实数典型例题(培优)

相交实数典型问题精析（培优）

例1．（2009

的相反数是（ ）

A

． B

C

．

D

． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D.

例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????；

第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ???????????

； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????L ．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ）

A ．第10个数

B ．第11个数

C ．第12个数

D ．第13个

数

解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿.

解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算

4=1+3 9=3+6 16=6+10

…

符号转化成有理数的运算符号.

例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）

＝3+10 ＝9+16 ＝15+21 ＝18+31

解 因为15和21是相邻的两个“三角形数”，且和又是36，刚好符合“正方形数”，所以36＝15+21符合题意，故应选C.（说明 本题容易错选B ，事实上，25虽然是“正方形数”，而9和16也是“正方形数”，并不是两个相邻“三角形数”）.

例5．（2009

2()x y =+，则x －y 的值

为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3

分析：因为x-1≥0，1-x ≥0，所以x ≥1，x ≤1，即x ＝1.

而由

2()x y =+，有1+y ＝0，所以y ＝-1，x －y ＝1-（1）＝2.

例6．（2009年宜宾市中考题）已知数据：1

3

，π，－2．其中无理数出现的频率为( )

A ．20％

B ．40％

C ．60％

D ．80％

分析：，2

和开方开不尽的数，所以2

都是无理数；л是无限不循环小数，也是无理数；而31，-2都是有理数，所以无理数出现的频率为53

＝＝60％，选C ．

例7．(2009年鄂州市中考题)为了求2008322221++++Λ的值，可令S

＝2008322221++++Λ，则2S ＝20094322222++++Λ ，因此2S-S ＝12

2009-，所以2008322221++++Λ＝12

2009-．仿照以上推理计算出20093255551+++++Λ的值是（ ）

A ．152009- B.152010

- C.4152009- D.41

52010- 解析：本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方

法，利用例题介绍的方法，有：设S ＝20093255551+++++Λ，则5S ＝

201020093255555+++++Λ，因此5S-S ＝20105-1，所以S ＝4152010-，选D.

说明：你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗试一试.

例8． （2009年枣庄市中考题）a 是不为1的有理数，我们把1

1a -称为

a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知

113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．

解析：首先要理解差倒数的概念，再按照要求写出一列数，从中找出规

律，再应用规律来解决问题.根据题意可得到：113a =-，2a ＝433111

=--）（，3

a ＝4311-＝4，4a ＝31411-=-，…，可见这是一个无限循环的数列，其循环周期

为3，而2009＝669×3+2，所以a2009与a2相同，即

2009a =34． 典型例题的探索

（利用概念）例 3. 已知：

是的算术数平方根，

是立方根，求的平方根。

分析：由算术平方根及立方根的意义可知

><=+-><=-+2342,122b a b a 联立<1><2>解方程组，得：

代入已知条件得：

，所以

故M ＋N 的平方根是±

。 练习：1. 已知

，求的算术平方根与立方根。

2. 若一个正数a 的两个平方根分别为和，求的值。 （大小比较）例4. 比较的大小。

分析：要比较

的大小，必须搞清a 的取值范围，由知，由知

，综合得，此时仍无法比较，为此可将a 的取值分别为①；②；③三种情况进行讨论，各个击破。当时，取

，则，显然有

当时，，当时，仿①取特殊值可得

（利用取值范围）例5. 已知有理数a 满足

，求的值。

分析：观察表达式

中的隐含条件，被开方数应为非负数即，亦即，故原已知式可化为：

()2005200420042005200420052005200422=-∴=-∴=-∴=-+--a a a a a a 练习： 若x 、y 、m 适合关系式

y x y x m y x m y x --++-=-++--+2005200532353，试求m

的值。

（思路：x-2005+y与2005-x-y互为相反数，且均有算术平方根，故二者分别为0）

（规律探索）例6. 借助计算器计算下列各题：

（1）（2）（3）（4）

仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律你能解释这一规律吗

分析：利用计算器计算得：（1），（2）

（3），（4）

观察上述各式的结果，容易猜想其中的规律为：个1与n个2组成的

数的差的算术平方根等于n个3组成的数。即

实数思想方法小结

实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，但是，如果我们运用数学的思想方法来指导本章的学习，却会收到良好的效果．那么，在本章中有哪些重要思想方法呢

一、估算思想

估算能力是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的，在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到估算的方法进行解决。

例1估计10＋1的值是（）

（A）在2和3之间（B）在3和4之间

（C）在4和5之间（D）在5和6之间

分析：此题主要考查学生的估算能力，首先要确定10的取值范围，在估算10＋1的取值范围。因为9＜10＜16，所以9＜10＜16，即3＜10＜4，4＜10+1＜5，从而可确定10＋1的取值范围。

解：选C.

二、数形结合思想

所谓数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来的一种方法。通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的。在数轴上表示实数，根据数轴上的数进行有关的计算等都能体现数形结合思想的重要作用。

例2如图1，数轴上点A 表示2，点A 关于原点的对称点为B ，设点B 所表示的数为x ，求()022x x -+的值．

分析：此题是与数轴有关的数形结合的问题，要求()022x x -+的值，需要先根据数轴确定x 的值，由数轴易得2x =-． 从而可求出代数式的值。

解：Q 点A 表示的数是2，且点B 与点A 关于原点对称，

∴点B 表示的数是2-，即2x =-．

00(2)2(22)2(2)121x x -+=--+?-=-=-．

三、分类思想

所谓分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结做出结论的思想方法。按照不同的标准，实数会有一些不同的分类方法。

例3在所给的数据:,57.0,,31,5,232π-…(相邻两个5之间8的个数逐次

增加1个)其中无理数个数( ).

(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个

解析：作此类题需要掌握实数的分类.判断一个数是哪类数，可以化简后

再判断，但是对于代数式分类判断，则不能化简后再判断，如x x 2

是分式，对于

数、式分类时，常用策略是：“数看结果，式看形式”.2422==；3355-=-；显然22、31

、都是有理数;所以无理数的个数为3.选B. 解释理由如下： ()

3213213213213213213213213213213121

112112123

3311191

101111111011122211110111222111个个个个个个个个个个…………………………n n n n n n n n n n n n n =?=-?=-?=-+?=-《平方根》典例分析

平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备

基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.

一、基本题型

例1 求下列各数的算术平方根

（1）64；（2）2)3(-；（3）4915

1

. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一

个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.

解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；

（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；

（3）因为496449151

=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=.

点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根

是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似

74149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗请试一试.

例2 求下列各式的值

（1）81±； （2）16-； （3）259

； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表

示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259

的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.

解：（1）因为8192=，所以±81=±9.

（2）因为1642=，所以－416-=.

（3）因为2

53??? ??=259，所以259=53.

（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.

例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.

分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解. 解： 因为负数没有平方根，故m 必为非负数.

（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，

解得3=a ，故32+a =9332=+?，912312-=-=-a ，从而8192==a .

（2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.

综上所述，m 的值是81.

二、创新题型

例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.

解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故21

=x . 进而可得2=y .

故y x =41212

=??

? ??. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.

（穿墙术）例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=?=?=?=?=； ②

244242421623222=?=?=?=?=； ③344343431634822=?=?=?=?=. 分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80. 解：④

84244441646422=?=?=?=?=； ⑤544545454516580222=?=?=?=?=?=.

点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！

平方根概念解题的几个技巧

平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.

一、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.

例1、若,622=----y x x 求yx 的立方根.

分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x=2.从而可求出y=－6.

解 ∵???≥-≥-0202x x , ∴???≥≤22x x x=2; 当x=2时,y=－=(－

6)2=36.

所以yx 的立方根为3

36.

二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.

分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a)=0,从而可求出a=－1,问题就解决了.

解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a)=0, a=－1.

a 的平方的相反数的立方根是.113-=- 三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例3、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根.（即负的平方根）

分析 y=)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小， 而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a=2,b=－1.

解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y=)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a=2,b=－1.

所以ba 的非算术平方根是.11-=-

四、巧用平方根定义解方程.

我们已经定义:如果x2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x2=a （a ≥0）的根.

例4、解方程（x+1）2=36.

分析 把x+1看着是36的平方根即可.

解 ∵（x+1）2=36 ∴x+1看着是36的平方根. x+1=±6.

∴x1=5 , x2=－7.

例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)3=64这个方程呢不妨试一试.

利用平方根的定义及性质解题

如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．（例1与例2区别）

例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．

分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．

解：由2a －1+a －11=0，得a=4，所以2a －1=2×4－1=7．

所以这个数为72=49．

例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．

分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数． 当2a －1=a －11时，a=－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;

当2a －1+a －11=0时,a=4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.

综上可知所求的数为49或441.

（区别：类似3是9的平方根，但9的平方根不是3，是+3、-3.）

例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.

分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,

所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,

因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.

例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）

（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1

分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．所以选（C）．

练一练:

已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.

已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值

3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根.

.

答案:;2. 49或1225; 3.5

从被开方数入手

二次根式中被开方数的非负性，时常是求解二次根式问题的重要隐含条件。从被开方数入手，将会使很多问题迎刃而解。

一、确定二次根式有意义

例1.下列各式中一定是二次根式的是（）

A. B. C. D.

分析：二次根式的两个基本特征是①带二次根号“”，②被开方数必为非负数。A中被开方数为负数；B中不带“”，而是“”；D中被开方数的正负无法确定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被开方数恒大于0，且带“”，故选（C）。

例取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

分析：使二次根式在实数范围内有意义，必有被开方数大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能为0。

解：⑴由2－ｘ≥０，ｘ－１≥０，∴１≤ｘ≤２，∴当１≤ｘ≤２时，⑴式有意义；

⑵由2x —1＞0 （∵分母2x —1≠0）∴x ＞

， ∴当x ＞时，⑵式

有意义； ⑶由x —1≥0，x —2≠0，∴x ≥1且x ≠2 ，∴当x ≥1且x ≠2时，⑶式有意义；

⑷由于( x —3)≥0，∴x 取任何实数时，⑷式都有意义。

二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值

例3.已知y=，求（xy —64）的算术平方根。

分析：由被开方数x —7，7—x 互为相反数，且均需满足被开方数大于等于0。故x —7=7—x=0，由此求出x 、y 。 解：由

∴x —7＝7—x ＝0，得x=7，∴y ＝9 ∴＝＝＝1 例 4.设等式在实数范围内成立。其中，m 、x 、y 是互不相等的三个实数，求代数式

的值。

解：由m ≠x ≠y ，∴x —m ≠0， y —m ≠0

又被开方数 x —m ≥0 ， m —y ≥0即y —m ≤0

即有x —m ＞0，y —m ＜0 而被开方数 ∴ ∴m ＝0

将m=00x y -= ∴x ＝－y ＞0

∴＝＝＝

下面两道练习题，同学们不妨试试。

取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴

⑵⑶ ⑷ 2.若y=，试求（4x －2y ）2010的值。

实数大小进行比较的常用方法

实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

方法一：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a －b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a －b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a －b ＝0，得到a=b 。

例1：（1）比较513-与51

的大小。 （2）比较1－2与1－3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51

。

解 ∵（1－2）－（1－3）=23-＞0 ， ∴1－2＞1－3。 方法二：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个

正实数，先求出a 与b 得商。当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a

=1时，a=b 。来比较a 与b 的大小。

例2：比较513-与51

的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51

方法三：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先

分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b 1

时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。

例3：比较2004－2003与2005－2004的大小。

解∵200320041

-=2004+2003 ，

200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004－2003＞2005－2004

（超纲，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2

b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：比较62+与53+的大小 解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215。 又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+。

方法五：估算法

估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4：比较83

13-与81的大小

解：∵3＜13＜4 ∴13－3＜1 ∴8313-＜81

方法六：移动因式法（穿墙术）

移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小

进行比较。

例6：比较27与33的大小

解：∵27=722?=28，33=332?=27。

又∵28＞27， ∴27＞33。

方法七：取特值验证法

比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例7：当10ππx 时，2x ，x ，x 1

的大小顺序是______________。

解：（特殊值法）取x =21，则：2x =41，x 1

=2。 ∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x 1

。

例（常德市）设a ＝20，b ＝(－3)2，c

d ＝1

12-?? ???，则a 、b 、c 、

d 按由小到大的顺序排列正确的是（ ）

＜a ＜d ＜b ＜d ＜a ＜c ＜c ＜d ＜b ＜c ＜a ＜d

分析 可以分别求出a 、b 、c 、d 的具体值，从而可以比较大小. 解 因为a ＝20＝1，b ＝(－3)2＝9，c

d ＝1

12-?? ???＝2，

1＜2＜9，所以c ＜a ＜d ＜b.故应选A.

除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。

无限循环小数可以化成分数

我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：

探索（1）：把……（即0.3·2·

）化成分数．

分析：设x=3·2·=+++…… ①

上面的方程两边都乘以100得

100x=32++++…… ②

②－①得100x －x=32 99x=32 x= 3299 所以0323232……=

3299

用同样方法，我们再探索把0.5·，3·2·化为分数．可知0.5·= 59 ，3·2·=302999 ． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字．

探索（2）：把……和……化成分数

分析：把小数乘以10得

……×10=…… ①

再把小数乘以100得

……×100=…… ②

②－①得……×100－……×10=47－ 4

……×90=43 ……= 4390 所以 ……=4390

再分析第二个数……化成分数．

把小数乘以100得

……×100=…… ①

把小数×10000得

……×10000=…… ②

②－①得

……×（10000－100）=3256－32

……×9900=3224 ∴……=32249900

同样的方法，我们可化2·5·=17089900 ，0. 32·9·=326990 ．

我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混

循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如2·5·化成分数的分子是1725－17=1708，0. 32·9·

化成分数的分子是329－3=326．

用数形结合思想解实数中问题

数形结合思想是一种重要的解题思想方法，它可以使较繁杂或难解的题目由繁变简，化难为易，出奇制胜，下面举例说明用数形结合思想解实数中的问题。

例1 实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，那么化简|a+b|+2)(a b -的结果是（ ）

A 、2b

B 、2a

C 、－2a

D 、－2b

分析：由图1可观察出b ＞0，a ＜0，a+b ＜0，b －a ＞0然后可化简。 解：观察图1实数a 、b 在数轴上的位置可判定b ＞0，a ＜0，a+b ＜0，b

－a ＞0，然后化简|a+b|+2)(a b -=－（a+b ）+b －a=－2a ，故选C 。 点评：借用数轴判断出某些字母（数）的大小，然后化简是实数化简经常用的一种方法。

例2 如图2，数轴上表示1、2的对应点为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（ ）（也可用中点坐标公式

=x +x B C x 中点A ）

A 、2－1

B 、1－2

C 、2－2

D 、2－2 图1 C A B 图2

分析：通过A 、B 两点所表示的数求出C 点坐标

解：我们知道实数和数轴上的点一一对应，由图2知，|OA|=1，|OB|=2，从而|AB|=|OB|－|OA|=2－1

又点B 、点C 关于点A 对称∴|AC|=|AB|=2－1

这时|OC|=|OA|－|AC|=1－（2－1）=2－2

即点C 所表示的点为2－2，故选C 。

点评：本题借用数轴和点的对称性求出C 点坐标。

例3 某种零件的合格品规格为（φ04.003.050+

-）mm ，其中有一个不合格零

件与合格品的要求相差，这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差是 mm 。 （分析：本题已知中不合格品的取值范围不明确，若构作数轴图3，选用原点O 表示直径为50mm 的合格品，A 、B 分别表示合格品波动的上、下限，则C 、D 分别表示不合格品波动的上、下限，易得答案）

解 依题意作数轴如图3，选用原点O 表示直径为50mm 的合格品，A 、B 分别表示合格品波动的上、下限，则C 、D 分别表示不合格品波动的上、下限，则|CD|=|－（－）=（mm ）。

点评：有些实际问题不好解决时，借用数轴可出奇制胜。

化简：|a+2|－|2a －3|（零点分段讨论法）

分析：－2、23

将数轴分为三部分，应讨论化简 解：依题意作图如4所示，

图3 2

图4

①当a ＜－2时，|a+2|－|2a －3|=－a －2+2a －3=a －5

②当－2≤a ≤23

时，|a+2|－|2a －3|=a+2－（3－2a ）=3a －1

③当a ＞23

时，|a+2|－|2a －3|=a+2－（2a －3）=－a+5。

点评：将使绝对值里为0的数(零点)标在数轴上，可将实数分为几部分，然后进行讨论。

实数培优训练含答案

浙教七上数学第三章：实数培优训练 一．选择题： 1.下列各数中无理有（ ） 10 π 14159.3 81 3 27 32+ 73 169 121 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.①64的立方根是4±；②x x =33；③64的平方根为8±；④()4832 ±=± 其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的值等于则若n m n m --==,3,23( ) A. 31 B. 31- C. 332+ D. 332- 4.计算：=---+-π14.35351（ ） A.π+-5286.0 B. π-14.5 C. π+-14.752 D. π+-14.1 的整数有而小于大于53.5-( ) A. 2,1,0,1,2-- B. 3,2,1,0,1- C. 3,2,1,0,1,2-- D. 2,1,0,1- 则下列各式正确的是若,0.6>a ( ) A. a a > B. a a >1 C. a a 1 1< D. a a < 的大小关系是则若c b a c b a ,,2,3),3(22.72--=-=-?+-=（ ） A. c a b >> B. c a b >> C. c b a >> D. b c a >> =-=+ x x x x 1 ,71.8则已知( ) A. 3 B. 3- C. 3± D. 5± 9.一个自然数的算术平方根是a ，则与这个自然数相邻的后续自然数的平方根是（ ） A. 1+a B. 12+a C. 1+±a D. 12+±a 10.若1212=a ,1692 =b ，且0

实数典型例题(培优)

实数典型问题精析（培优） 例1．（2009的相反数是（ ） A ． B C ．2 - D ． 2 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是 21，只要比较被减数即可，即比较14 1 131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2 －b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a 2 －b ，所以(1※2)※3＝(12 －2)※3＝(－1)※3＝(－1)2 －3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于

浙教版七上数学第三章：实数培优训练试题(附答案)-

一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！ 1．一个正数的算术平方根是8，则这个数的相反数的立方根是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．±8 2.16的平方根为（ ） A. 4± B. 4 C. 2 D. 2± 3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 4.下列说法中不正确的是( ) ①．－1的立方根是－1，－1的平方是1；②．两个有理数之间必定存在着无数个无理数， ③．在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有；④．如果x 2＝6，则x 一定不是有理数 A.②③ B.①④ C.③ D.③④ 5.如果b a ,表示两个实数，那么下列式子正确的是( ) A ．若b a =，则b a = B ．若b a <，则22b a < C ．若33b a =，则b a = D ．若b a >，则33b a > 6.如果642 =x ，那么=3x （ ） A. 4± B. 2± C.2 D. 2- 7.一个正奇数的算术平方根是a ，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是( ) A ．2+a B ．22 +a C.22+a D ．2+±a 8.已知35.703.54=，则005403.0的算术平方根是( ） A ． B ． C ． D ． 9.已知实数139-的整数部分为a ，小数部分为b ，则=-b a 32 （ ） A. 39343- B.3937- C.39343+ D.3937+ 10．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（ ） A ．点C B ．点D C ．点A D ．点B 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11．已知一个正数的两个平方根分别为62-m 和m +3，则()2018 m -的值为_________ 12.如果15=，5.1=，那么______00015.0=

实数培优训练A

实数培优训练A 一、填空题 1、把下列各数填入相应的集合内： 3.14，л， ， ，0.12 ， 1.1515515551 。 正整数集合{ } 整数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正无理数集合{ } 非负有理数集合{ } 2、将－π，0，23，－3.15，3.5用“＞”连接： ； 3、如图，则 | a |－2a －2b ＝ 。 4、若x =x= ；1 -的倒数是 。1-的相反数是 ；1-的绝对值是 。 5、绝对值最小的实数是 ，最大的负整数是 。数轴上的点与 具有一一对应关系，－3.14在数轴上的点在表示－π的点的 侧。数轴上与原点相距个单位的点表示的数是 。 □6的数有 ，绝对值等于的数有 。 7A 对应数轴上的点是B ，则A 、B 两点的距离为 。 □8、△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a 、b 满足09622 =+-+-b b a ，则△ABC 的周长x 的取值范围是 ； 9、若12)1(212 -+-+-=x x x y ，则代数式2004) (y x += ； 10、已知x 为实数，且x= 。当x= 时，有最大值是 . 11、若0≤a ≤4，的取值范围是 . 若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 ； 12、若实数a 满足 =-1，则a 是 . 当10≤≤x 时，化简__________12=-+x x 13、设7的小数部分为b ，则b(4+b)= 。当_______x 有意义。 二、选择题 1、和数轴上的点一一对应的数是（ ）. A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 2、下列说法正确的是（ ）. A.整数和分数、零统称为有理数 B.正数和负数统称为实数 C.整数、有限小数和无限小数统称为实数 D.无限小数就是无理数 3a 是一个（ ）. A.非负数 B.正实数 C.正有理数 D.非完全平方数 4、下列计算正确的是（ ）； A 、)9()4(-?-＝4－×9－ B 、6＝24＋＝2＋2 C 、2a ＝|－a| D 5、下列说法正确的是（ ）； A 、任何有理数均可用分数形式表示 ； B 、数轴上的点与有理数一一对应 ； C 、1和2之间的无理数只有2 ； D 、无理数与无理数间的运算结果是无理数。 6、下列说法正确的是（ ） A 、3.14是无理数 B C 是无理数 D 是无理数 7、下列说法：①无理数是无限小数，②带根号的数不一定是无理数，③任何实数都可以开方，④有理数是实数。其中，正确的个数有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 13 32π ||a 1

实数的混合运算(培优)含答案

2017.10.08实数 1、一组按一定规律排列的式子如下：2 a -，52a ，83a -，11 4a ，…，(0)a ≠，则第n 个式子是________。 2、已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|2||2|a b c b +--的结果是________。 答案：a+c 3、观察下面一列数，1,2,3,4,5,6,7---- 将这列数排成下列形式，按照上述规律排下去，那么第11行从左边第7个数是_____________。 答案：－107 4、下列说法错误的是（ ） A 、28是的立方根 B 、464±是的立方根 C 、1139-是 的平方根 D 、4的算术平方根 答案：B 5、2(8)-的立方根是（ ） A 、－2 B 、2± C 、4 D 、4± 答案：C 6、若b a -是的立方根，那么下面结论正确的是（ ） A 、b a --也是 的立方根 B 、b a 是 的立方根 C 、b a -也是 的立方根 D 、b a ±都是 的立方根 答案：C 7、点A 、B 分别是数3-、12 -在数轴上对应的点，把线段AB 沿数轴向右移动到A'B'，且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是（ ） A 、0 B 、 12 C 、314 D 、144 答案：C 8、已知1101101,,,,mn m n m n n m n n m <->->>+++且那么的大小关系是（ ）

A 、11m n n n m <<+< B 、11m n n m n <+<< C 、11n m n m n +<<< D 、11m n n m n <+<< 9__________________________。 10、已知一个正数x 的平方根是3225a a +-与，则a ＝_______，x 的立方根为_______。 11、若,a b 均为正整数，且a b >a b +的最小值是（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 答案：B

《实数》培优材料

④计算中的性质 2： a 2 = a = ? ； - a(a ≤ 0) ?负无理数 （二分法） 实数? （三分法） 实数?零 ?无理数 ?负实数??负有理数 ?正无理数 ?负无理数 ? ? ?负无理数 练习：（1） ( x - 1) 2 = 9 （2） （x + 1）3 = 25 3 2017 春七年级数学实数培优 一、实数： （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数 x 的平方是 a ，那么 x 是 a 的平方 根；②符号概念：若 x 2 = a ，那么 x = ± a ；③逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那么 x 2 = a 。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数 a ≥0 ? 式子有意义； ②在算术平方根中，其结果 a 是非负数，即 a ≥0； ③计算中的性质 1： ( a ) 2 = a （a ≥0）； ?a(a ≥ 0) ? ⑤在立方根中， 3 - a = -3 a （符号法则） ⑥计算中的性质 3： (3 a ) 3 = a ； 3 a 3 = a （3）实数的分类： ? ?正有理数 ? ?正有理数 ? ? ?正实数? ?有理数?零 ? ?正无理数 ? ? ? ? ? ? ? ? （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例 1. 已知：M = b -1 a + 8 是 a + 8 的算术数平方根，N = 2a -b +4 b - 3 是 b - 3 立方根，求 M + N 的平方根。 练习：1. 已知 x + 2 y = 3，4 x - 3 y = -2 ，求 x + y 的算术平方根与立方根。 2．若 2a ＋1 的平方根为±3，a －b ＋5 的平方根为±2，求 a+3b 的算术平方根。 例 2、解方程（x+1）2=36. 1 5

【数学】数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20．

七(下)培优训练(二)实数(提高版)

培优训练二：实数（提高篇） （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0?式子有意义； ②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）； ④计算中的性质2：???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则） ⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =3 3 （3）实数的分类： ?????????????? ? ??负无理数正无理数无理数负无理数 零正有理数 有理数实数 ??? ? ???????????负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5 ，求22c d xy a -++ 的值。 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．

实数的混合运算(培优)含答案

2017、1０、08实数 １、一组按一定规律排列得式子如下:,,,,…,,则第个式子就是__＿＿_＿__。 2、已知数,,在数轴上得位置如图所示,化简得结果就是______＿_。 答案:a+c 3、观察下面一列数,将这列数排成下列形式,按照上述规律排下去,那么第１１行从左边第７个数就是________＿＿___。 答案:—107 ４、下列说法错误得就是( ) A、得立方根 B、得立方根 C、得平方根Ｄ、得算术平方根 答案:B 5、得立方根就是( ) A、-2 B、C、4 D、 答案:C 6、若得立方根,那么下面结论正确得就是( ) A、得立方根 B、得立方根 Ｃ、得立方根D、得立方根 答案:C ７、点A、B分别就是数、在数轴上对应得点,把线段AＢ沿数轴向右移动到A＇Ｂ’,且线段Ａ＇Ｂ’得中点 对应得数就是３,则点A＇对应得数就是( ) A、0B、C、D、 答案:Ｃ 8、已知得大小关系就是( ) A、B、C、Ｄ、 9、得算术平方根就是____＿__＿___＿_,得平方根就是___＿＿____＿___。

１0、已知一个正数得平方根就是,则＝＿＿＿_＿＿_,得立方根为_＿__＿__、 11、若均为正整数,且,则得最小值就是( ) A、６ B、7 C、８Ｄ、9 答案:B 12、已知:得平方根就是,得立方根就是３,则得算术平方根为＿＿＿__＿_。 １3、已知实数满足,则得立方根为______＿。 １4、比较大小:(填)

1５、将用不等号连接起来为( ) A、B、Ｃ、D、 答案:D 1６、若得小数部分就是,若得小数部分就是,则___________。 答案:2 17、已知得整数部分就是,小数部分就是,则得平方根为_＿________＿。 18、若得小数部分就是,若得小数部分就是,则＿______＿_＿＿。 1９、下图为魔术师在小美面前表演得经过

实数典型例题(培优)

相交实数典型问题精析（培优） 例1．（2009 的相反数是（ ） A ． B C ． D ． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????L ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个 数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算

《实数》培优专题训练

《实数》培优专题训练1 一．填空题 1 的算术平方根是。 2．已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为米。 3.把下列各数填入相应的集合内： 3.14，л，， ，0.12 ， 1.1515515551 。 正整数集合{ } 整数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正无理数集合{ } 非负有理数集合{ } 4.将－π，0，23，－3.15，3.5用“＞”连接：； 5．如图，则| a |－2a－2b＝。 6的数有，绝对值等于的数有。 7A对应数轴上的点是B，则A、B两点的距离为。 8．△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足0 9 6 22= + - + -b b a，则△ABC的周长x的取值范围是； 9．若1 2 )1 ( 2 12- + - + - =x x x y，则代数式2004 ) (y x+= ； 10．已知x为实数，且，则x= 。当x= 时，有最大值是 . 11．若0≤a≤4，的取值范围是 .若a a- = -2 )2 (2，则a的取值范围是；12．已知x、y是有理数，且x、y满足2 2323 x y ++=-x+y= 。 二．选择题 1．和数轴上的点一一对应的数是（）. A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 2．下列说法正确的是（）. A.整数和分数、零统称为有理数 B.正数和负数统称为实数 C.整数、有限小数和无限小数统称为实数 D.无限小数就是无理数 3．a是一个（）. A.非负数 B.正实数 C.正有理数 D.非完全平方数 4．下列计算正确的是（）； A．)9 ( )4 (- ? -＝4 －×9 －B．6＝2 4＋＝2＋2 C．2a＝|－a| D．= 5．下列说法正确的是（）； A、任何有理数均可用分数形式表示； B、数轴上的点与有理数一一对应； C、1和2之间的无理数只有2； D、无理数与无理数间的运算结果是无理数。6．下列说法正确的是（） A、3.14是无理数B C是无理数D是无理数 1 3 3 2 π

初二实数培优竞赛训练(可用) (1)

实数提高训练 例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？ 例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。 例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 例4 （1） 已知2 2(4)0,()y x y xz -++=求的平方根。 （2 a2 ，小数部分为b，求-16ab-8b的立方根。 （3 ,, 4 x y m m = - 试求的算术平方根。 （4）设a、b 是有理数还是无理数，并说明理由。 例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。 （2）已知m，n 是有理数，且2)(370 m n +-+=，求m，n的值。 （3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b 2440 b b +-+=，求c的取值范围。 （4 ）已知1993 2 ( 4 a x a - = + ，求x的个位数字。

训练题： 一、填空题 1的算术平方根是 。 2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。 32(1)0,b -== 。 4、已知4,1 x y y x +=+则= 。 5在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22 223x xy y x xy y +--+的值是 。 6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的： 若32,1;3,6, 3.2 a b a b a b +=≤+=+=≤若；若 根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9≤ 。 7、已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则 。 8、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab -+=满足则的算术平方根是 。 9、已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-x+y= 。 10、由下列等式： ===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 。 11、已知实数a 满足0,11a a a =-++=那么 。 12、设A B ==则A 、B 中数值较小的是 。 1312 5.28,y -=则x= ,y= . 14 有意义的x 的取值范围是 。 15、若101,6,a a a +=且的值为 。 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= . 17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值

中考数学二轮复习数学第六章 实数的专项培优练习题(含答案

中考数学二轮复习数学第六章 实数的专项培优练习题(含答案 一、选择题 1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足 ()()122018232019M x x x x x x =++++++， ()()122019232018N x x x x x x =++ +++ +，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．M N ≥ 2．已知x 、y 为实数，且34x ++（y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ） A ． 14 B ．﹣ 14 C ． 74 D ．﹣ 74 3．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A ．ac ＞0 B ．|b |＜|c | C ．a ＞﹣d D ．b +d ＞0 4．给出下列各数①0.32，② 22 7 ，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依 次多个0），⑥327，其中无理数是（ ） A ．②④⑤ B ．①③⑥ C ．④⑤⑥ D ．③④⑤ 5．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( ) A ．3 B ．3 C ．3 1 D ．3 6．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 7．估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 9．下列判断中不正确的是（ ） A 37 B ．无理数都能用数轴上的点来表示 C 174 D 5510．下列运算正确的是（ ）

中考数学实数培优专题拓展训练

中考数学实数培优专题拓展训练 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 2.已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2 =36. 练习：（1）9)1(2=-x （2）2515 1 3 =+）（x 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数． 变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ； ②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋ 3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值 例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴⑵ ⑶

⑷ 例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求 y x 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是 例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a + ++的所有可能__________________. 练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005 的值。

2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根； 3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值. 4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。 ① 2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x 5. 若3 38 7 =-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知0525 22=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042 的值。 4、比较大小、计算： 例1．比较大小 216- 2 12+.3 10; 83-13 7 1 说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法： 如：比较1－2与1－3的大小。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较 51-3与5 1 的大小。 ③倒数法： ④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 如：当0

14【提高】实数(培优课程讲义例题练习含答案)

实数（提高） 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环， 不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数， 如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽， 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数???有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 按与0的大小关系分： 实数0??????????????? 正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念

1、把下列各数分别填入相应的集合内： 32，14，7，π，52-，2，203，5-，38-，49，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 【答案与解析】 有理数有：14， 52 -，38-，49，0， 无理数有：32，7，π， 2， 203，5-， 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如32，7， 2， 203 ，5-. 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例1】 【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( ) (8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 【答案】 (1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数. (2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数. (3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才 是无理数. (4)(×)0是有理数. (5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. (6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数. … 有理数集合 … 无理数集合

【湘教版】八年级数学上3.3实数能力培优训练(含答案)

1002 3. 3实数 专题一实数与数轴 1?设a 是一个无理数，且 a , b 满足 ab — a —b+1=0, 则b 是一个 ( ) A .小于0的有理数 B . 大于0 的有理数 C .小于0的无理数 D . 大于0 的无理数 2.如图，数轴上表示一1 , .3的对应点为 A.B ,点 C 在数轴上, 且 AC=AB ，则点C 所表 示的数是 （ ） A. 3 1 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 2 B A C ?_*——■*—-*—*■_-—j 7 0 1 3.已知，实数a .b 在数轴上表示的位置如下：化简： .^2 b 2 a b . 专题二实数的运算 4.已知a,b 均为有理数，且a b . 2 3 2 ，则（ ） A . a 9,b 12 B . a 11,b 6 C . a 11,b 0 D . a 9,b 6 5?定义运算“ @的运算法则 为： x @y = xy 4，则（2@6） @8= 6?设x 表示不大于x 的最大整数，如 3.15 3, 2.7 3, 4 4 , 计算: J 2 2 3 2003 2004 7.探究题：（1）计算下列各式:

3 3 3 3 3 3 (2) 猜想：1 2 3 4 5 6 _____ , (3) 用含n 的等式表示上述规律： _________________ (4) 化简：J i 3 23 33 __ lOO 3 专题三非负数性质的应用 &已知：x 77和(y 丄)2互为相反数，则(xy)2013的值是 77 A. 1 B. 1 C. 2013 D. 2013 9. 若a 2 + b — 2a — 2 b + 2= 0,则代数式 a a + b + b a _b 的值是— 10. A ABC 的三边长为a.b.c , a 和b 满足.(b 2)2 0 11 .若实数 x . y . z 满足.x y 1 ?? z 2 1 (x y z), 2 状元笔记 【知识要点】 1. 实数：有理数和无理数统称为实数. 2. 实数和数轴上的点 对应. 3 .实数分为正实数.0?负实数，0和正实数叫做非负数. 【温馨提示】 1?有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用. 2?在实数运算中要注意符号. 【方法技巧】 1互为相反数的两个数的和为零. 2 ?几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零 13 12, 13 23 ________ 13 23 13 23 33 _____ 33 43 求C 的取值范围.. 求（x yz ）3的立方根.

11.2 实数与数轴 能力培优训练(含答案)

11.2 实数与数轴 专题一 与实数分类有关的问题 1. x 的值是（ ） A.0 B.3 C. ±3 D.不存在 2. 14.34=0.1434=，则a b 的值为______. 3. 请写出满足条件11x <<的x 的整数解. 4. 设2x =x 的整数部分为a ，小数部分为b 的值.

专题二 数形结合思想在实数中的应用 5. 如图：数轴上表示1A 、B ，且点A 为线段BC 的中点，则点C 表 示的数是（ ） 1 B.1 2 D.26.实数a 、b 在数轴上的对应点A 、B 的位置如图所示，则化简 a b +=______. 7. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的对应的点位置如图所示，化简： a 专题三 相反数、倒数、绝对值的综合应用 8. 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 2a b m cd m ++-的值.

9. 已知a 、b 0b =；解关于x 的方程2(2)3a x b a ++=+. 状元笔记 [知识要点] 1. 无理数 无限不循环小数叫做无理数. 2. 实数的有关概念及分类 （1）实数的概念：有理数和无理数统称实数. （2）有理数的相反数、绝对值、倒数的概念在实数范围内仍适用. （3）实数的分类： [温馨提示] 1. 实数与数轴上的点一一对应.. 2. 有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序.

[方法技巧] 利用数形结合的数学思想，可使化简变得方便. 参考答案 1. C 【解析】 ∵22(327)0x -≥，又22(327)0x --≥，∴22(327)0x -=，∴3x =±. 2. 1000000 【解析】根号内向左移动六位小数，根号外就向左移动两位. 3. 解：∵2-，∴121<-+，即11<-. ∵3<，∴311-<，即21<， ∴满足条件11x <<的x 的整数解是x =－1，0，1，2. 4. 解：∵12<<11.2x = ∴x 的整数部分是31，即3a =. 1b =， ∴1b a b +=00a b =+. 5. D 【解析】 点B 表示的数比点A 1，点C 表示的数比点A 表示的数小 1，即点C 表示的数为11)2-=6. a - 【解析】 由数轴可知0,0,0a b a b <>+<.原式=()()()a b a a b -+----=a -. 7. 解：根据a 、b 、c 在数轴上对应点的位置可知， 0c a <<，0b >，∴0a c +<，0c a -<. 原式=a a c c a b -++--=()()a a c a c b -+++--=a a c a c b -+++--=a b -. 8. 解：由题意得：0a b +=，1cd =，m =m =， ∴2a b m cd m ++-2(1=+-1=. 9. 0,0,b -≥0,b = ∴0a b +=，0b =. ∴a =b =

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案) 一、一元二次方程 1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2 22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且 12111 4 x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析, （3）AM 的解析式为1 12 y x =--． 【解析】 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】 （1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）令y=0，得△= ∴无论m 取何值，方程 总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有， 由 解得 ．

∴函数的解析式为． 令y=0，解得 ∴A( )，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点． 易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，） 设直线AB’的解析式为y kx b =+，则 20{106k b k b -+=+=-，解得112 k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1 12 y x =--， 即AM 的解析式为1 12 y x =- -． 2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则 ， （其中 ），当 时， ，解这个方程，得 ，，∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段；