专题七二次函数综合题的解题思路
一、方法简述
二次函数综合题通常作为压轴题, 意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何,其中函数的载体以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。
函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．因此培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径．
二、解题策略
二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
三、典例分析
例2．已知抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （1，0），C （0，-（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ①如图1，当PBC ?的面积和 ABC ?面积相等时，求点P 的坐标；
②如图2，当PCB BCA ∠=∠时，
求直线CP 的解析式
解：（1）抛物线的解析式为42
+-=x x y （2）①1P
(2,1), 237(
22P -
，337(,22
P +- ②∵)03(，B ，)3-0(，C ，∴3==OC OB
∴O
OBC OCB 45=∠=∠ 设直线CP 的解析式为3-=lx y 解法1：作PD ⊥y 轴，垂足为D 如图2-1， 由已知易得PCD OAC ∠=∠， 又∵O
CDP COA 90=∠=∠，
∴PDC ?∽COA ?，∴3==OA OC
CD PD ，
设m PD =，则m CD 31=，m OD 3
1
3-=
∴)31
3-(m m P +，，将其代入抛物线解析式342-+-=x x y
得311=m 或0=m （舍去）. ∴)916-311(，P ，∴直线CP 的解析式为33
1-=x y .
解法2：过P 作PM ⊥x 轴，过C 作CN ⊥y 轴，交PM 于N . 易证: ACO ?∽PCN ?,求得)9
16
-311(
，P 分析：以上两种方法通过构造两个直角三角形相似去求直线CP 上另一点)9
16
-311(，P
解法3：如图2-2，延长CP 交x 轴于点Q .设α=∠OCA ，则α-=∠O
ACB 45 ∵BCA PCB ∠=∠ ∴α-=∠O
PCB 45
∴α--=∠-∠=∠45(45O
O
PCB OBC OQC ∴OQC OCA ∠=∠又∵COQ AOC 90=∠=∠∴AOC Rt ?∽COQ Rt ? ∴
OQ OC OC OA = ∴OQ
3
31= ∴9=OQ ∴)0,9(Q 直线CQ 的解析式为331-=
x y ，即直线CP 的解析式为33
1
-=x y . 分析：延长CP 交x 轴于点Q ，通过构造两个直角三角形相似去求直线CP 上另一点)0,9(Q 解法4：如图2-3，过点B 作x 轴的垂线，交CP 于点.
∵O
ABC 45=∠ ∴O
CBQ 45=∠
∴CBQ ABC ∠=∠
又∵ACB QCB ∠=∠，BC BC = ∴CBA ?≌CQB ? ∴2==AB BQ ∴点Q 的坐标为)2,3(-
解法5：如图2-3，作点A 关于BC 的对称点Q ，则点Q 在直线CP 上，
连接BQ ，则2==AB BQ .∵O
ABC 45=∠ ∴O
CBQ 45=∠,
∴O
ABQ 90=∠，∴点Q 的坐标为)2,3(-
解法6：作BE ∥y 轴交CP 于Q ，作CE ∥x 轴交BE 于E ，可得四边形OCEB 是正方形，由此得到ACO Rt ?≌QCE Rt ? ,可求Q (3，-2 )
分析：以上三种方法本质是通过点B 作x 轴的垂线交CP 于点Q ，从而构造两个直角三角
形全等去求直线CP 上另一点Q （3，-2）
解法7：如图2-4，过点A 作x 轴的垂线 交CB 于点Q ，交CP 于点G . 则O
ABQ AQB COG 45=∠=∠=∠ ∴2==AB AQ
∴22=BQ ，又∵23=BC ∴22223=-=-=BQ BC CQ
又∵QCG ACQ ∠=∠，O
ABC CGQ 45=∠=∠ ∴CAB ?∽CGQ ?
∴
QG AB QC BC = ∴QG
2
223= ∴32=QG ∴38322=+
=+=QG AQ AG ∴)3
8
1(-，G 解法8：过点A 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线相交于点D ，AD 交CP 于点Q ，如图2-5，
∵O
OCB 45=∠， ∴O
BCD 45=∠, ∵PCB ACB ∠=∠， ∴OCA DCQ ∠=∠， 又∵O
CDQ COA 90=∠=∠ ∴DCQ ?∽DCA ?∴
31==CO CD OA DQ ∴31=DQ ,∴3
8
=AQ ∴)3
8
1(-，Q
分析：以上两种方法是通过点A 作x 轴的垂线交CB 于点Q ，从而构造两个三角形相似去求另一点)3
8
1(-，Q .
解法9：过点B 作BQ AC CP Q QD AB D OQ 则 又∵OC OB =，OQ OQ =
∴OBQ ?≌OCQ ?，∴O
QOC QOB 45=∠=∠， ∴OD QD =
∵COA QDB ∠=∠，CAO QBD ∠=∠ ∴QDB ?∽COA ?
∴
31==OC AO DQ BD .设x BD =，则x QD OD 3== ∴33=+x x 得43=x ，)4
9
,49(-Q 分析：以上方法是通过点B 作BQ AC CP Q CQA BCP ACB QAC ∠=∠=∠=∠
∴CQ CA =
∵O
ACB ABC ACB OAC 45+∠=∠+∠=∠ ∴QCD OAC ∠=∠ 又∵O
QDC COA 90=∠=∠
∴COA ?≌QDC ? ∴ 1==OA DC ∴3==OC QD ∴)43(--，Q ，
分析：以上方法是通过点A 作AQ BC PC Q )43(--，Q B BE CP y E 设
α=∠=∠BCA PCB ，则ACB EBC ∠==∠α又∵O
OBC OCB 45=∠=∠
∴EBC OBC ACB OCB ∠-∠=∠-∠ ∴OBE OCA ∠=∠
又∵OB OC =，O
BOE COA 90=∠=∠ ∴COA ?≌BOE ? ∴OE OA = ∵)0,1(A ∴1==OA OE ∴)1,0(-E 设直线BE 的解析式为1-=mx y
∵直线BE 过点)0,3(B ，∴013=-m ，∴3
1=
m
直线BE 的解析式为131-=
x y ，直线CP 的解析式为33
1
-=x y . 四、强化训练
1.如图，抛物线m x x y -++-=122
与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中
C 点的坐标是(0，3)，顶点为
D 点，抛物线的对称轴与x 轴相交于
E ，连接CD .
（1）求m 的值；
（2）求CDE ∠的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在点P ，使得PDC ? 是等腰三角形若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，
请说明理由.
2.已知：抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C ，重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．
设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线c bx x y ++=2
经过A （2-，0）、B （2，4）两点，与x 轴的另一个交点为D ，点P （x ，y ）是线段AB 上的一个动点，过P 点的直线PQ ⊥x 轴，与抛物线相交于点Q . （1）求b 、c 的值；
（2）求线段PQ 长度的最大值；
（3）当PQ 的长度取最大值时，在抛物线上是否存在M 、N 两点（点M 的横坐标小于点N 的横坐标），使得以P 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出M 、N 的
4.如图，抛物线c bx ax y ++=2
经过A (1-，0)、
C (0，3-)两点，对称轴为直线1=x ，
D 点为顶点，抛物线与x 轴的另一交点为B ，连接BC 交对称轴于
E 点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为直线BC 的下方，抛物线上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过P 作y 轴的平行线交BC 于F 点.
①若点P 的横坐标为m ，当四边形DEFP 是平行四边形时，求m 的值；
②在①的情况下，抛物线上是否存在点Q ，使得QBC ?的面积与PBC ?的面积相等，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
5.（1）如图1，A 是抛物线2
12x y =上的一个动点，B 、C 两点都在抛物线2
22
1x y =
上，且A 、B 、C 三点都在第二象限，AC ∥x 轴，AB ∥y 轴,P 是y 轴上的一个动点.
①连接BC 、PA 、PB 求证：AB C ?与A PB ?面积相等；
②连接PC ，当A PB ?的面积为6时，求:C B P P -的最大值及此时点P 的坐标；
图 2
（2）抛物线2
1nx y =(n >1)、2
21x n
y =
如图2所示，A 是抛物线21nx y =(n >1)上的一个动点， 点A 的横坐标为m (m <0), B 、C 两点都在抛物线2
21x n
y =上，AC ∥x 轴，
AB ∥y 轴,当AB C ?是等腰三角形时，试用n 的代数式表示m .
6.如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2，4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且2=AD ，3=AB . （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．
从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒 （30≤≤t ），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.
① 当2
5
=
t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；
② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
7. 已知：二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OC OB <）是方程016102
=+-x x 的两个根，且A 点坐标为（6-，0）． （1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，CEF ?的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点
E 的坐标，判断此时BCE ?的形状；若不存在，请说明理由．
8.已知抛物线的顶点是C (0，a ) (0>a ，a 为常数)，并经过点(a 2，a 2)，点D （0，a 2）为一定点.
(1)求含有常数a 的抛物线的解析式；
(2)设点P 是抛物线任意一点，过P 作x PH ⊥轴，垂足是H ，求证：PH PD =；
(3)设过原点O 的直线l 与抛物线在第一象限相交于A 、B 两点，若DB DA 2=，且
24=?ABD S ，求a 的值.
9.如图，抛物线a ax ax y 8-2-2
=)0(>a 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 点，
M 是抛物线的顶点，090=∠BCM ，N 为x 轴下方，抛物线上的一个动点（点N 不与点B 、C 重合）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的点N ，使得CBN CON ∠=∠， 若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.
10.如图，抛物线m ：k h x y ++-=2)(4
1
与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为(3,)M 25
4
,将抛物线m 绕点B 旋转ο180，得到新的抛物线n ,它的顶点为D . （1）求抛物线n 的解析式；
（2）设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF .如果P 点的坐标为(x ，y )，PFE ?△的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；
（3）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G 为圆心，A 、B 两点间的距离为直径作⊙G ，试判断直线CM 与⊙G 的位置关系，并说明理由.
11.如图①，已知抛物线bx ax y +=2
)0(≠a 经过A (3，0)、B (4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；
(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且ABO NBO ∠=∠，则在(2)的条件下，求出所有满足
POD ?∽NOB ?的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．
12.已知二次函数c bx ax y ++=2
)0(≠a 的图象与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，其顶点横坐标为1，且经过（2，3）、（3-，12- ）两点. （1）求此二次函数的解析式；
（2）若直线l ：kx y =与线段BC 交于点D （不与B 、C 重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B 、O 、D 为顶点的三角形与BAC ?相似若存在，求出该直线的解析式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若P 点在该二次函数对称轴右边不与顶点重合的图象上，请直接写出PCO ∠与ACO ∠的大小关系，并写出此时点P 的横坐标P x 的取值范围.
专题七 二次函数
1.解：（1）∵C (0，3)在抛物线m x x y -++-=122
上 ∴31=-m 解得2-=m （2）由4)1(322
2
+--=++-=x x x y 得D ( 1 ,4)
13
40
1tan =--=--=
∠C D C D y y x x CDE 得045=∠CDE
(3)当DP DC =时，点P 与点C 关于抛物线m x x y -++-=122
的对称轴直线1=x 对称， 此时P ( 2 ,3)
当PC PD =时，设P （x ，322
++-x x ）如图， ∵0
45=∠=∠CDF FCD
∴PCD PCD PCM ∠-=∠--=∠0
13545180
PDN PDN PDN ∠-=∠--=∠0
0013545180
∵PC PD = ∴PDC PCD ∠=∠ ∴PDN PCM ∠=∠
∴PCM ?≌PDN ? ∴PN PM =
∴)32(42
++--=x x x 解得：2531+=
x ，12
5
32<-=
x （不合题意舍去） 此时P (
253+ ,2
5
5-)。 综上所述：当点P 的坐标为( 2 ,3)或(
253+ ,2
5
5-)时，PDC ?是等腰三角形。
2.解：（1）由题意得129302
b a a b
c c ?=???-+=???=-?? 解得23432a b c ?=???
=??
=-???
∴此抛物线的解析式为224
233
y x x =+- （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .
设直线AC 的表达式为y kx b =+
则302k b b -+=??=-?， 解得232
k b ?=-?
??=-? ∴此直线的表达式为2
23
y x =--．
把1x =-代入得43y =-
∴P 点的坐标为
13?
-- ??
?， （3）S 存在最大值
理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△．
∴
OD OE OC OA =，即223m OE -=．
∴3
32OE m =-， 连结OP
OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△
=
()1131341
323212222232
m m m m ????-?-?--??-?? ??? =()2
2333314244m m m -
+=--+ ∵304
-< ∴当1m =时，34S =最大
3．（1）根据题意得：??
?=++=+-424024c b c b 解得???-==2
1c b 22
-+=x x y
（2）设直线AB 的解析式为n mx y +=
根据题意得：??
?=+=+-4202n m n m 解得???==2
1
n m 2+=x y
则P )2(+x x ， 、Q )2(2
-+x x x ， , PQ=4)2()2(2
2
+-=-+-+x x x x 当x=0时，4=最大值PQ
（3）当PQ 取最大值时，P （0，2）.
22-+=x x y 当y=0时，022=-+x x ，1221=-=x x ，，D （1，0）
假设在抛物线上存在M 、N 两点，使得以P 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形。
有两种情况：
①当M 1N 1∥PD 、MN=PD 时，设M 1)2,(2
-+x x x 则N 1[
]
2)1()1(),1(2
-++++x x x 即N 1)3,1(2
x x x ++ （注：平移线段，端点对应坐标差相等）
2)3(222=+--+x x x x -0 解得x=-2 M ），
（021-、N 1 (-1,-2) ②当M 2N 2与PD 互相平分时，设M 2)2,(2
-+x x x 则N 2[
]
2)1()1(),1(2
--+--x x x 即N 2)3,1(2
x x x --
x x x x 3)2(222-=-+--0 解得23=x （当x=2时，1-x=-1<2不合题意舍去），14-=x
M 2(-1,-2)、N 2(2,4)
综上所述：当PQ 的长度取最大值时，在抛物线
22-+=x x y 上存在M ），
（021-、N 1 (-1,-2) 使得四边形M 1PD N 1是平行四边形、存在M 2(-1,-2)
N 2(2,4) 使得四边形M 2P N 2D 是平行四边形。
4. 解：（1）根据题意得???????
=--==+-1
230a
b
c c b a 解得：?????-=-==321c b a ,322
--=x x y
（2）①点B （3，0），直线BC 为3-=x y .当1=x 时，2-=y .E (1，2-)
N 2）
4)1(3222--=--=x x x y ，D (1，4-) 2=DE
设P (m ，322
--m m )，则F (m ，3-m ).
m m m m m PF 3)32()3(22+-=----=
当四边形DEFP 是平行四边形时，DE PF =. 232
=+-m m 解得：21=m ，12=m （不合题意舍去） 所以2=m ②方法一：
如图，∵四边形DEFP 是平行四边形 ∴PD ∥BC ∴PBC DBC S S ??=此时点Q 与点D 重合 ∴1Q (1，4-)
设对称轴1=x 与x 轴相交于G 点，过G 点作BC GM ⊥
过P 点作BC PN ⊥于N .
∵GE ∥FP ∴PFN GEM ∠=∠
又∵2==DE GF ，O
PNF GME 90=∠=∠ ∴GEM ?≌PFN ? ∴PN GM = 过G 作BC 的平行线交抛物线于2Q 、3Q 两点. 直线2Q 3Q 为1-=x y
设2Q （n ，322
--n n ）代入1-=x y 得：322--n n =1-n 解得：217-31=
n ，21732+=n ∴2Q （2173-，2171-）、3Q （2
173+，217
1+） 综上所述：在抛物线上存在1Q (1，4-)、
2Q （2173-，2171-）、3Q （2
173+，217
1+）
5. （1）设点A 的坐标为（m ，2m 2
）∵AB ∥y 轴交抛物线2
22
1x y =于B 点 , ∴B （m ，
2m 21）AC ∥x 轴交抛物线222
1
x y =于C 点 ∴C （2m ，2m 2）∴AC=-m ∵点P 到AB 的距离为（-m ）∴APB ABC S AC AB S ??==?=)AB(-m 2
1
21.
（2）由（1）得AB=2m 2
-2m 21=223m ，64
3)(232132=-=-??==??m m m S S ABC APB
解得：m=-2 ∴B(-2，2)、C （-4，8） A(-2，8) ∵∠BAC=900
,
∴102436AC AB B C 22=+=+=
直线BC 为：43--=x y
∵当点P 与点B 、C 不在同一直线上时，B C PC -PB < ，当点P 与点B 、C 在同一直线