2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）
A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x＜5}
2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）
A．18 B．18C．36 D．36
5．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）
A．B．C．1 D．2
6．已知命题p：?x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：?α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）
A．（￢p）∧q B．￢（p∧q）C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）
7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、
x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）
A．B．C．D．
8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A．48πB．32πC．12πD．8π
9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为
（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段
BC、CD的中点，若?=﹣，则向量与的夹角为（）
A．B．C． D．
11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）
A．B．C．D．
12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、
B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）
A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=．
14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为．
15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于．
16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；
（2）求sinBsinC的值．
18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：
（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；
（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；
（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．
21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．
22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解+析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x＜5}【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集定义和不等式性质求解．
【解答】解：∵集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，
∴S∩T={x|﹣7＜x＜﹣5}．
故选：A．
2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】几何概型．
【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m 的等式解之．
【解答】解：由题意x≤1的概率为，则，解得m=4；
故选C．
3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】分段函数的解+析式求法及其图象的作法．
【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．
【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．
4．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）
A．18 B．18C．36 D．36
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积．
【解答】解：由题意，=6，p=12，
双曲线方程与抛物线方程联立，可得P（9，6），
∴△PF1F2的面积为=36，
故选D．
5．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）
A．B．C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．
【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图△ABO），
变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，
直线的截距最小，z取最大值，由可得，A（，）
代值计算可得z=2x﹣y的最大值为1，
故选：C．
6．已知命题p：?x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：?α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）
A．（￢p）∧q B．￢（p∧q）C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：关于命题p：?x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，
关于命题q：?α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，
∴（￢p）∨q是真命题，
故选：C．
7．若函数f （x ）为区间D 上的凸函数，则对于D 上的任意n 个值x 1、x 2、…、
x n ，总有f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）≤nf （
），现已知函数f （x ）
=sinx 在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC 中，sinA +sinB +sinC 的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用凸函数对于D 上的任意n 个值x 1、x 2、…、x n ，总有f （x 1）+f （x 2）
+…+f （x n ）≤nf （），将函数f （x ）=sinx 在[0，
]，
sinA +sinB +sinC
，得到所求．
【解答】解：由已知凸函数的性质得到sinA +sinB +sinC =3sin
=
；
所以在锐角△ABC 中，sinA +sinB +sinC 的最大值为；
故选D ．
8．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．48π B ．32π C ．12π D ．8π 【考点】球的体积和表面积．
【分析】以AB ，BC ，AA 1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．
【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，
AB=BC=AA 1=2， ∴以AB ，BC ，AA 1为棱构造一个正方体，
则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，
该球的半径R=
=
，
∴该球的表面积为S=4πR 2=4π×3=12π． 故选：C ．
9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为
（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．
【解答】解：由题意，y=，
x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．
10．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段
BC、CD的中点，若?=﹣，则向量与的夹角为（）
A．B．C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意画出图形，结合?求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．
【解答】解：如图所示，
?=（﹣）?（﹣）=?﹣﹣=﹣；
由||=||=2，||=||=1，
可得?=1，
∴cos＜，＞=，
∴＜，＞=，
即向量与的夹角为．
故选：B．
11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）
A．B．C．D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．
【解答】解：如图（2），△PMN是该四棱锥的正视图，
由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，
由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，
设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=，
∴该容器的体积为==9．
故选：D．
12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、
B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）
A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆+=1的左焦点为（﹣1，0），∵点C（0，﹣2），且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心
∴=﹣1，=0
∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2 ①
∵，，
∴两式相减得： +=0
将①代入得：=，即直线l的斜率为k==，
∵直线l 过AB中点（﹣，1）
∴直线l的方程为y﹣1=（x+）
故答案为6x﹣5y+14=0，
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=0．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0．
故答案为：0．
14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．
【解答】解：∵y′=cosx，
∴切线的斜率k=y′|x=0=1，
∴切线方程为y﹣1=x﹣0，
即x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x ≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于﹣0.5．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解+析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f （x），即函数f（x）的周期为4，
则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），
又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），
又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），
又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；
则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，
故f（37.5）=0.5；
故答案为：0.5．
16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为2π．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+）+1．的最小正周期为π，可得f
（x）=2sin（2x+）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个
零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n﹣m的最小值．
【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）
化简可得：f（x）=2sin（2ωx+）+1．
∵最小正周期为π，即T=π，
∴，可得ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+）+1．
根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为，
右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=，则n=．
此时n﹣m可得最小值为2π．
故答案为2π．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．
（1）求a；
（2）求sinBsinC的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；
（2）由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案．【解答】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，
所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA
=25+16﹣=21，
则a=；
（2）由正弦定理得，==，
所以sinB==，sinC==
所以sinBsinC=×=．
18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为d，2a n=a2n﹣1．
取n=1，则2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1．
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）b n===，
∴数列{b n}的前n项和S n=+…+，
=+…++，
∴=+…+﹣=﹣，
∴S n=2﹣．
19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：
（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；
（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；
（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b．
（Ⅱ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值．
（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率．
【解答】解：（Ⅰ）∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，
随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，
∴由甲校样本频数分布条形图知：
6+a+33+6=60，解得a=15，
由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．
（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为==67，
乙校的平均值为=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．
（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，
从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：
EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，
其中2 人来自同一学校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，
∴两人来自同一学校的概率p=．
20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
取AC中点O，连接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且．
∴．
21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）根据题意可得圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，由此求得k的范围．
（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据=2，可得x2=2x1，从而求得k的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径
，
即＜，求得﹣＜k＜．
（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C：（x﹣6）2+y2=20，化简可得（1+k2）x2﹣12x+16=0，
∴x1+x2=，x1?x2=．
若=2，则x2=2x1，则x1=，x2=，∴则x1?x2=?=，∴k=±1，
故直线l：y=±x．
22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，结合f（x）的定义域得出f′（x）的符号变换情况，从而得出f（x）的单调性；
（II）对a进行讨论，判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，得出f（x）在[1，+∞）上的最小值f min（x），即可得出结论．
【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）==，
令f′（x）=0得2x2﹣x+a=0，
解得x1=，x2=，
∵a＜0，∴x1＜0，x2＞0，
∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）若a=0时，f（x）=x2﹣x，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意．
若a＜0，由（I）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
当≤1即﹣1≤a＜0时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，
当＞1即a＜﹣1时，f（x）在[1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
∴f min（x）=f（）＜f（1）=0，不符合题意．
若a＞0，令f′（x）=0得2x2﹣x+a=0，
∴当△=1﹣8a≤0即a时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f min（x）=f（1）=0，符合题意．
若0，则2x2﹣x+a=0有两正实数解，x1=，x2=，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递
减，在（，+∞）上单调递增，
∵＜1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，
综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．
2017年4月3日