高三数学综合练习
2011.09.29
I (满分160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则
=--1
22z z
z ____________． 2．命题“01,2
=+-∈?x x R x ”的否定为___________________________． 3．将函数)3
cos(π
-=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左
平移
6
π
个单位，则所得到的函数图象的一条对称轴为___________________． 4．函数???≥-<+=0
),4(0
),4()(x x x x x x x f 的零点个数为_________．
5．设R a ∈，函数x
x
e a e x
f -?+=)(的导函数)(x f y '=是奇函数，若曲线)(x f y =的一
条切线的斜率为
2
3
，则切点的横坐标为__________． 6．对于任意两个正整数n m ,，定义一种新运算??
?+=⊕奇偶性不相同
与奇偶性相同与n mnm n m n m n m ,，若集
合{}
*∈=⊕=N b a b a b a P ,,20),(，则集合P 中元素个数为__________． 7．请仔细观察下面给出的两个等式的规律，①2
3150sin 90sin 30sin 2
2
2
=++
；②2
3
125sin 65sin 5sin 2
2
2
=
++
．根据你所得到的规律归纳出一个一般性的命题(使上面两个等式是该命题的特例)：_________________________________________________． 8．给出下面四个命题：
①“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线⊥l 平面α内所有直线”的充要条件是“⊥l 平面α”； ③“直线b a 、为异面直线”的充分不必要条件是“直线b a 、不相交”；
④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是___________．
9．如图，设y x ,满足约束条件???
??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数
)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则
b
a 3
2+的最小 值为_____________．
10．若函数)32(log )(22
1+-=ax x x f 在(]1,∞-内为增函数，则实数a 的取值范围为
______________．
11．已知数列{}n a 满足*+∈+==N n a n
a a n n ,)11(2,22
11，则数列{}n a 的通项公式为_______________．
12．已知圆8:2
2
=+y x O ，点)0,2(A ，动点M 在圆上，则OMA ∠的最大值为________．
13．设斜率为22
的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 交于不同的两点，且这两个交点
在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则椭圆离心率__________．
14．若关于x 的不等式2
2
)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围为
______________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分15分)
长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 为正方形，F E ,分别为11,BD AD 的中点． (1)求证：//EF 平面ABCD ； (2)设M 为1CC 的中点，当AD
DD 1
的比值为多少时，⊥DF 平面1MBD ，试给出证明．
16．（本小题满分14分）设全集U ＝R ，
（1）解关于x 的不等式01|1|>-+-a x （∈a R ）； （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝｛0)3
cos(3)3sin(|=-+-π
ππ
πx x x ｝
， 若(C U B A )恰有3个元素，求a 的取值范围．
17．(本小题满分14分)
过点),4()1,0(m B A 、且与x 轴相切的圆有且仅有1个，求实数m 的值和这个圆的方程．
18．(本小题满分14分)
如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有N N 23、的重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为)(N m 的重物，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m 的取值范围．
19．(本小题满分16分)
如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线．．．长为n a 的正方形),2,1( =n D C B A n n n n ，其对角线n n D B 依次放置在x 轴上(相邻顶点重合)．设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的
等差数列，点1B 的坐标为)0,(d ．
(1)当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上； (2)在(1)的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22
=上；
(3)为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22
>=p px y 上，求a 与d 之间所应满足的关系式．
20．(本小题满分16分)
设3
)(3
x x f =，对任意实数t ，记t x t x g t 32)(32
-=．
(1)求函数)()(8x g x f y -=的单调区间；
(2)求证：①当0>x 时，)()(x g x f t ≥对任意正实数t 成立；
②有且仅有一个正实数0x ，使得)()(008x g x g t ≥对任意正实数t 成立．
II (附加题，满分40分)
21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修：几何证明选讲
如图，已知PA 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，
30,3=∠=PAB AC ，求线段PB 的长．
B ．选修：矩阵与变换
设???
?????=?
?????=10021,2001N M ，试求曲线x x y cos 3sin +=在矩阵MN 变换下的曲线方程．
C ．选修：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求由三条曲线)(sin 3cos ,6
,0R ∈=+==ρρθθπ
θθ围成的图形的
面积．
D ．选修：不等式选讲
(1)设实数z y x ,,满足1=++z y x ，求2
2232z y x ++的最小值； (2)设z y x ,,均为正实数，且732=++z y x ，求
z
y x 3
14++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，⊥PA 平面2,1,,===⊥BC AC PA BC AC ABC ，求二面角C PB A --的
余弦值．
23．已知抛物线2
:2
x y C =与直线1:-=kx y l 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过
P 作抛物线C 的两条切线，B A 、为切点． (1)求证直线AB 恒过定点Q ；
(2)若直线PQ 与抛物线C 交于N M 、两点，求证：QN
QM
PN PM =．
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