1解三角形易错题解析
易错题解析
例题1 在不等边△ABC中,a为最大边,如果a b c
222
<+,求A 的取值范围。
错解:∵a b c b c a
2222220
<++->
,∴。则
cos A
b c a
bc
=
+-
>
222
2
0,由于cosA在(0°,180°)上为减函数
且cos90090
°,∴°
=<
A
又∵A为△ABC的内角,∴0°<A<90°。
辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是a为最大边,而错解中只把a看做是三角形的普通一条边,造成解题
错误。
正解:由上面的解法,可得A<90°。
又∵a为最大边,∴A>60°。因此得A的取值范围是(60°,90°)。
例题2 在△ABC中,若a
b
A
B
2
2
=
tan
tan
,试判断△ABC的形状。
错解:由正弦定理,得sin
sin
tan
tan
2
2
A
B
A
B
=即
sin sin
sin
cos
cos
sin
sin sin
2
2
00
A
B
A
A
B
B
A B
=>>
·,∵,
∴,即
sin cos sin cos sin sin
A A
B B A B
==
22。
∴2A=2B,即A=B。故△ABC是等腰三角形。
21360239
3R a A =
==sin sin °。∴a b c A B C R ++++==
sin sin sin 2239
3
。 例题4 在△ABC 中,c =
+62
,C =30°,求a +b 的最大值。
错解:∵C =30°,∴A +B =150°,B =150°-A 。
由正弦定理,得a A b A sin sin()sin =-=
+15062
30°°∴a A
=+262()sin ,
b A =+-262150()sin()
°
又∵sin sin()A A ≤-≤11501,°∴a b +≤+++=+262262462()()()
。
故a b +的最大值为462(
)
+。
辨析:错因是未弄清A 与150°-A 之间的关系。这里A 与
150°-A 是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA 与sin(150°-A)不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错误的。
正解:∵C =30°,∴A +B =150°,B =150°-A 。
由正弦定理,得a A b A sin sin()sin =-=
+1506230°°
因此a b A A +=++-262150(
)[sin sin()]
°
2(62)sin 75cos(75)62
4(62)
cos(75)(843)cos(75)843
A A A =-+=-=+-≤+·°°·°°
∴a +b 的最大值为843+。
例题5 在△ABC 中,已知a =2,b =22,C =15°,求A 。
错解:由余弦
定理,得
c a b ab 222215=+-cos °62
4822228434
=+-=-×××
∴c =
-62
。
又由正弦定理,得sin sin A a C c ==1
2
而0
000
18030150A A A <<=,∴=或。
辨析:由题意b a >,∴B A >。因此A =150°是不可能的。错因
是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时,要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免错误发生。 正解:同上c A b a =
-=
>621
2
,,∵sin , 0
00
18030B A A A ><<=∴,且,∴。
例题6 在△ABC 中,αβcos cos A b =,判断△ABC 的形状。 错解:在△ABC 中,∵a A b B cos cos =,由正弦定理
得22R A A R B B sin cos sin cos =
∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=,∴且° ∴A =B 且A +B =90° 故△ABC 为等腰直角三角形。
辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义,导致结论错误。
正解:在△ABC 中,∵a A b B cos cos =,由正弦定理, 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==,∴。∴2A =2B 或2A +2B =180°,∴A =B 或A +B =90°。
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题7 若a ,b ,c 是三角形的三边长,证明长为
a b c
,,的
三条线段能构成锐角三角形。
错解:不妨设0<≤≤a b c ,只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。
cos ()()()θ=+-=
+-a b c a b a b c
ab
22222。
由于a ,b ,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有a b c +>,即cos θ>0。
∴长为
a b c
,,的三条线段能构成锐角三角形。
辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条
边满足三角形边长关系;②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件。 正解:由错解可得cos θ>0 又
∵
a b c a b c a b c a b c
+-=
+-++++()()
2()20
a b c ab a b c a b c a b c
+-==>++++++
即长为a b c
,,的三条线段能构成锐角三角形。
典型题
1、若ABC ?的内角A 满足2sin 23
A =,则sin cos A A += 15
.15.53 D .53
-
解:由sin2A =2sinAcosA >0,可知A 这锐角,所以sinA +cosA >0, 又2
5(sin cos )
1sin 23
A A A +=+=
,故选A
2、如果11
1
A B C ?的三个内角的余弦值分别等于2
2
2
A B C ?的三个内角的
正弦值,则
A .
11
1
A B C ?和2
2
2
A B C ?都是锐角三角形 B .11
1
A B C ?和222
A B C ?都是钝角三角形
C .11
1
A B C ?是钝角三角形,2
2
2
A B C ?是锐角三角形 D .11
1
A B C
?是锐角三角形,2
2
2
A B C ?是钝角三角形
解:11
1
A B C ?的三个内角的余弦值均大于0,则11
1
A B C ?是锐角三角形,
若2
2
2
A B C ?是锐角三角形,由
211211211sin cos sin()2sin cos sin()
2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?
==-??
?
==-??
?
==-??
,得
2121
21222A A B B C C πππ?
=-??
?
=-??
?=-??
,那么,
2222
A B C π
++=
,所以2
2
2
A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、
ABC
的三内角
,,A B C
所对边的长分别为
,,a b c
设向量
(,)
p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为
(A)6π (B)3π (C) 2
π (D) 23π
【解析】2
22//()()()p q a c c a b b a b
a c ab
?+-=-?+-=,利用余弦定理可得
2cos 1C =,即1cos 23
C C π
=
?=,故选择答案B 。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力。 4、已知等腰ABC △的腰为底的2倍,则顶角A 的正切值是( ) 3
B3 15
15
解:依题意,结合图形可得15tan 215
A =,故
22
1522tan
15152tan 7151tan 1()
2A
A A =
==--,
选D
5、ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =
A .14
B .3
4
C .2
4
D .
23
解:ABC ?中,a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则b =
2
a ,
222
cos 2a c b B ac
+-=
=2222
423
44
a a a a +-=,选B.
6、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3
π,a =3,b =1,则c =
(A) 1 (B )2 (C )3
—1
(D )3
解:由正弦定理得sinB =12
,又a >b ,所以A >B ,故B =30?,
所以C =90?,故c =2,选B
7、设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边,则()2
a
b b
c =+是
2A B
=的
(A )充要条件 (B )充分而不必要条件
(C )必要而充分条件 (D )既不充分又不必要条件
解析:设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边,若()2
a
b b
c =+,
则2
sin
sin (sin sin )
A B B C =+,则1cos 21cos 2sin sin 22
a B
B C --=+, ∴ 1(cos 2cos 2)sin sin 2B A B C -=,sin()sin()sin sin B A A B B C +-=, 又sin()sin A B C +=,∴ sin()sin A B B -=,∴ A B B -=,2A B =, 若△ABC 中,2A B =,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到()2
a
b b
c =+,
所以()2
a
b b
c =+是2A B =的充要条件,选A.
8、在ABC ?中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是___________. 解: sin :sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c =5:7:8设a =5k ,b =7k ,c =8k , 由余弦定理可解得B ∠的大小为3
π. 9、在?ABC 中,已知433=a ,b =4,A =30°,则sinB
= .
3解:由正弦定理易得结论sinB 3。
10、在△ABC 中,已知BC =12,A =60°,B =45°,则AC = 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】
由正弦定理得,sin
45
sin 60
AC BC =解得6AC =【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,
已知两边及其夹角运用余弦定理
11、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列,且AB =1,
BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 .
解析: 由ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3
B π∠= AD 为边B
C 上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得
3AD =
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
12、在△ABC 中,已知5
,
8==AC BC ,三角形面积为12,则
=C 2cos .
解:由三角形面积公式,得1sin 20sin 122BC CA C C ??==,即3
sin 5
C =.
于是2
7cos 212sin
25C C =-=
从而应填7
25.
解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………( ) A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为…..( ) A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图,△ABC 是简易遮阳棚,A 、B 是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角,为了使遮阴影面ABD 面积最大,遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中,已知b = 6,c = 10,B = 30°,则解此三角形的结果是 …………………( ) A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处,发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流,水速为1,小船的速度为2,为使所走路程最短,小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10..在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°,塔底俯角为45°,那么这座塔的 高为_______.
高中数学-解三角形应用举例练习 一、选择题 1. △ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为………………………………………………( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角,则B 、C 间的距离是……………………………………………………….( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3. 有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要伸长( ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4. .已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-?+→ -→-→-→-AD AB AD AB ,则该四边形是………( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°, 另一灯塔在船的南偏西75°,则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( ) A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里 6.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( ) A. 21d d > B. 21d d = C. 21d d < D. 不能确定大小 二、 填空题
高中数学解三角形的实际应用举例综合测 试题(含答案) 解三角形的实际应用举例同步练习 1.在△ABC中,下列各式正确的是() A. ab =sinBsinA B.asinC=csinB C.asin(A+B)=csinA D.c2=a2+b2-2abcos(A+B) 2.已知三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2 ,则这个三角形的最大角是() A.135 B.120 C.60 D.90 3.海上有A、B两个小岛相距10 nmile,从A岛望B岛和C 岛成60的视角,从B岛望A岛和C岛成75角的视角,则B、C间的距离是() A.52 nmile B.103 nmile C. 1036 nmile D.56 nmile 4.如下图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,测量应当用数据 A.、a、b B.、、a C.a、b、 D.、、 5.某人以时速a km向东行走,此时正刮着时速a km的南风,那么此人感到的风向为,风速为. 6.在△ABC中,tanB=1,tanC=2,b=100,则c=. 7.某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向,则这时船与灯
塔的距离是. 8.甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300,则甲、乙两楼的高分别是. 9.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为,由此点向塔沿直线行走30米,测得塔顶的仰角为2,再向塔前进103 米,又测得塔顶的仰角为4,则塔高是米. 10.在△ABC中,求证:cos2Aa2 -cos2Bb2 =1a2 -1b2 . 11.欲测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸的标记物C,测得CAB=45,CBA=75,AB=120 m,求河宽.(精确到0.01 m) 12.甲舰在A处,乙舰在A的南偏东45方向,距A有9 nmile,并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行驶,若甲舰以28 nmile/h的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间,能尽快追上乙舰? 答案 1.C 2.B 3.D 4.C 5.东南2 a 6.40 7.103 8.203 ,203 3 9.15 10.在△ABC中,求证:cos2Aa2 -cos2Bb2 =1a2 -1b2 . 提示:左边=1-2sin2Aa2 -1-2sin2Bb2 =(1a2 -1b2 )-2(sin2Aa2 -sin2Bb2 )=右边. 11.欲测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸的标
解三角形应用举例 主标题:解三角形应用举例 副标题:为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词:距离测量,高度测量,仰角,俯角,方位角,方向角 难度:3 重要程度:5 考点剖析: 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 命题方向: 1.测量距离问题是高考的常考内容,既有选择、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题. 2.高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度: (1)测量问题; (2)行程问题. 规律总结: 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等,这样可以优化解题过程. (2)解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.
知识梳理 1.距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a,b,α 求AB:AB= a2+b2-2ab cos α 只有一点可到达b,α,β 求AB:(1)α+β+B=π; (2) AB sin β= b sin B 两点都不可到达a,α,β, γ,θ 求AB:(1)△ACD中,用 正弦定理求AC; (2)△BCD中,用正弦定理 求BC; (3)△ABC中,用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a,α求AB:AB=a tan_α 底部不可到达a,α,β 求AB:(1)在△ACD中用正弦 定理求AD;(2)AB=AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1).
解三角形应用举例练习题 一、选择题 1.某人向正东方向走x km后,他向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好 3 km,那么x的值为() A.3B.2 3 C.23或 3 D.3 2.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km,船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km,则A,B两船的距离为() A.23km B.32km C.15km D.13km 3.已知△ABC的三边长a=3,b=5,c=6,则△ABC的面积是() A.14 B.214 C.15 D.215 4.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为() A.a km B.3a km C.2a km D.2a km 5.已知△ABC中,a=2、b=3、B=60°,那么角A等于() A.135°B.90° C.45°D.30° 6.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是每小时() A.5海里B.53海里 C.10海里D.103海里 二、填空题 7.(2010~2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km,BC两地的距离
为20km,经测量∠ABC=120°,则AC两地的距离为________km. 8.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度是__________. 9. (2011·北京朝阳二模)如图,一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距42n mile,则此船的航行速度是________n mile/h. 三、解答题
第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等. 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图2). 4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为? ?????0,π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析 (2)α=β;(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°,点B 在点C 的南偏东60°,且AC =BC ,则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示,∠ACB =90°, 又AC =BC , ∴∠CBA =45°,而β=30°, ∴α=90°-45°-30°=15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示,设A ,B 两点在河的两岸,一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m , ∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算出A ,B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin B , 又∵B =30°,∴AB =AC sin ∠ACB sin B =50×2212 =502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h ,15 n mile/h ,则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d , 则d 2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900, ∴d =70,即两船相距70 n mile.
东方中学教案 1.知识与技能: 会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法;搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系;理解各种应用问题中的有关名词、术语,如:坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等;通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力 2.过程与方法: 通过巧妙的设疑,顺利的引导新课,为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况,采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系,铺开例题,设计变式,同时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法。 3.情感、态度与价值观: 实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解三角形,得到实际问题的解。
修改简记教学过程: 一、复习引入: 二、讲解范例: 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构,设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°,油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角 为6°20′,AC长为1.40m,计算BC的长(保留三个有效数字) 分析:求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内,求边长BC的问题,而根据已知条件, AC=1.40m,AB=1.95 m,∠BAC=60°+6°20′=66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角,所以求解BC可根据余弦定理解:由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A =1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66°20′=3.571 ∴BC≈1.89 (m) 答:油泵顶杆B C约长1.89 m 评述:此题虽为解三角形问题的简单应用,但关键是把未知边所处的三角形找到,在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义,并排除题目中非数学因素的干扰,将数量关系 从题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔 船在方位角为45°、距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向, 以9海里/h的速度向某小岛B靠拢,我海军舰艇立即以21海里/h的速度前去营救, 试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
解三角形公式汇总一、正弦定理 公 式 正弦定理: 推论1:(边化角) 推论2:(角化边) 题 型 (1)已知sinB求B:一题多解型 判断依据:大角对大边,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 (2)asin B=2b: 方法:边化角,推论1,a:b=sinA:sinB (3)3sin A=5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3 方法:角化边,推论2,sinA:sinB=a:b 二、余弦定理 公 式 余弦定理: (已知两边及夹角,求第三边) 推论1: (已知三边,求角) 推论2: (三边的平方关系) a2+b2-c2=2abcosC b2+c2-a2=2bccosA a2+c2-b2=2accosB 题 型 (1)已知a,b,角C,求c 方法:已知两边及夹角,求第三边,余弦定理c2=a2+b2-2abcosC (2)已知a:b:c=1:2:,求cosB 方法:已知三边求角,余弦定理推论1, (3)已知,求cosA 方法:已知三边平方关系,余弦定理推论2,b2+c2-a2=2bccosA 三、求三角形面积 公式:
题型1:已知a,b,c,A 求△ABC的面积. 方法:带公式 题型2:已知A,a,b+c,求△ABC的面积. 方法: 四、判断三角形形状 题型:cos cos sin +=,判断三角形形状 b C c B a A 方法1:角化边 公式:sinA:sinB:sinC=a:b:c 或 结论: 方法2:边化角 公式:a:b:c = sinA:sinB:sinC 将原式转化为sinBcosC+sinCcosB=sin2A,用三角恒等变换公式求解。注: 三角形内常见角度转化: 五、解三角形应用举例 仰角: 俯角: 坡度:
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角 形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC =75°,则B 、C 间的距离是________海里. 答案:5 6 解析:由正弦定理, 知 BC sin60°=AB sin (180°-60°-75°) , 解得BC =56(海里). 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m. 答案:10 3 解析:如图,OA 为炮台,M 、N 为两条船的位置,∠AMO =45°,∠ANO =60°,OM =AOtan45°=30,ON =AOtan30°= 3 3 ×30=103,由余弦定理,得 MN = 900+300-2×30×103× 3 2 =300=103(m). 3. (必修5P 18例1改编)如图,要测量河对岸A 、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点,测得∠ACB=60°,∠BCD =45°,∠ADB =60°,∠ADC =30°,则AB 的距离是__________ m. 答案:20 6 解析:由已知知△BDC 为等腰直角三角形,故DB =40;由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A 、B 、C 、D 四点共圆, 所以∠BAD=∠BCD=45°;
在△BDA 中,运用正弦定理可得AB =20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°,仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ,测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为________m. 答案:10 解析:如图,设塔高为h ,在Rt △AOC 中,∠ACO =45°,则OC =OA =h. 在Rt △AOD 中,∠ADO =30°,则OD =3h. 在△OCD 中,∠OCD =120°,CD =10. 由余弦定理得OD 2=OC 2+CD 2 -2OC·CD cos ∠OCD , 即(3h)2 =h 2 +102 -2h×10×cos120°, ∴ h 2 -5h -50=0,解得h =10或h =-5(舍). 5. 如图,一船在海上自西向东航行,在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角,前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角,已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行.当α与β满足条件________时,该船没有触礁危险. 答案:mcos αcos β>nsin(α-β) 解析:∠MAB=90°-α,∠MBC =90°-β=∠MAB+∠AMB=90°-α+∠AMB,∴ ∠AMB =α-β.由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得BM sin (90°-α)=m sin (α-β), 解得BM = mcos αsin (α-β).要使船没有触礁危险,需要BMsin(90°-β)=mcos αcos β sin (α-β) >n , 所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α-β)时船没有触礁危险. 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2) 方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等.