '中同列的数字变为不同列（即同行），故仍有T 中两任意同行数码均在T ''的不同列中，故对于T ''和T 的第二行与第一行
情形同理，有22
λλ='，如此进行下去，最后可得到[][]λλ='，与题设有矛盾。定理得证。
引理5.3是不同杨图的杨盘间的一个重要性质。
※ 引理5.4※ 若有两个数字，位于杨盘T 的同一行，又位于杨盘T '的同一列，则
它们的杨算符满足：0)()'(=T E T E 。
证明：设数字a 1, a 2位于杨盘T 的同一行又位于T '的同一列，则有对换()21 a a t =，
()()()()T C T R T C T R t ''?∈、 ,为S n 的子群，又02=t 为群S n 单位元，且t 为奇
置换，1t ＝－δ，且由重排定理有：
()()
)(T P p t T tP T R p ==∑∈，
()t t T Q T C q t t ∑'∈=
')
(q q δδδ()
)'(T Q qt t T C q q t -==∑'∈δδδ
则：()()()()T P s T Q T P T Q o '='()()T ttP T Q '= ()()T P T Q t '=δ()()T P T Q '-= 故有：()()0='T P T Q 。
上式左乘()T P '，右乘Q (T )，有：
()()()()0=''T Q T P T Q T P , 即()()0='T E T E 。
·系1 由引理5.3和引理5.4知，当T T ',为属于不同杨图[][]λλ',，设[][]λλ'>，则有
()()0='T E T E 。
※引理5.5※ 设S n 群代数n s R 中的矢量n S R x ∈ ，s x x n
S s s ∑∈=
，T 为S n 的杨盘。若
()()T C q T R p ∈?∈?,有x q x p q
δ=，则x 与T 盘的杨算子E (T )相差一个常数因子，即)( T E x θ=
, 常数θ与x 有关。
证明：
① 首先可证S n 中不能写成pq 形式的群元s 可以表示为psq 形式，即s = psq ，
()()T C q T R p ∈∈,，令sT T ='，或'1T s T -=。由于s 不具pq 形式，由引理5.2
的逆反命题可知，至少存在两个数码a 1，a 2即位于T 的同一行又位于T '的同一列。取()21a a t ≡，有()()T C T R t s t '?∈=,02；由于T s T '=-1由引理5.1知，
()T C ts s ∈-1，取ts s q t p 1 ,-==，故有：s s t ts tss psq ===-21。
② 由x 满足的条件有：∑∑∑∈∈∈==
=n
n
n
S s S s s q s S s s s x psq x sq x p q x p δ
，可定出x
的系数
s x ：
i ．s 具有pq 形式时，取上式最后一等号左边的s 为s o ，左边求和中有pq x o s ，等号右边的pq 项为：pq x pq q δ，由pq 项系数相等，有pq q s x x o δ=；令o s x ≡θ，有q pq x θδ=；选取不同p 、q 可以得到所有具有pq 形式的s 群元的系数。 ii ．当s 不具pq 形式时，可由上述①的结论选取取ts s q t p 1
,-==，利用psq = s
由上式可得：
s x s x s q s δ=，即s q s x x δ=，而此时1-==t q δδ（因ts s q 1-=）， 故s s x x -=，有0=s x 。
综上两种情形，x
的系数???=形式
不具当形式
具当pq s pq s x q
s 0
θδ。
故：∑∑∈∈∈==
)
()( T C q T R p pq S s s pq x s x x n
∑∈∈=)
()(T C q T R p q pq δθ)( T E θ=
即()T E x θ=
，定理得证。
※引理5.6※ 杨盘T 的杨算符E (T )是群代数R sn 的一个本质的本原幂等元，不变子空间R sn E 是S n 群的一个不可约的表示空间，其维数为n ！的因子。 证明：
① ()T C q T R p ∈?∈?),(，有:
()()()()q T Q T P T Q T pP q pE =2()()()()T Q T P T Q T P q δ=2qE δ=,n s R E ∈2
由引理5.5有：E E θ=2, 故若0≠θ，则有E 为本质幂等元。 ② 可定出θ的取值情况：
对于给定杨盘T ，由于E （T ）为幂等元，则存在与之对应的投影算符P ，有
n s R x ∈? ，()T E x x P
≡
下边证明由算符P 的迹可定出θ：
i ．取S n 群元素s 1, s 2, s 3, …, s n 为R Sn 的基底, 在此基下，变换P 的对角元P jj 为：
()j
s j jj Ps P = ()()j
s j T E s = （令()∑=≡!
1
n k k s s E T E k ）
j
k S n k k s n i i ij s E s ????
???????? ?????? ??=∑∑==!1!1δ
=j k S n k i k i s ij s s E ????
????∑=!1,δ （令l i k l k i s s s s s s 1 ,-==）
j
l
i S n l i l s s ij s E ??????=∑=-!1.1δ
=∑=-!
1
1n i S S ij j
i
E δ
11
===-o j
j
S s s
E E （E (T )在s 0上的分量为1）
故迹：∑===
!
1
! n i jj
n P
P Tr .
ii ．若取R s n 的基为：!121,,,,,,n f f v v v v v +，其中f v v v ,,21为子空间R sn E 的基（易验证R sn E 为线性空间，因0≠E ，f 最小等于1）。在此基下变换P 的对角元P jj ：
A ． j = 1，2，…，f 时：
()()j
j
v
j v j
jj E v Pv P ==
()
j
v j E u 2
= ()
n n s j j j s j R u E u v E R v ∈=∈ ,,故可令因
()
j j v E u θ= ()j
v
j
v θ=θ=；
B ．!,,2,1n f f j ++=时： ()()0===j
j
v
j v j jj E v Pv p （因E R E v n S j ∈，无!21,,n f f v v v ++上的分量）
变换P 的迹不随基的选取不同而不同，故迹∑∑======f
j jj n j jj n f P P P Tr 1
!1
! θ，
0!
≠=
f n θ，即杨算符E 为本质幂等元。又pq E q
p q ∑=,δ的系数1±=q δ，故E 2的系数亦必为整数，由E E θ=2知θ必为整数，故整数亦即子空间维数θ
!
n f =为n ！
的因子。
③ 幂等元E 1-θ为本原幂等元：
n S R x ∈?
，)(T R P ∈，()T C q ∈，有：()()E x E E x E q E x E p q q δδ==。
由引理5.5知：E E x E μ=
（μ与x 有关）。由本原幂等元判别定理知，E 1-θ为
群代数R Sn 的本原幂等元，R Sn E 为S n 的不可约表示空间。
·系1 从一个杨盘T ，可求出一个本原幂等元E 1-θ，从而得到S n 群的一个不可约表示。
※引理5.7※ S n 群同一个杨图的不同杨盘给出的不可约表示是等价的，不同杨图的杨盘给出群的不等价不可约表示。
证明：群代数是群元素算符的不变空间，对应群G 的正则表示，考虑左正则表示L (g )。设有两杨盘T T ',，杨算符分别为E E ',，各对应不可约表示L L ',，相应表示空间为
E R W n s =，E R W n S '='。设E E E E ''='=θθ22,，令E e E e ''='=--11,θθ。
1．杨算符E E ',对应的不可约表示等价的充要条件是，至少存在一个群代数R Sn 中的
元素c
，满足0≠'E c E （此论断对一般的群代数同样成立）
① 充分性：若0≠'E c E
，可定义映射：W w W W P ∈?'→ ,:，W e c e w w P '∈'= ，可以证明P 为一一映射：
i ．满映射：
令{}W w e c e w PW W ∈'=≡''
|，可证W ''为群不变子空间：
e c e w w W w '=''∈?
'' ,''，有：
()()W e c e w g L e c e w g w g L ''
∈'='= )('''（因为()W w g L ∈
，W 为群不变子空间）， 即W ''为群不变的子空间，由于0≠'E c E
，故： 有()W e ec e ec e c e e c e e W e ''∈'≠'='='∈,0,2
即0≠''W ；由于W '为不可约表示空间，故必有W W '='' ii ．P 是单射：
可证若0,≠∈w W w
，则0≠'e c e w ，否则集合{}
W W w e c e w w A ?∈='≡ ,0为
群不变子空间，由于e 不属于集合A （因为0≠'e c e
），故该集合A 未充满W ，由W 是不可约表示空间知该集合A 为零空间，即A ＝{}0。故：若
W w W w w w ∈∈≠2121,, ，必有21w P w P ≠，否则有,021≠-w w ()021=-w w P ，
与上述结果矛盾，故P 为单射。
由于存在一一映射P ，存在逆映射P －
1，可得：W w ∈? ，()e c e w g w g PL '= ()w P g L '=，
故()(),P g L g PL '= 即()()g L P g PL '=-1，()g L 与()g L '等价。
③ 必要性：由()g L 与()g L '等价可证存在0,0≠≠'c E c E
。
设有等价映射P ，满足：任意n S s ∈，W w ∈ ，有()()w P s L w s PL
'=，即w sP w Ps =。
由于s 为任意，故有n S R x ∈?
，有：w P x w x P =。
定义Pe c ≡ ，有0≠c
（等价映射P 的性质）
则：c e ePe Pee Pe c ====
由于'W c ∈ ，故有c e c
='（因为幂等元e '对应不变子空间为'W ）
故E c E e c e c e c '='==--
11'θθ，由0≠c ，故有0≠'E c E 。必要性成立。
2．① 当T T ',属同一杨图时，必存在n S r ∈，有rT T ='，故有1-='rEr E ，
此时有0,111≠='∈---Er E Er R r n S θ（否则E =0）。由上述1的结果知，E E ',对应的不可约表示L L ',等价。 ② 当T T ',不属同一杨图[][]λλ',：
不失一般性，设[][]λλ'>，n S s ∈?，杨盘sT 的杨算符为1-sEs 。
由引理5.4，有01='-sEs E ，两边右乘s ，即得0='sE E 。由于s 任意，故不可能找到n S R c ∈
，使0≠'E c E 。因此不同杨图的杨盘给出不等价不可约表示。
以上的七个引理总结得到以下定理：
◆定理5.2◆ 杨盘T 的杨算符E (T )是群空间n S R 本质的本原幂等元，不变子空间
n S R E (T )给出S n 群的一个不可约表示；同一杨图的不同杨盘给出等价的不可约表
示，不同杨图给出不等价不可约表示。置换群不等价不可约表示的数目等于杨图的个数。
§5.3 S n 群的不可约表示
【定义5.6】 （标准盘）
每行和每列的数字从左到右，从上到下都是逐渐增加的杨盘称为标准盘。 ?系1 对杨图[]λ的标准盘，按各行数字大小进行排序，数字小的杨盘在前，大的在
后。标准盘[]λi T 表示杨图[]λ的第i 个标准盘。 例5.4 ① S 3群的标准杨盘：
T 1
[1 1 1]
T 2
[21]
T 1
[21]
T 1
[3]
3
333
22221111
② S 4群杨图[3 1]的标准盘:
T 3
[3 1]
T 2
[3 1]
T 1
[3 1]
4
4
4333
2
22111
◆定理5.3◆ 杨图[]λ所对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准盘的个数[]λf ：
[]∏=
j
i j
i g n f ,!
λ, 其中g ij 为杨图的第i 行第j 列的“钩长”，等于杨图中以（i ，j ）格子为角顶的“直角尺”所包含的格子数目。 如：S 13的杨图[6 4 3]所对应不可约表示的维数为：
[]
1
231345124678!
13346
????????????=
f = 6435
g 12
=7
?系1 由勃恩赛德定理，有：[]
()
[]
!2
n f =∑λλ
例5.5 求S n 群的杨图[][]n =λ的不可约表示。[n ]只有一个标准杨盘。
[]()n n S T R =1，[]()
o o n S S T C ,1=为单位元，杨算符[]∑
=∈n
S s n s E 1。 根据重排定理有[][]n n E sE 1
1=，故： n S R x ∈? ，[][][]n S s S s s n s n E x sE x E x n
n
1
11∑∑==∈∈ ， 故表示空间[][]n n S CE E R n 11=（C 为复数域），只有一个基，可以取为[]n E 1
n S s ∈?，()[][]n n n n E sE E s L 111][)(==，故()1)(=s L n ，为S n 的一维恒等表示。
例5.6 求{})132(),123(),23(),13(),12(),1(3=S 群的杨图[2 1]对应的不可约表示。
杨图[2 1]有两个标准盘]
21[2]21[1,T T ，由其中一个标准盘如]21[1T 可得与之相应的二维
不可约表示。
()()[]()()[]131121]
21[1-+=E ()()()()13213121--+=
不可约表示空间为：]21[13E R S 确定]21[13E R S 表示空间的2个基： 用每个S 3群元与]21[1E 相乘：
[][]211
211)1(E E =； ()]
21[1
]21[112E E =； ()()()()()2311231313]
21[1--+=E ；
近世代数学习系列二群 近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a?b或者就简略记为ab。乘法被要求满足下面三个条件： 1.结合律。a? ( b?c ) = ( a?b ) ?c 2.存在单位元e，对任意元a都有e?a = a?e = a 3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a?a-1 = a-1?a = e 如果这乘法还满足交换律a?b = b?a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。显然 ( a-1 ) -1 = a。 在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
高中数学1置换与置换群 试题 2019.09 1,在极坐标系中，点P 1 6sin 6 112=??? ?? -??? ??πθρπ到直线， 的距离等于________。 2,已知二项分布满足X ～B （6，32 ），则P(X=2)= ________。 3,已知点P （-3，2），若极点O '的直角坐标为（-2，1），极轴方向与x 轴 相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P 的极坐标为_____。 4,如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外围是由四个不同形状的色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有________种（用数字作答）。 5,过点A （5，-2）的直线l 交 224424360x y x y ----=于1P 、2P 两点，A 恰为线段12P P 的中点，求线段12P P 的长。 6,从数字0、1、3、5、7中取出不同的3个数作系数，可以组成多少个不 同的一元二次方程2 0ax bx c ++=？其中有实根的方程有多少个？ 7,(12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项。 8,袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1 7，现 有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取、、、、、、
取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的。 （1）求袋中所有的白球的个数； （2）用ξ表示取球终止所需要的取球次数，求随机变量ξ的概率分布列； （3）求甲取到白球的期望。 9,已知直线k x y +=2被抛物线y x 42 =截得的弦长AB 为20，O 为坐标原 点． （1）求实数k 的值； （2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？ 10,6个人坐在一排10个座位上，问： （1）空位不相邻的坐法有多少种？ （2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ （3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？（答案用数字表示） 11,已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若//,,a a b βααβ??=则a ‖b ；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；其中真命题的序号是 .（要求写出所有真命题的序号） 12,若集合 }1 |{2 x y y M = =,{|P y y ==,那么=P M A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1(+∞ D ． ),1[+∞
（V ）循环群·变换群和置换群 一、定义及例子 1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】 2、例子： （1）Z =（1） （2）(Z 12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】 （3）n 次单位根群Un 【Unit 】 )(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N n n n n n i ππω22 sin cos += 二、生成元，循环群 1、循环群的元素 ???∞ =∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元 （1）1,)(±=?∞=r a a o r 是生成元 （2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {} x i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。 的数中与：小于欧拉数?? 如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11]) 三、循环群的子群 1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类 } |1|){(G ),(,0)()2(} 0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为 则设的所有子群为 则设≤≤=>=≥=∞= 变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i) ·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质 ) ()...()()...(6],...,,[)()(5/ */*)...)(...()...)( (4) ...()...(3))...((2) ...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r r r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i r i i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====???======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、
伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团 1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！ 群论、数学质变的前夕 为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。 在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。 在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。 在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。 与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。 此后，五次方程的进展一度陷入迷局。当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
?什么是阿贝尔群 ?若群
知识回顾 ?生成子群 设G为群, a G, 即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.
循环群的定义 定义8.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={a k| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元. 循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 } 那么|G| = n，称G 为n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称G 为无限循环群. 实例：
例10 (1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4. 小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元. (2) 设G=
近世代数小结1群理论知识体系 1、代数系统：) ,( A )( ) ( 复合运算三元间关系 集一同 变换乘法 代数运算 ↓↓?→?? 2、两个代数系统：（对等）映射对应 集合对应系统等价 系统过渡 －－运算 象射－映 运算原象 算运持保 同构（映射） 单射 同态（满射） 满射同态映射 )(------ | | →→→↓ ↓↓+?→?+?→??? 3、映射与变换群： 置换群 个元子群对称群次 变换群 象 同 不元同不射单 象逆 有都射满 部 全 换变射双 应 对） 对 应依次换位（一一变换有限集 同集同集 集集循环置换置 换 变 换 映 射 元 间元 间!n )n ( )( )()( ↓? ↓↓↓??→???→??→??→??→? 4、群系统： 陪集群 商 群 相同相同， 相同相同， 不变子群子群群元逆元位单律合结代数运算集 子集 ?→=→↓ ↓↓?→???→????????????????+--? ≥ Na aN a e a e 11 5、群同态（同构）体系： （自然同态）商群群关于核 ～ 子群 子群群群 )()( 11?↓ ↓?→??→?↓ ↓?→?--a e a e G G ～ ???++?),([1])(n Z , 有限无限循环群 N G ～G N φ ) (,: //)(a a N a aN N G N G N N φ=→ψ↓??φ= 6、关于阶： ⑴n G a G a =?∈||||；||||s a n st a t ==?=，||(,) k n a k n = ； ⑵)():(||||||||定理Lagrange n H G H G G H G H ==??≤，)(|,/|):(G N N G N G = ⑶||()|a n n k n ??=<<∞?1时n k a ???使||n k a k ??=?共有|()d n T n =∑1个子群．
ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理 1 群的基本概念 b a e a b b a a a e e a a b b a c b a c b a A A b a A b a A =======∈∈?-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性 （算的性质上的二元运算。二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合 上的二元运算。 是非空集合，代数系统A A ?? 为无限群。 为有限群。否则，称是有限集合，称如果。，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G G a G a e G *??=*∈∈?***??-1,43212 置换群 {}个不同的置换。 次置换共有例如：到自身的双射 ，，，次置换：集合!14234321321 ,3213 2 1 n n s k k k k n n X n n ??? ? ??=???? ??== ? ?? ? ? ??=???? ??????? ? ?=???? ? ? ?=???? ??=?≠?=??43124321 32144321142 3432 1321443 211423 4321 ))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。。即置换的乘法无交换。一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设 ?? ? ? ??=? ??? ??=???? ??=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 32 13213213213211 321的逆置换为为恒等置换。 称 {}，称为置换群。 乘法运算下构成一个群在置换的 的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 = ?? ???????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n 次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合 POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =I POJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k 。题目大意：首先输入长度为n 的数字串构成置换P 。然后求字符序列Src 进行k 次置换后的字符序列。 POJ 1721 CARDS 已知置换P 的k 次幂P k ，求P （是k 次方根吗） 2 置换的奇偶性 [][][][][] 151411131210873296541141510131112128965734151413121110987654321????=? ?? ? ??=f f X s X 表示为例如，的一个划分。 所有的轮换构成了通分支称为一个轮换。的置换图中，每一个连的置换集合
Pure Mathematics 理论数学, 2016, 6(1), 17-22 Published Online January 2016 in Hans. https://www.doczj.com/doc/3d13392225.html,/journal/pm https://www.doczj.com/doc/3d13392225.html,/10.12677/pm.2016.61003 On Quasiprimitive Permutation Groups of Cube-Free Degree Shiqin Peng1, Xiaofen Yu2, Jiangmin Pan1* 1College of Statistics and Mathematics, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming Yunnan 2School of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Neijiang Sichuan Received: Dec. 14th, 2015; accepted: Jan. 17th, 2016; published: Jan. 21st, 2016 Copyright ? 2016 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). https://www.doczj.com/doc/3d13392225.html,/licenses/by/4.0/ Abstract Li and Seress [The primitive permutation groups of square-free degree, BULL. London Math. Soc. 35 (2003), 635-644] classified primitive permutation groups of square-free degree. In this paper, we will characterize quasiprimitive permutation groups of cube-free degree, and give several prob-lems worth further research. Keywords Quasiprimitive Permutation Group, O’Nan-Scott Theorem, Simple Group 立方自由次拟本原置换群 彭仕芹1，余小芬2，潘江敏1* 1云南财经大学统计与数学学院，云南昆明 2内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江 收稿日期：2015年12月14日；录用日期：2016年1月17日；发布日期：2016年1月21日 *通讯作者。
第九讲 §置换群(pormutation group) 本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求： 1o弄清置换与双射的等同关系。 2o掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3o置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。 4o对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。 本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。 注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。 变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 一．置换群的基本概念 定义 1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A的一个置换。 有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有n个元素的有 限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。通常记为 S. n 明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n次对称群 S也就是有限集合A的完全变换群。 n
置换群快速幂运算 研究与探讨 江苏省苏州中学 潘震皓 [关键词] 置换 循环 分裂 合并 [摘要] 群是一个古老的数学分支，近几年来在程序设计中置换群得到了一定的应用。本文针对置换群的特点提出了线性时间的幂运算算法，并举例说明了优化后算法的效果。 [正文] 一、引言 置换群是一种优秀的结构，在程序设计中，它的大部分基本操作，时间和空间复杂度都是线性的，甚至有的还是常数的。所以一个问题如果能够抽象归结为一个置换群模型的话，往往能够在程序设计中轻松地解决。但是对于整幂运算来说，似乎只能通过反复做乘法来获得O(k*乘法)或是O(logk*乘法)的算法；而对于分数幂运算，则找不到较好的方法实现。 二、置换群的整幂运算 2.1 整幂运算的一个转化 在置换群中有一个定理：设e T k =，（T 为一置换，e 为单位置换（映射函数为x x f =)(的置换）），那么k 的最小正整数解是T 的拆分的所有循环长度的最小公倍数。 或者有个更一般的结论：设e T k =，（T 为一循环，e 为单位置换），那么k 的最小正整数解为T 的长度。 我们知道，单位置换就是若干个只含单个元素的循环．．．．．．．．． 的并。也就是说，长度为l 的循环，l 次的幂，把所有元素都完全分裂了。这是为什么呢？ 我们来做一个试验：(下面的置换均以循环的连接表示) 设n=6，那么3 26)(T T =。任取一T=(1 3 5 2 4 6)，来做一遍乘法： ()() 3624513412656543213412651265431265436543211265436543211265436543212=??? ? ??=???? ?????? ??=???? ?????? ? ?=T 分裂成了2份！而且这2份恰好是T 的奇数项和偶数项！（注意可以写成(1 5 4)(3 2 6)）
11.7 循环群与置换群 一、循环群 1. 循环群的定义 定义11.14 设G 是群，若a G ?∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作 G a =<> ，称a 为G 的生成元。 注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。 (2) 任何素数阶的群都是循环群。 设G 是循环群，若a 是n 阶元，则 012 1 {,,,,}n G a e a a a - == ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。 若a 是无限阶元，则 1 2 {,,, }G a e a a ±± == ， 这时称G 为无限阶循环群。 例如 (1)G=