《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）
第2章 线性规划的图解法
1．解：
（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =
127
，2157x =；最优目标函数值697
。
图2-1
2．解：
（1）如图
2-2所示，由图解法可知有唯一解12
0.2
0.6x x =??=?，函数值为3.6。
图2-2
（2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。 （5）无穷多解。
（6）有唯一解 12203
8
3x x ?=????=??
，函数值为923。
3．解：
（1）标准形式
12123max 32000f x x s s s =++++
1211221231212392303213229,,,,0
x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥
（2）标准形式
1212min 4600f x x s s =+++
12112212121236210764,,,0
x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥
（3）标准形式
1
2212min 2200f x x x s s ''''=-+++ 12
211
2212221
2212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥
4．解： 标准形式
1212max 10500z x x s s =+++
1211221212349528,,,0
x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。
5．解：
标准形式
12123min 118000f x x s s s =++++
121122123121231022033184936,,,,0
x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥
剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x 1=1，x 2=5。
6．解：
（1）最优解为 x 1=3，x 2=7。 （2）113c <<。 （3）226c <<。 （4）
1264x x ==。
。
（5）最优解为 x 1=8，x 2=0。 （6）不变化。因为当斜率121
13
c c ---≤≤，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解不变。
7.解：
设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，
目标函数z=200x ＋240y ， 线性约束条件：
???????≥≥≤+≤+006448120126y x y x y x 即 ???????≥≥≤+≤+0
0162202y x y x y x 作出可行域．
解???=+=+16
2202y x y x 得)8,4(Q 272082404200=?+?=最大z
答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为
4台和8台，可获最大利润2720
元．
8．解：
设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积zm2． 目标函数z=x ＋2y ， 线性约束条件： ?????
????≥≥≥+≥+≥+0
027315212y x y x y x y x 作出可行域，并做一组一组平行直线x ＋2y=t ．解?
??=+=+12273y x y x 得)
2/15,2/9(E
．
但E 不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点)8,4(使z 取得最小值。 答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．
9．解：
设用甲种规格原料x 张，乙种规格原料y 张，所用原料的总面积是zm 2，目标函
数z=3x ＋2y ，线性约束条件????
???≥≥≥+≥+0
03222y x y x y x 作出可行域．作一组平等直线3x ＋
2y=t ． 解?
??=+=+322
2y x y x 得)3/1,3/4(C
C 不是整点，C 不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z 取得最小值． z 最小=3×1＋2×1=5，
答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m 2．
10．解：
设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，最低运费为z 元．目标函数为z=960x ＋360y ．
线性约束条件是???
??≥+≤≤≤≤1005.2820010
0y x y x 作出可行域，并作直线960x ＋360y=0． 即
8x ＋3y=0，向上平移
由?
?
?=+=1005.2810
y x x 得最佳点为()10,8
作直线
960x ＋360y=0． 即8x ＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x ＋360y 取到最小值．
z 最小=960×10＋360×8=12480
答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．
11．解：
设圆桌和衣柜的生产件数分别为x 、y ，所获利润为z ，则z=6x ＋10y ．
???????≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 即???????≥≥≤+≤+0
01400728002y x y x y x 作出可行域．平移6x ＋10y=0 ，如图
?
??=+=+1400728002y x y x 得???==100350y x 即C(350，100)．当直线6x ＋10y=0即3x ＋5y=0平
移到经过点C(350，100)时，z=6x ＋10y 最大
12．解：
模型12max 500400z x x =+ 1211121223003540224401.2 1.5300,0
x x x x x x x x ++≤≤≤≤≥
（1）1150x =，270x =，即目标函数最优值是103 000。 （2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。
（3）50，0，200，0。
（4）在[]0,500变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。 （5）因为124501430
c c -=--≤，所以原来的最优产品组合不变。 13．解：
（1）模型A B min 83f x x =+ A B A B B A B 5010012000005460000100300000,0
x x x x x x x ++≤≥≥≥
基金A ，B 分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。 （2）模型变为A B max 54z x x =+
A B B A B 501001200000
100300000
,0
x x x x x +≤≥≥
推导出118000x =，23000x =，故基金A 投资90万元，基金B 投资30万元。
第3章线性规划问题的计算机求解
1．解：
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720
⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元
⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333⑷不变，因为还在120和480之间。
2．解：
⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为 (4，8)
3 ．解：
⑴农用车有12辆剩余
⑵大于300
⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元
4．解：
计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)
5．解：
圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元
相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。
最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。
6．解：
（1）
1150
x=，270
x=；目标函数最优值103 000。
（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。
（3）50，0，200，0。
含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。
（4）3车间，因为增加的利润最大。
（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。
（6）不变，因为在[]
0,500的范围内。
（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在[]
200,440变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。
（8）总利润增加了100×50=5 000，最优产品组合不变。
（9）不能，因为对偶价格发生变化。
（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和2550100%100100
+≤ （11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
5060100%140140
+≤，其最大利润为103 000+50×50?60×200=93 500元。
7．解：
（1）4 000，10 000，62 000。
（2）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057； 约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167； 约束条件3：基金B 的投资额增加1个单位，风险系数不变。
（3）约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1 200 000；约束条件2的剩余变量是0，表示投资回报额正好是60 000；约束条件3的松弛变量为700 000，表示投资B 基金的投资额为370 000。
（4）当2c 不变时，1c 在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变； 当1c 不变时，2c 在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。
（5）约束条件1的右边值在[]780000,1500000变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）。 （6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和42100%4.25 3.6
+>，理由见百分之一百法则。
8．解：
（1）18 000，3 000，102 000，153 000。
（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1 200 000；基金B 的投资额的剩余变量为0，表示投资B 基金的投资额正好为300 000； （3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；
基金B 的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。
（4）1c 不变时，2c 在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变； 2c 不变时，1c 在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。
（5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1； 约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。
（6）
600000300000
900000900000+=100%故对偶价格不变。
9．解：
（1）18.5x =，2 1.5x =，30x =，40x =，最优目标函数18.5。
（2）约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函数分别提高2和3.5。
（3）第3个，此时最优目标函数值为22。
（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 （5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。
10．解：
（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。 （2）2x 目标函数系数提高到0.703，最优解中2x 的取值可以大于零。
（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和12
100%14.583+≤∞
，所以最优解不变。 （4）因为
1565
100309.189111.2515
+>--%，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价格
是否有变化。
第4章线性规划在工商管理中的应用
1．解：
为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1 各种下料方式
min =1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14
s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350
x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：
x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333
最优值为300。
2．解：
（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)
s.t．x1＋1≥9
x1＋x2＋1≥9
x1＋x2＋x3＋2≥9
x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3
x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3
x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3
x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6
x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12
x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12
x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7
x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：
x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本
最小。
（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。
约束松弛/剩余变量对偶价格
------ ------------ ------------
1 0 ?4
2 0 0
3 2 0
4 9 0
5 0 ?4
6 5 0
7 0 0
8 0 0
9 0 ?4
10 0 0
11 0 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。
（3）设x i表示第i班上班4小时临时工人数，y j表示第j班上班3小时临时工人数。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9)
s.t．x1＋y1＋1≥9
x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9
x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9
x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3
x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3
x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3
x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6
x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12
x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12
x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7
x8＋y9＋1≥7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：
x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，
y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。
最优值为264。
具体安排如下。
在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在 15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00－19：00安排6个4小时的班。
总成本最小为264元，能比第一问节省320?264=56元。
3．解：
设xij，xij’分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij 为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以建立如下模型：
5
6
5
6
''11
11
max []i ij i ij i ij
i ij i j i j z S y C x C x H w =====---∑∑∑∑
s.t. 515''
1'
,10i6'
(1,,6)(1,,6)(1,,5;1,,6)(1,,5;1,,6,=0)0,0,0(1,,5;1,,6)0(1,,5;1,,6)i ij j i i ij j i ij ij
ij i j ij ij ij i i ij ij ij ij a x r j a x r j y d i j w w x x y i j w w k x x y i j w i j ==-??
≤=?????≤=????≤==?=++-===??≥≥≥==??≥==?∑∑其中，，?????????
4. 解：
（1）设生产A 、B 、C 三种产品的数量分别为x 1，x 2，x 3，则可建立下面的数学模型。 ma x z ＝10 x 1＋12x 2＋14x 3 s.t. x 1＋1.5x 2＋4x 3≤2 000 2x 1＋1.2x 2＋x 3≤1 000 x 1≤200 x 2≤250 x 3 ≤100
x 1，x 2，x 3≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x 1=200，x 2=250，x 3=100，最优值为6 400。即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获利最多。
（2）A 、B 、C 的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格均为0。说明A 的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B 的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C 的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C 产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。
5．解：
（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x 11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x 12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x 21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x 22，则可建立下面的数学模型。
min f =25x 11＋20x 12＋30x 21＋24x 22 s.t ． x 11＋x 12＋x 21＋x 22≥2 000 x 11＋x 12 =x 21＋x 22 x 11＋x 21≥700 x 12＋x 22≥450
x 11, x 12, x 21, x 22≥0