求圆锥侧面展开图—扇形圆心角公式的推导
圆锥的侧面展开图及相关计算 教学目标： 1、了解母线的意义，体会母线、高与底面圆的半径的关系. 2、理解掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式，并会运用它解决相关问题. 3、进一步培养学生分析，解决问题的能力. 教学过程： 一、创设情境，激发兴趣 1、生活中的圆锥欣赏 2、圆锥的形成 二、自主学习，问题探究 l 3、如上图，你能用刚才得到的结论快速的解决下列问题吗？ ①如r=12，a=20，则S 侧=，S 全 =. ②如h=12，r=5，则S 侧=，S 全 =. ③如a=2， r=1，则n=. ④如h=3， r=4，则n=. ⑤已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC分别绕直角 边AC、BC和斜边AB旋转一周，画出旋转后的图形并求所得几何体的侧面积？ 三、直击中考，发现问题 1、小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽，如下图，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼貌需要纸板的面积为（） （A）648πcm2（B）432πcm2（ C ）324πcm2（D）216πcm2 2、一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ . 3、已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（） A.100cm B. C.10cm D. 4、若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（） （A）120° （B）135° （C）150° （D）180° 5、如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（） A.4π cm2 B.6π cm2 C.9π cm2 D.12π cm26、如下图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪 去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）
圆柱和圆锥的侧面展开图（四） 2006-8-1 13:35 页面功能【字体：大中小】【打印】【关闭】 圆锥侧面展开图(扇形)中的各元素与圆锥的各元素之间的关系极为密切，即扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。因此我们要重视空间图形与平面图形的互相转化。 教学步骤 （一）明确目标 在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7.21圆锥的侧面展开图”所要研究的内容。 （二）整体感如 和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算，为学习立体几何打基础。 圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点。 本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行计算。 （三）教学过程 ［幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］前面屏幕上展示的物体都是什么几何体？［安排回忆起的学生回答：圆锥］在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？安排举手的学生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是
一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。 ［教师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt，绕直线SO旋转一 周得到的图形是什么？［安排中下生回答：圆锥］大家观察圆锥的底面，它是Rt 的哪条边旋转而成的？［安排中下生回答：OA］圆锥的侧面是 Rt的什么边旋转而得的？［安排中下生回答，斜边］，因圆锥是 Rt绕直线SO旋转一周得到的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆 锥的什么？［安排中下生回答：轴］大家观察圆锥的轴SO应具有什么性 质？［安排学生稍加讨论，举手发言：圆锥的轴过底面圆的圆心，且与底面圆垂直，轴上连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高。］圆锥的侧面是Rt的 斜边绕直线SO旋转一周得到的，同圆柱相类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？［安排中下生回答：母线］给一圆锥，如何找到它的母线？［安排中上生回答：连结圆锥顶点与底面圆任意一点的线段都是母线］圆锥的母线应具有什么性质？［安排中下生回答：圆锥的母线长都相等］ ［教师边演示模型，边启发提问］：现在我把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图形？［安排中下生回答：扇形］请同学们仔细观察：并回答：1．圆锥展示图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实是圆 锥的什么线段？［安排中下生回答：扇形的弧长是底面圆的周长，即，扇形的半径。 就是圆锥的母线］圆锥半径已知则展开图扇形的弧长已知，圆锥母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求，当然展开图扇形的圆心角也可求。 ［教师边演示模型，边启发提问］：如图，现在将圆锥沿着它的轴剖开，哪位同学回答，经过轴的剖面是一个什么图形？［安排中下生回答：等腰三角形］这个等腰三角形的腰与底分别是圆锥的什么？［安排中下生回答：腰是圆锥的母线，底是圆锥的直径。]这个等腰三角形的高也就是圆锥的什么？［安排中下生回答：高］这个经过轴的剖面，我们称之谓“轴截面”，在轴截面里包含了有关圆锥的所有元素：轴、高、母线，底面圆半径，这个等腰三角形的顶角， 我们称之谓“锥角”，大家不难发现圆锥的母线、高、底面圆半径及锥角构成了一个直角三 角形，它给定旋转一周得圆锥的那个直角三角形，当然给定半径、母线；圆锥侧面展开图——扇形的面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题，其实质就是解这个直角三角形的问题。 幻灯展示例题： 如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，（1）计算这个展开图的圆心角及面积；（2）画出它的展开图。 要计算展开图的面积，哪位同学知道展开图扇形的弧长是圆锥底面圆的什么？［安排中下
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 圆柱、圆锥的侧面展开图 一、选择题 1. （2011江苏无锡，4，3分）已知圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ） A ．20cm 2 B ．20πcm 2 C ．10πcm 2 D ．5πcm 2 考点：圆柱的计算。 分析：圆柱的侧面积=底面周长×圆柱的高，据此即可求解． 解答：解：圆柱的底面周长是：2×2π=4πcm ， 则圆柱的侧面积是：4π×5=20πcm 2 ． 故选B ． 点评：本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法． 2. （2011内蒙古呼和浩特，3，3）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为（ ） A 、2 B 、4 C 、2π D 、4π 考点：圆柱的计算． 专题：计算题． 分析：圆柱侧面积=底面周长×高． 解答：解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即2π，宽为母线长为2cm ，所以它的面积为4πcm 2．故选D ． 点评：本题考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键． 3. （2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径， 高BC ＝ 6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC ＝ 2 3 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A ．（6 4π + ）cm B ．5cm C ．cm D ．7cm
考点：圆柱的表面展开图，勾股定理 专题：圆柱的表面展开图、勾股定理 分析：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长．在Rt △ACP 中，AC ＝()632cm =，PC ＝2 3 BC ＝4cm ， 所以()5AP cm ==． 解答：B 点评：解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题． 4. （2011新疆乌鲁木齐，7，4）露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1．扇形的圆心角等于120°，则此扇形的半径为（ ） A 、3 B 、6 C 、3 D 、6 考点：圆锥的计算。 分析：圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长．
例说圆锥及其侧面展开图 我们在解决圆锥的有关计算问题时，常常将其转化为平面图形，再利用平面图形的有关知识来解决。 如图，圆锥的底面半径r ，圆锥母线ι，圆锥的高h ，构成直角三角形，从而有ι2=r 2+h 2。圆锥的底面直径AB 与圆锥母线SA 、SB 构成等腰△SAB ，等腰△SAB 又称圆锥的轴截面。 圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的底面周长2πr 为弧长，以圆锥母线ι为半径的扇形，从而根据扇形面积公式得S 侧=360n πι2或S 侧=2 1·2πr·ι=πrι。 圆锥的全面积是指侧面积与底面积的和，公式为S 全=πrι+πr 2。 上述四个公式共有5个量：ι、h 、r 、n 、S 侧，由于每个公式中只有三个量， 从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。 我们经常要用到“四个公式”和“三个图形”的相关性质解决有关圆锥问题。 例1、如图1已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ） A ．24πcm B ．26πcm C ．29πcm D ．212πcm
分析：因为是用扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积就是这个扇形的面积。 解：所以圆锥的侧面积是360120×πr 2=12π， 所以选D 。 例2、（2009年江汉油田）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ） A ．9° B ．18° C ．63° D ．72° 分析：因为是用剩下扇形纸片围成的圆锥形纸帽，所以剩下扇形纸片就是圆锥形纸帽的侧面展开图，根据圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开图的弧长相等，求出剩下扇形纸片的圆心角即可。 解：30％圆周的一个扇形圆心角=360°×30％=108°，设出剩下扇形纸片的圆心角为n°，则180 n ×π×40=2π×10，n=90，所以剪去的扇形纸片的圆心角=108°－90°=18°，所以选B 。 例3、已知圆锥的全面积为4πcm 2，底面半径为1cm ，则其母线长为（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．5 cm 分析：本题是已知圆锥的全面积，可直接利用圆锥的全面积公式S 全=πr l +πr 2，即可求出圆锥的母线长。 解：圆锥的全面积：S 全=πr l +πr 2=πl +π=4π，则l =3，所以选B 。 例4、一个圆锥的侧面积是18 ，侧面展开图是半圆，则圆锥的高为（ ） A ．9 B ．33 C ．3 D ．3 分析：根据圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开图的弧长相等，结合弧长和扇形面积公式，求出圆锥的底面半径或母线长，因为圆锥的底面半径、母线长、高构成直角三角形，所以再利用勾股定理即可解决问题。
圆柱和圆锥的侧面展开图教案设计第一课时 素质教育目标 ( 一 ) 知识教学点 1.使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形. 2. 使学生会计算圆柱的侧面积或全面积. ( 二 ) 能力训练点 1.通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维 能力和概括能力 ; 2.通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力 ; 3.通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问 题中抽象出数学模型的能力 . ( 三 ) 德育渗透点 1.通过圆柱的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透真知 产生于实践的观点 ; 2.通过应用圆柱展开图进行计算，解决实际问题，向学生渗 透理论联系实际的观点 ; 3.通过圆柱侧面展开图的教学，向学生渗透化曲面为平面， 化立体图形为平面图形的转化的观点 ; 4.通过圆柱轴截面的教学，向学生渗透抓主要矛盾、抓本质 的矛盾论的观点 .
( 四 ) 美育渗透点 通过学习新知，使学生领略主体图形美与平面图形美的联 系，提高学生对美的认识层次. 重点难点疑点及解决办法 1.重点： (1) 圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念 及其特征 ; (2) 会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积. 2.难点：对侧面积计算的理解 . 3.疑点及解决方法：学生对圆柱侧面展开图的长为什么是底 面圆的周长有疑虑，为此教学时用模型展开，加强直观性教 学 . 教学步骤 ( 一) 明确目标 在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形 的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如 何计算呢 ?这就是今天7.21 圆柱的侧面展开图要研究的内 容。 ( 二) 整体感知 圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积?为了回答上述问题，首先在小学已具 有直观感知的基础上，用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体 有关的一系列概念，然后利用圆柱的模型将它的侧面展开，
《圆锥的侧面展开图》教案 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力． 2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力． (三)情感与价值观要求 1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验． 2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际． 教学重点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点 经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？ [主]见过，如漏斗、蒙古包． [师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的． [师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题． Ⅲ．新课讲解 一、圆锥的有关概念 圆锥：是由一个底面和一个侧面围成的. 母线：我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.如图中的l . 高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高h.
二、探索圆锥的侧面展开图的形状 [师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状． [生]圆锥的侧面展开图是扇形． [师]能说说理由吗？ [生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形． [师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？ [生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？ [生]是扇形． [师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象． 三、探索圆锥的侧面积公式 [师]请以你课前准备的圆锥模型为工具，运用所学的知识，探究圆锥侧面积的计算公式.并考虑以下问题： (1)你是用什么方法怎样进行探究的？ (2)你认为运用什么知识可以求出圆锥的侧面积？ (3)在你的探究得到的结论中，需要已知哪几个量才可以求出圆锥的侧面积？ (4)用公式表示圆锥的侧面积. [师]小结：圆锥的侧面展开图是以圆锥的顶点为圆心、母线为半径的扇形，扇形的弧长 等于圆锥底面的圆周长.圆锥侧面积等于圆锥的侧面展开图的面积，即S侧=1 , 2 cl rl π =其中c 是圆锥底面圆的周长，r是底面圆的半径，l是圆锥的母线长.
典型例题一 例 矩形的边 ， ，以 为轴旋转一周得到的圆柱体的表 面积是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（ ）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）. 典型例题二 例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积． 解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π 5 则圆柱表面积为π + =π ?π?+=5060)5(260S 2 ． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π 3 则圆柱表面积为π + =π ?π?+=1860)3(260S 2 ． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算． 典型例题三 例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2 cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm （2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302 cm π （B ）602 cm π （C ）902 cm π （D ）1202 cm π 分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）. 典型例题四 例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2 ∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ． ∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2． 说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算． 典型例题五 例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是
(2019年1月最新最细）2019全国中考真题解析考点汇编☆圆柱、圆锥的侧面展开图一、选择题 1. （2019江苏无锡，4，3分）已知圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ） A ．20cm 2 B ．20πcm 2 C ．10πcm 2 D ．5πcm 2 考点：圆柱的计算。 分析：圆柱的侧面积=底面周长×圆柱的高，据此即可求解． 解答：解：圆柱的底面周长是：2×2π=4πcm ， 则圆柱的侧面积是：4π×5=20πcm 2 ． 故选B ． 点评：本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法． 2. （2019内蒙古呼和浩特，3，3）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为（ ） A 、2 B 、4 C 、2π D 、4π 考点：圆柱的计算． 专题：计算题． 分析：圆柱侧面积=底面周长×高． 解答：解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即2π，宽为母线长为2cm ，所以它的面积为4πcm 2．故选D ． 点评：本题考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键． 3. （2019四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径， 高BC ＝ 6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC ＝ 2 3 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A ．（6 4π + ）cm B ．5cm C ． D ．7cm 考点：圆柱的表面展开图，勾股定理 专题：圆柱的表面展开图、勾股定理 分析：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长．在Rt △ACP 中，AC ＝()632cm =，PC ＝2 3 BC ＝ 4cm ，所以()5AP cm ==．
《圆柱和圆锥的侧面展开图》教学设计 第一课时 素质教育目标 （一）知识教学点 1．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形． 2．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积． （二）能力训练点 1．通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力； 2．通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力； 3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力． （三）德育渗透点 1．通过圆柱的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透“真知产生于实践”的观点； 2．通过应用圆柱展开图进行计算，解决实际问题，向学生渗透理论联系实际的观点； 3．通过圆柱侧面展开图的教学，向学生渗透化曲面为平面，化立体图形为平面图形的“转化”的观点； 4．通过圆柱轴截面的教学，向学生渗透“抓主要矛盾、抓本质”的矛盾论的观点．
（四）美育渗透点 通过学习新知，使学生领略主体图形美与平面图形美的联系，提高学生对美的认识层次． 重点·难点·疑点及解决办法 1．重点：（1）圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征； （2）会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积． 2．难点：对侧面积计算的理解． 3．疑点及解决方法：学生对圆柱侧面展开图的长为什么是底面圆的周长有疑虑，为此教学时用模型展开，加强直观性教学． 教学步骤 （一）明确目标 在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？这就是今天“7．21圆柱的侧面展开图”要研究的内容。 （二）整体感知 圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？为了回答上述问题，首先在小学已具有直观感知的基础上，用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体有关的一系列概念，然后利用圆柱的模型将它的侧面展开，使学生认识到圆柱的侧面展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高（或母线）、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算． 〔三〕教学过程
圆锥的侧面展开图问题 解决圆锥问题的关键是明确圆锥的侧面展开图各元素与圆锥各元 素的关系——圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，弧 长是圆锥的底面圆的周长．问题往往涉及圆锥的母线长、圆锥的高以及 底面半径之间的关系，勾股定理则是架起三元素间的桥梁．如图1，设 圆锥的底面半径为r ，母线AB 的长为l ，高为h ，则r 2+h 2=l 2，圆锥的 侧面展开图是扇形ACD ，该扇形的半径为l ，设扇形ACD 的圆心角是θ， 则扇形的弧CD 的长=2πr =180l θπ，圆锥的侧面积为S 侧=12 ×2πr ×l =πrl ． 一、计算圆锥的侧面积 例1 （邵阳）如图2所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为 2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）． 分析：依题意，圆锥主视图是一个等边三角形，所以圆锥的母线长为 2，底面半径为1，可以直接代入公式求得． 解：依题意，r=1，l =2，所以S 侧=π×1×2=2π． 二、求圆锥的母线长 例2 （桂林）已知圆锥的侧面积为8πcm 2, 侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为（ ）． （A ）64cm （B ）8cm （C ）22cm （D ）2cm 分析：圆锥的侧面积即其侧面展开图扇形的面积，由扇形的面积公式可求出圆锥的母线长（侧面展开图扇形的半径即为圆锥的母线长）． 解：由2360n l S π=扇形，即2360 n l π＝8π，解得l ＝8（cm ）．故应选（B ）． 三、计算圆锥的底面半径 例3 （日照）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（ ）． （A ）10cm （B ）30cm （C ）40cm （D ）300cm 分析：依题意，将直径为60cm 的圆形铁皮分割成三个大小相等的扇形，这三个扇形即三个相同的圆锥容器的侧面展开图．根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”可求每个圆锥容器的底面半径． 解：直径为60cm 的圆形铁皮的周长为60πcm ，故将该铁皮分割成三个大小相等的扇形的弧长为20πcm ． 图1 图2
中考题中圆柱、圆锥的计算 一、选择题 1. 已知圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ） A ．20cm 2 B ．20πcm 2 C ．10πcm 2 D ．5πcm 2 2. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为 （ ）A 、2 B 、4 C 、2π D 、4π 3. 如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高 BC ＝ 6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC ＝2 3BC ．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 （ ） A ．（64π +）cm B ．5cm C ．35cm D ．7cm 4. 露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图），用它们恰好能围成一个 圆锥模型，若圆的半径为1．扇形的圆心角等于120°，则此扇形的半径为（ ） A 、3 1 B 、 2 C 、 3 D 、6 5. 一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等 腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积为（ ） A 、2π B 、12π C 、4πD、8π 6.如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三 角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（ ）A ．9 B ．33 9- C ．325 9- D ．323 9- 7. 一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角等
于（） A、150° B、120° C、90° D、60° 8.若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线l与底面半径r 之间的函数关系的是（） A、B、C、D、 9.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（） A、1 B、3 4 C、1 2 D、1 3 10.将一个圆心角是90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积S侧和底面积S底的关系是（） A、S侧=S底 B、S侧=2S底 C、S侧=3S底 D、S侧=4S底 11. 如图是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的是（） A、60° B、90° C、120° D、180° 第11题第12题12.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A. 17cm B. 4cm C. 15cm D. 3cm 13.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）
圆柱、圆锥的侧面展开图 一、选择题 1. （2011江苏无锡，4，3分）已知圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是（ ） A ．20cm 2 B ．20πcm 2 C ．10πcm 2 D ．5πcm 2 考点：圆柱的计算。 分析：圆柱的侧面积=底面周长×圆柱的高，据此即可求解． 解答：解：圆柱的底面周长是：2×2π=4πcm ， 则圆柱的侧面积是：4π×5=20πcm 2． 故选B ． 点评：本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法． 2. （2011内蒙古呼和浩特，3，3）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则圆柱的侧面积为（ ） A 、2 B 、4 C 、2π D 、4π 考点：圆柱的计算． 专题：计算题． 分析：圆柱侧面积=底面周长×高． 解答：解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即2π，宽为母线长为2cm ，所以它的面积为4πcm 2．故选D ． 点评：本题考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键． 3. （2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径， 高BC ＝ 6cm ，点P 是母线BC 上一点且PC ＝23 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A ．（6 4π+）cm B ．5cm C ．cm D ．7cm 考点：圆柱的表面展开图，勾股定理 专题：圆柱的表面展开图、勾股定理 分析：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长．在Rt △ACP 中，AC ＝ ()632cm =，PC ＝23 BC ＝ 4cm ，所以()5AP cm ==．
小学六年级下册 圆柱与圆锥 展 开 图 练习 （含答案） 小学六年级下册圆柱与圆锥的展开图练习 一．解答题（共19小题） 1．（2011?龙湾区）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可搭配选择． （1）你选择的材料是_________号和_________号． （2）你选择的材料制成水桶的容积是几升． 2．把一张长方形铁皮按下图剪开正好能制成一个底面半径2分米的铁皮油桶．这张铁皮的面积至少多少平方分米？3．（2006?渝中区）如图阴影部分正好能做成一个圆柱形的小油桶，求这个圆柱形小油桶的体积．（接着处忽略不计）4．一个圆柱体的侧面是一个正方形，直径是，正方形面积是_________（保留两位小数） 5．一个圆柱体底面周长4cm，高2cm，画出它的侧面展开图． 6．一个圆柱，底面直径和高都是2厘米．请你画出它的表面展开图．（作图时取整厘米数） 7．如图是一块长方形铁皮，用它做一个圆柱形的水桶，现在要配上一块正方形铁皮，至少需要多大面积的正方形的铁皮？（单位：分米） 8．一个圆柱底面直径是10厘米，高是20厘米，把圆柱的侧面沿着它的一条高剪开，再打开，然后按1：10的比例尺画出它的侧面展开图．并标明数据． 9．一个圆柱的侧面展开是一个边长厘米的正方形，这个圆柱的底面半径是_________厘米． 10．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长18厘米． （1）共需要彩带多少厘米？ （2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？ （3）这个礼品盒的体积是多少？ 11．画出一个底面半径1厘米、高5厘米的圆柱的表面展开图． 12．画一个底面直径是2厘米、高3厘米的圆柱体的表面展开图（每个方格边长1厘米．）
24.4.2 圆柱、圆锥的侧面展开图及其计算 教学目标 （一）知识教学目标 1．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形． 2．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积． 3．使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形。 4．使学生会计算圆锥的侧面积或全面积。 （二）能力训练目标 1．通过圆柱、圆锥形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力； 2．通过圆柱、圆锥侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力； 3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力． 教学重点·难点· 1．重点：（1）圆柱的形成和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征； （2）会用展开图的面积公式计算圆柱、圆锥的侧面积和全面积． 2．难点：圆柱、圆锥的侧面积计算的理解． 教学过程 一、复习导入 在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？（展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高（或母线）、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．）
二、新课学习 （一）圆柱学习 （幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等），前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪些特征？ （教师演示模型并讲解）：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？大家再观察，圆柱的上、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？上、下底面圆为什么相等？圆柱的侧面是矩形ABCD的哪条线段旋转而成的？ 矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线用叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是上、下底面的半径。 圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？圆柱上、下底面圆有什么位置关系？A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？（教师边演示模型，边启发提问）：现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什 么线段？想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？（底面圆周长×圆柱母线）大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？ 幻灯展示［例1］如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已 知，求这个圆柱形木块的表面积（精确到）．（安排学生上黑板做题，其余在练习本做） 解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，则
圆锥的侧面展开图及相关计算 教案目标： 1、了解母线的意义，体会母线、高与底面圆的半径的关系. 2、理解掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式，并会运用它解决相关问题. 3、进一步培养学生分析，解决问题的能力. 教案过程： 一、创设情境，激发兴趣 1、生活中的圆锥欣赏 2、圆锥的形成 二、自主学习，问题探究 3、如上图，你能用刚才得到的结论快速的解决下列问题吗？ ①如r=12，a=20，则S侧=，S全=. ②如h=12，r=5，则S侧=，S全=. ③如a=2， r=1，则n=. ④如h=3， r=4，则n=. ⑤已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC 分别绕直角边AC、BC和斜边AB旋转一周，画出旋转后的图形 并求所得几何体的侧面积？p1EanqFDPw 三、直击中考，发现问题 1、小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板 制作圆锥形的生日礼帽，如下图，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为 36cm，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼貌需要纸板的面积为 < ）DXDiTa9E3d 2、一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ .RTCrpUDGiT 3、已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为< ） A.100cm B. C.10cm D. 4、若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 < ） 圆柱和圆锥的侧面展开图 教学目标 1、使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形． 2、使学生会计算圆柱的侧面积或全面积． 3、通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力； 4、通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力； 5、通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力． 教学重点： (1)圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征； (2)会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积． 教学难点： 对侧面积计算的理解． 教学过程： 一、新课引入： 在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？这就是今天“7．21圆柱的侧面展开图”要研究的内容． 圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？为了回答上述问题，首先在小学已具有直观感知的基础上，用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体有关的一系列概念，然后利用圆柱的模型将它的侧面展开，使学生认识到圆柱的侧面展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高(或母线)、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算． 二、新课讲解： (幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等)，前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪些特征？(安排举手的学生回答：圆柱的两个底面都是圆面，这两个圆相等，侧面是曲面．) (教师演示模型并讲解)：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？(安排中下生回答：圆柱)．大家再观察，圆柱的上、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？(安排中下生回答：上底是以A为圆心，AD旋转而成的，下底是以B为圆心，BC旋转而成的．)上、下底面圆为什么相等？(安排中下生回答：因矩形对边相等，所以上、下底半径相等，所以上、下底面圆相等．)大家再观察，圆柱的侧面是矩形ANCD的哪条线段旋转而成的？(安排中下生回答：侧面由DC旋转而成的．) 矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线AB叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是上、下底面的半径．圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？(安排中下生回答：相等．)哪位同学发现圆柱上、下底面圆有什么位置关系？(安排中下生回答：平行)A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？(安排中等生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心)哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？(安排中上学生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底，圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高，圆柱的底面圆平行且相等．) (教师边演示模型，边启发提问)：现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？(安排中下生回答，矩形)这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什么线段？(安排中下生回答：一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长)．大家想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？(安排中下生回答：S圆柱侧=底面圆周长×圆柱母线)大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？(安排中下生回答：S圆柱侧=底面周长×高) 幻灯展示例1 如图7-181，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD=18cm，AB=30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm2)． 矩形的AD边是圆柱底面圆的什么？(安排中下生回答：直径．)题目中的哪句话暗示了AD是直径？(安排中上生回答：第一句，“把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD”．因圆柱轴过底面圆的圆心，矩形过轴则意味AD过底面圆圆心，所以AD是圆柱底面圆直径．)AB=30cm是告诉了圆柱的什么线段等于30cm？(安排中下生回答：圆柱的高等于30cm)什么是圆柱的表面积？哪位同学知道？(安排中上生回答：圆柱侧面积与两底面圆面积的和．) 小学六年级下册圆柱与圆锥 展 开 图 练习 （含答案） 小学六年级下册圆柱与圆锥的展开图练习 一．解答题（共19小题） 1．（2011?龙湾区）请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可搭配选择． （1）你选择的材料是_________号和_________号． （2）你选择的材料制成水桶的容积是几升． 2．把一张长方形铁皮按下图剪开正好能制成一个底面半径2分米的铁皮油桶．这张铁皮的面积至少多少平方分米？ 3．（2006?渝中区）如图阴影部分正好能做成一个圆柱形的小油桶，求这个圆柱形小油桶的体积．（接着处忽略不计） 4．一个圆柱体的侧面是一个正方形，直径是1.5dm，正方形面积是_________（保留两位小数） 5．一个圆柱体底面周长4cm，高2cm，画出它的侧面展开图． 6．一个圆柱，底面直径和高都是2厘米．请你画出它的表面展开图．（作图时取整厘米数） 7．如图是一块长方形铁皮，用它做一个圆柱形的水桶，现在要配上一块正方形铁皮，至少需要多大面积的正方形的铁皮？（单位：分米） 8．一个圆柱底面直径是10厘米，高是20厘米，把圆柱的侧面沿着它的一条高剪开，再打开，然后按1：10的比例尺画出它的侧面展开图．并标明数据． 9．一个圆柱的侧面展开是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的底面半径是_________厘米． 10．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长18厘米． （1）共需要彩带多少厘米？ （2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？ （3）这个礼品盒的体积是多少？ 11．画出一个底面半径1厘米、高5厘米的圆柱的表面展开图． 12．画一个底面直径是2厘米、高3厘米的圆柱体的表面展开图（每个方格边长1厘米．）六年级数学-圆柱和圆锥的侧面展开图
(完整版)小学六年级下册圆柱与圆锥的展开图练习
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