4 一次函数的应用
第1课时一次函数的表达式
1．了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数．
2．能由两个条件求出一次函数的表达式，由一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关实际问题．
重点
根据所给信息确定一次函数的表达式．
难点
用一次函数的关系式解决有关实际问题．
一、情境导入
课件出示：小红同学受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作．
师：你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度与小球个数之间的关系吗？学了本节内容后，你就能轻松解决了．
二、探究新知
1．一次函数的表达式．
课件出示题目：
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v (m/s)与其下滑时间t (s)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3 s时物体的速度是多少？
分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设出函数关系式，再把已知的坐标代入关系式，求出待定系数即可．2．确定表达式所需的条件．
课件出示教材第89页“想一想”．
学生讨论得出：确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件．
说明：①一次函数的表达式y＝kx＋b有两个常数k，b，要求出k和b的值需要两个条件，而正比例函数中b＝0，只需求k，所以只需一个条件．②因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线．所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线．所以只需要一点就可以确定这条直线．
三、举例分析
课件出示教材第89页例1.
分析：因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线，所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式．
拓展：利用待定系数法确定一次函数的关系式，其步骤为：一设：根据题意，先设出函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)；二代：确定两对对应值或图象上两个点的坐标，分别代入函数关系式，得到关于k，b的两个方程；三解：求出k，b的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数)；四定：最后确定函数关系式．
四、练习巩固
1．教材第89～90页“随堂练习”1～3题．
2．补充练习：
(1)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧后剩下的长度y cm与燃烧时间x h的函数关系用图象表示为下图中的( )
(2)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，那么k，b的值分别是( )
A．k＝－1，b＝1
B．k＝－2，b＝1
C．k＝1，b＝1
D．k＝2 ，b＝1
(3)一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则其表达式是( )
A ．y ＝－x
B ．y ＝－32x
C ．y ＝2x
D ．y ＝－3x
(4)已知直线l 经过点(0，3)和点(3，0)，求直线l 的函数表达式．
五、小结
确定一次函数表达式的方法：由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式：若为正比例函数，则设其表达式为y ＝k x(k≠0)，代入一个除原点以外的点的坐标，求出k 的值，即可确定函数表达式；若为一般的一次函数，则设其表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)，代入两个点的坐标，求出k ，b 的值，从而确定一次函数的表达式．
六、课外作业
教材第90页习题4.5 第1～4题．
确定函数表达式看似简单，但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手．本节课正是基于这点认识，借助引例，首先从方法上指导学生确定函数表达式，即从判断类型、确定k 值(或k 和b 的值)两个方面确定函数表达式．由于学生此时尚没有学到二元一次方程组，对于确定一次函数表达式存在一定的困难，教师可以建议学生用“代换”的方式，转化为一元一次方程，以此求出一次函数表达式当中的两个未知数，进而确定一次函数的表达式．
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解 知识梳理 10 min. 1、一次函数的概念 若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图象 ①一次函数y=kx+b 的图象是一条经过（0,b ）（- b k ，0）的直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线。 ②在一次函数 y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
（1）当0x =时，y 的值是多少？ （2）当0y =时，x 的值是多少？ （3）当x 为何值时，0y >？ （4）当x 为何值时，0y <？ 答案：解：（1）当0x =时，1y =-；（2）当0y =时，1 2 x =； （3）当12x > 时，0y >；（4）当12 x <时，0y <． 例2、如图，直线 对应的函数表达式是（） 答案：A 例3、(2008 江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地,已知乙比甲先出发, 他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法:【 】
一次函数应用题 初一（ ）班 姓名： 学号： . 1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式； ⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？ （注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费） 2、转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关，现经过试验得到下列数据： 通过电流强度（单位：A ） 1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化铁回收率（%） 75 79 88 87 78 如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁的回收率. (1) 将试验所得数据在如图所示的直角坐标系中用点表示；（注：该 图中坐标轴的交点代 表点（1，70）） (2) 用线段将题（1）中所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y 关 于通过电流x 的函数关系，试写出该函数在1.7≤x ≤2.4时的表达式； (3) 利用（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于 85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A ）. O x （A ） y （%） （2，70） （1，70） 75 80 85
1.（2013?鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．
一次函数的应用 知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题 1：交点问题 一次函数b kx y +=的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点。 【典型例题】 1．直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 2．直线y=－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 3．函数y=x+1与x 轴交点为（ ） A ．（0，-1） B ．（1，0） C ．（0，1） D ．（-1，0） 4．直线y=-3 2 x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．34 D ．3 2 5．直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则S △AOB = 。 6．若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是 。 7．如图所示，已知直线y=kx-2经过M 点，求此直线与x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积． 2：面积问题 面积：一次函数y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2 b k (1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。 (2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。 (3)：往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。 1. 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。 2. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （4,3），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积； 3. 已知：m x y l +=2:1经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线b kx l +=:2经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0，-3），它与x 轴交于点D
专题11 一次函数及其应用 命题点1函数图像与坐标轴交点坐标 1. 关于直线l ：y ＝kx ＋k(k ≠0)，下列说法不正确．．． 的是( ) A . 点(0，k)在l 上 B . l 经过定点(－1，0) C . 当k>0，y 随x 的增大而增大 D . l 经过第一、二、三象限 【答案】D 【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A 将点(0，k )代入y ＝kx ＋k 中成立，所以点(0，k )在直线 l 上 √ B 当x ＝－1时，y ＝－k ＋k ＝0，所以直线l 经过定点(－1， 0) √ C 当k ＞0时，y 随x 的增大而增大 √ D 当k >0时，直线l 经过第一、二、三象限；当k <0时， 直线l 经过第二、三、四象限 命题点2一次函数与二元一次方程 2. 设点A(a ，b)是正比例函数y ＝－3 2x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是 ( ) A . 2a ＋3b ＝0 B . 2a －3b ＝0 C . 3a －2b ＝0 D . 3a ＋2b ＝0 【答案】D
【解析】本题考查了正比例函数的图象与性质．把点A (a ，b )代入y ＝－3 2x 中，得b ＝ －3 2 a ，即2 b ＝－3a ，∴3a ＋2b ＝0. 3. 如图，两直线y 1＝kx ＋b 和y 2＝bx ＋k 在同一坐标系内图象的位置可能是( ) 【答案】A 【解析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A 、 由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k <0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b >0，k <0，符合；B 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b >0， y 2＝bx ＋k 中，b <0，k >0，不符合；C 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b <0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k <0，不符合；D 、由图可得，y 1＝kx ＋b 中，k >0，b >0，y 2＝bx ＋k 中，b <0，k <0，不 符合； 故选A. 命题点3函数的增减性 4. 已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( ) A . k ＞1，b ＜0 B . k ＞1，b ＞0 C . k ＞0，b ＞0 D . k ＞0，b ＜0 【答案】A 【解析】原解析式可变形为y ＝(k －1)x ＋b ，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴ k －1>0, ∴k >1，∵图象与x 轴正半轴相交，∴b ＜0, ∴k >1，b ＜0. 5. 已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标x 与对应的纵坐标y 分别如下表所示，两个函数图象仅有一个交点，则交点的纵坐标y 是( ) 甲 x 1 2 3 4 y 1 2 3 乙
1、某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？ （2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？ 2、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元． （1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式． （2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据； 式组，求出它的解集，并由此分析如 何配制这两种饮料，
3、园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 4、某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰 （1）冰箱厂有哪几种生产方案？ （2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民 多少元？ （3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套 6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物 品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．
4.4一次函数的应用专题练习 一、填空题 1.如果正比例函数y＝(k－3)x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 ____． 2.若一次函数y＝mx＋|m－1|的图象过点(0，3)，且y随x的增大而增大，则m 的值为____． 3.若函数y＝(m＋1)x2－m2是正比例函数，则其图象经过第__一、三__象限． 4.一个长为100 m，宽为80 m的长方形场地要扩建成一个正方形场地，设长增 加x m，宽增加y m，则y与x的函数关系式是____，自变量的取值范围是____． 5.已知点(a，4)在连接点(0，8)和点(－4，0)的线段上，则a＝____． 6.若函数y＝(a－3)x|a|－2＋2a＋1是一次函数，则a＝____． 7.将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是____． 8.点(－3，2)，(a，a＋1)在函数y＝kx－1的图象上，则k＝__－__，a＝____． 9.直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解 是x＝____． 10.直线y＝－x与直线y＝x＋2与x轴围成的三角形面积是____． 11.若函数y＝(m＋1)x2－m2是正比例函数，则其图象经过第____象限． 12.一个长为100 m，宽为80 m的长方形场地要扩建成一个正方形场地，设长增 加x m，宽增加y m，则y与x的函数关系式是____，自变量的取值范围是____． 13.已知点(a，4)在连接点(0，8)和点(－4，0)的线段上，则a＝____． 14.将直线y＝3x＋1向下平移2个单位，所得直线的表达式是____． 15.点A(1，m)在函数y＝2x上，则点A关于y轴的对称点的坐标是____． 16.某食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和 价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要的费用最少为____元．
八年级数学一次函数的应用专题汇编 一．解答题（共12小题） 1．（?常德模拟）抗战救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓 库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库，已知甲库有粮食80吨，乙库有粮食100吨，而A库的容量为110吨，B库的容量为70吨．从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨?千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币） 路程（千米）运费（元/吨?千米） 甲库乙库甲库乙库 A库20 15 13 12 B库25 20 10 8 （1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式； （2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 2．（?深圳模拟）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位： cm 2 ）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础 价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据． 薄板的边长（cm）20 30 出厂价（元/张）50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）40cm的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价﹣成本价）． ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？
3．（?武昌区校级模拟）某商店购进A型和B型两种电脑进行销售，已知B型电脑比A型电脑的每台进价贵500元，若商店用3万元购进的A型电脑与用 4.5万元购进的B型电脑的数量相等．A型电脑每台的售价为1800元，B型电脑每台的售价为2400元． （1）求A、B两种型号的电脑每台的进价各是多少元？ （2）该商店计划用不超过12.5万元购进两种型号的电脑共100台，且A型电脑的进货量不超过B型电脑的． ①该商店有哪几种进货方式？ ②若该商店将购进的电脑全部售出，请你用所学的函数知识求出获得的最大利润． 4．（?深圳二模）在“五?一”期间，“佳佳”网店购进A、B两种品牌的服装进行销售，已知B 种品牌服装的进价比A种品牌服装的进价每件高20元，2件A种品牌服装与3件B种品牌服装进价共560元． （1）求购进A、B两种品牌服装的单价； （2）该网站拟以不超过1120元的总价购进这种两品牌服装共100件，并全部售出．其中A 种品牌服装的售价为150元/件，B种品牌服装的售价为200元/件，该网站为了获取最大利润，应分别购进A、B两种品牌服装各多少件？所获取的最大利润是多少？
〖教学目标〗 ◆1、理解和掌握一次函数的图像及其性质 ◆2、学会运用函数这种数学模型来解决生活和生产中的实际问题，增强数学应用意识 〖教学重点和难点〗 教学重点：一次函数图像及其性质 教学难点：体会函数、方程、不等式在解决实际问题时的密切联系，并在一定条件下互相转化的各种情形，感受贴近生活的数学，培养解题能力。 〖教学过程〗 一．做一做 由图象可判断 y 是 x 的什么函数？你能求出它的解析式吗？ 解：由图象可判断 y 是 x 的一次函数 设函数关系式为 把点A （0，6），B （4，8）代入得 ∴y=0.5x+6 二．问 题 如右图,线段a 表示弹簧(设弹簧的最大可挂6kg 的物体)的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系的图象,请结合图象回答下列问题: (1)问题中的两个变量y 与x 之间是不是一次函数关系? (2)y 与x 之间的函数关系是________________; (3)由图知弹簧的原长是____cm. 当x=3时,弹簧的长度y=___cm;实际意义是什么？ ?? ?+==b k b 486x b kx y +=?? ?==5 .06 k b x
变式:弹簧秤上挂上物体后会伸长(弹簧的最大可挂6kg 的物体),测得一弹簧的长度y(cm) 与所挂物体的质量x(kg)有如下关系: 问:(1)能否用一次函数刻画这两个变量y 与x 的关系？如果能,请求出这个函数的解析式。 请大家把表格中的点在坐标系中描出来. (2)当x=8时,y=10.实际意义是什么？ 解： （1）建立直角坐标系，画出以表中的x 值为横坐标，y 的值为纵坐标的7个点。 7个点在同一线段上，则所求的函数可以看成是一次函数！ 设函数关系式为 把点A （0，6），B （4 ，8）代入得 ∴y=0.5x+6 (2)当x=8时,y=10.实际意义：弹簧秤上挂上8kg 物体时已经超过弹簧的最大可挂6kg 了，弹簧变形了，没有意义。 问:除了用前面的方法来解决问题外，还有其它方法吗？ 三．实践 蓝鲸是现存动物中体形最大的一种，体长的最高记录是３２００cm.根据生物学家对成熟的雄性鲸的研究，发现全长和吻尖到喷水孔的长度存在函数关系。 用待定系数法求出函数解析式 ?? ?+==b k b 486寻找数据间的规律 b kx y +=?? ?==5 .06 k b x 得出函数的解析式 利用函数解决实际问题
一次函数的应用 用一次函数解决实际生活问题： 常见类型： （1）求一次函数的解析式； （2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等. 一次函数解决实际问题的步骤： (1)认真分析实际问题中变量之间的关系； (2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式； (3)利用一次函数的有关知识解题 探究类型之一利用一个一次函数的方案选择 例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件. (1)求这两种商品的进价； (2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 类似性问题 1.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，
并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表： 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题： （1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式； （2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？ 探究类型之二利用两个一次函数的方案选择 例3 川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会
一次函数应用题练习 姓名 1、A市和B各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台，若从A市运一台到C 市，D市各需要4万元和8万元，从B市运一台到C市，D市各需3万元和5万元。（1）设B市运往C市X台，求总费用Y关于X的函数关系式； （2）若总费用不超过95万元，问共有多少种调运方法？ （3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？ 2、某蔬菜生产基地计划由25个劳动力承包60亩地，种植甲乙丙三种不同的蔬菜，规定每个劳动力只种一种蔬菜，且甲种蔬菜必种，经测算这些不同品种的蔬菜每亩所需的劳动力和预计产值如下表： ,且预计产值达最高,最高产值是多少? 3．为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费;超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费,设某户每月用水量为X(立方米),应交水费为Y(元)。 （1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x间的函数关系式； （2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
4、某日通过某公路收费站的汽车中，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴通行费10元，小车每辆次缴通行费5元。（1）设这一天小车缴通行费的辆次为X，总的通行费收入为Y元，试写出Y关于X的函数关系式。 （2）若估计缴费的3000辆次汽车中，大车不少于20%且不大于40%，试求该收费站这一天费总数的范围。 5、某人有一批货物的成本为X元，如果他将这批货物5月1出售，可获利200元，然后将本利都存入银行，已知银行存款的月息为2%，6月1日他从银行中全部取出本利，设他共获利Y元。 （1）写出Y（元）与X（元）之间的函数关系式。 （2）如果这批货物6月1日出售，可获利220元，但要付保管费5元，试问这批货物成本多少元时，5月1日出售比6月1日出售获利多。
一次函数的应用 课题复杂一次函数的应用安排共（ 1 ）课程标准 课本9394 学习目标1．进一步提高识图能力，通过函数图象获取信息．2．能利用函数图象解决较复杂的实际问题． 教学重点两个一次函数图象的应用．教学难点通过函数图象解决实际问题．教学方法合作交流法 教学准备让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 课前作业先自学课本94页 教学过程 教学环节课堂合作交流 二次备课 （修改人：）
环节一 思考： 图4－10中，l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？ 自学互研生成能力 知识模块一两个一次函数图象在同一坐标系中的应用 师生合作完成教材第94页例3的学习与探究． 课中作业课本94页例4 环节二典例讲解： 例：某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国有出租车中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国有出租车的月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系的图象(两条射线)如图所示，观察图象，回答下列问题． (1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式； (2)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有的车合算？ (3)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ (4)如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的合算？ 课中作业 课本95页例3 环节三 仿例：如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是( D )
实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法 一、确定解析式的几种方法： 1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法） 2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法） 3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法） 二、重点题型 1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想； 2.运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题 （一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题 特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题， 1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价 20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式； （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济． 2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租 车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。 （1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的解析式。 （2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。 3、 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 （1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；（分段函数） （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。 4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此公司研制了两种可行方案：方案一：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售。方案二：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工。 ⑴ 写出方案一所获利润W 1； ⑵ 求出方案二所获利润W 2（元）与精加工蔬菜数x （吨）之间的函数关系式； ⑶ 你认为任何安排加工（或直接销售）使公司获利最多？最大利润是多少？
一次函数在生活中的应用 + 孙岩 即墨市第二职业中专
一次函数在生活中的应用 一问题背景: 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 二问题再现: 冬季快到了,大润发商场的保暖内衣开始搞促销活动了.每套保暖内衣原价是60元,优惠方式1:每套内衣打九折。优惠方式2:当购买套数多于10套,购买总价减去两套的价钱.采用哪种优惠方式可以达到省钱的目的? 三解决方案: 在教学过程中,根据学生在前面已经学习了函数的定义,函数的表示方法,及函数的性质等知识后,学生可以根据以上知识,解决一次函数的应用问题.我采用”自组织教学法”提出以下几个问题: 1分别写出付款总额的函数的表达式 2比较两种付款总额的大小 3通过分析数据得出结论 4归纳本题的函数模型 5进一步探讨,有没有更简洁明了的分析方法. 6能否再举一个类似的生活实际应用例子.. 四解决过程:
学生1:写出优惠方式一的付款总额的函数表达式:设顾客买的套数为X（X为正整数）,则付款总额为Y1=60*0.9*X=54X 学生2:写出优惠方式二的付款总额的函数表达式Y2=(X-2)*60. 共同比较：(1)当两种方式付款总额相等时:54X=(X-2)*60,得出X=20 (2)Y1>Y2,X<20,学生答第二种方法省钱. (3) Y1 一次函数的应用 课题复杂一次函数的应用课时安排共（1 ）课时课程标准 课本93-94 学习目标1．进一步提高识图能力，通过函数图象获取信息．2．能利用函数图象解决较复杂的实际问题． 教学重点两个一次函数图象的应用．教学难点通过函数图象解决实际问题．教学方法合作交流法 教学准备让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 课前作业先自学课本94页 教学过程 教学环节课堂合作交流 二次备课 （修改人：） 环节一 思考： 图4－10中，l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？ 自学互研生成能力 知识模块一两个一次函数图象在同一坐标系中的应用 师生合作完成教材第94页例3的学习与探究． 课中作业课本94页例4 环典例讲解： 例：某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个个体车主或一 节二xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国有出租车公司的月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系的图象(两条射线)如图所示，观察图象，回答下列问题． (1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式； (2)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？ (3)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ (4)如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的合算？ 课中作业 课本95页例3 环节三 仿例：如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是( D ) A．①②B．②③④C．②③D．①②③ 课中作业 课本95页想一想 课后作业设计： 课本95页习题4.7 （修改人：） 一次函数中考专题 一．选择题 1．如图，是某复印店复印收费y（元）与复印面数（8开纸）x（面）的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费（）A．0.4元 B．0.45 元C．约0.47元D．0.5元 2．如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），则不等式kx＞ax+4的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2 3．如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 4．甲、乙两汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（） A．0个B．1个 C．2个 D．3个 【解答】①由函数图象，得a=120÷3=40故①正确， ②由题意，得5.5﹣3﹣120÷（40×2），=2.5﹣1.5，=1． ∴甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③如图：∵甲车维修的时间是1小时，∴B（4，120）． ∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达． ∴E（5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3=80， ∴乙返回的时间为：240÷80=3，∴F（8，0）． 设BC的解析式为y1=k1t+b1，EF的解析式为y2=k2t+b2，由图象，得 ，解得，， 一次函数实际应用（解析版） 1．已知A、B两地之间有一条长270千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A 地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为千米/时，a=，b= （2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式． （3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 2．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示． （1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量． （2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式． （3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟． 3．（8分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中 途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y （件），甲车间加工的时间为x (时），y 与x 之间的函数图象如图所示． （1）甲车间每小时加工服装的件数为 件；这批服装的总件数为 件． （2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装的数量y 与x 之间的函数关系式． （3）求甲、乙两车间共同加工完1 000件服装时甲车间所用的时间． 4.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都是10cm 的圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相同的管子在容器的6cm 高度处连通（即管子底离容器底6cm ，管子的体积忽略不计），、现在三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm ，如图①所示，若每分钟同时向乙、丙中注入相同量的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h （cm ）与注水时间t （min ）的图象如图②所示． （1）乙、丙两个容器的底面积之比为 ． （2）图②中a 的值为 ，b 的值为 ． （3）注水多少分钟后，乙与甲的水位相差2cm ？ y (件) 4 一次函数的应用（第1课时） 一、学生起点分析 本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法．在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法． 二、教学任务分析 本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念——基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．本节课的教学目标是： ①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． ②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法； ③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维． 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节： 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置．第一环节：复习引入 内容：提问：（1）什么是一次函数？ （2）一次函数的图象是什么？ （3）一次函数具有什么性质？ 一次函数的应用 课题简单一次函数的实际应用课时安排共（ 1 ）课时课程标准 91页-92页 学习目标1．能利用一次函数解决简单的实际问题．2．了解一次函数与一元一次方程之间的关系． 教学重点利用一次函数解决简单的实际问题． 教学难点根据一次函数图象分析解决问题． 教学方法合作交流法 教学准备先自学课本91页 课前作业让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 教学过程 教学环节课堂合作交流 二次备课 （修改人：） 环节一 师生合作完成教材第92页“议一议”的学习与探究． 讨论：一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？ 课中作业 课本91页例2 环节典例讲解： 例：科学家通过实验探究出，一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P(千帕)随温度t(℃)变化的函数关系是P＝kt＋b，其图象如图． 二(1)根据图象求出上述气体的压强P与温度t的函数关系式； (2)当压强P为200千帕时，求上述气体的温度． 解：(1)因为函数P＝kt＋b的图象经过点(0，100)，(25，110) 所以， ? ? ?b＝100，① 25k＋b＝110，② 把①代入②得，k＝ 2 5 ， 故所求函数关系式为P＝ 2 5 t＋100(t≥0)； (2)当P＝200时，由(1)得 2 5 t＋100＝200，解得t＝250. 即当压强为200千帕时，气体的温度是250℃. 课中作业 课本92页做一做 环 节 三 仿例：某种拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y(升)与工作时间x(小时)之间为一次函数关系如图． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)一箱油可供拖拉机工作几小时？ 解：(1)设y＝kx＋b，根据题意， 得 ? ? ?30＝2k＋b， 40＝b， ∴ ? ? ?k＝－5， b＝40， ∴y＝－5x＋40； (2)8小时． 中学导学稿 班级: 姓名: 组别: 第 号 班级: 姓名: 组别: 第 号 年级 八 科目 数学 课题 25.4一次函数与方程、不等式的关系 课时 1 主备 审核 教务处 日期 课型 新授 学习目标 （重难点） 1、通过数形结合领悟一次函数与一元一次方程及一元一次不等 式之间的联系。 2、能根据一次函数的图像求二元一次方程的近似解。 学习过程 活动一:学前准备 在同一直角坐标系中画出一次函数y=2x-1和y 1=-2x+3、y 2=21 x-2 活动二：合作探究 1、观察一次函数y=2x-1的图像，试想当x 取何值时，它所对应的y 的值等 于5？当x 取哪些值时，它们所对应的y 的值都大于5？当x 取哪些值时，它 们所对应的y 的值都小于5？ 年级 八 科目 数学 课题 25.5一次函数的应用 课时 1 主备 董瑞敏 审核 教务处 日期 课型 新授 学习目标 （重难点） 1、经历应用一次函数解决实际问题的过程。 2、提高通过 留村中学导学稿 文字、表格、图像获取信息的能力。 3、通过解决实际问题领悟函数与方程、不等式的关系及其应用价值。 学习过程 活动一：学前准备 已知一次函数y=4x+300 1、当x=200时,y= ；当y=1220时，x= ； 2、当y ＞1500时，x ＞ 。 活动二：合作探究 合作完成167页的“试着做做” 2、完成169页的“一起探究” 活动三：课堂练习 完成课本169页练习 活动四：课堂检测 完成课本169页习题1、2、3题心得体会：2、已知函数y1=-2x+3和y2= 2 1 x-2 通过计算的方法解决以下问题： （1）当x取何值时，y 1 =y 2 （2）当x取何值时，y 1 ＞y 2 （3）当x取何值时，y 1 ＜y 2 3、试着通过观察学前准备所画的y1=-2x+3和y2= 2 1 x-2的函数图像，解决问题2中的（1）、（2）、（3）三个问题。 x+y=7 4、通过画一次函数的图像直接写出方程组 的解 3x-2y=6 活动三：课堂练习 完成166页习题1题. 活动四：课堂检测 完成课本166页习题3题。 心得体会：八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用4.4.3复杂一次函数的应用教案新版北师大版
一次函数图像应用题(带解析版答案)
一次函数实际应用(带解析)
八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用教案(新版)北师大版
八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用4.4.2简单一次函数的实际应用教案新版北师大版
人教版初一数学上册一元一次函数的应用
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