一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：
当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．
(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．
【解析】
【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）
①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．
【详解】
(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为CB的延长线上，a+b；
(2)①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
AD AB
CAD EAB AC AE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△CAD≌△EAB(SAS)，
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；
(3)如图1，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，
∴OA＝2，OB＝6，
∴AB＝4，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝2
AP＝22，
∴最大值为22+4；
如图2，
过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE2，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣42＝22，
∴P(2﹣2，2)．
如图3中，
根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣2，﹣2)时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为
22+4．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知
△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出
CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出
EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；
（3）EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△AGH ，连结HM ，HE ． 由（1）知△AEH ≌△AEF ，
则由勾股定理有（GH+BE ）2+BG 2=EH 2， 即（GH+BE ）2+（BM ﹣GM ）2=EH 2
又∴EF=HE ，DF=GH=GM ，BE=BM ，所以有（GH+BE ）2+（BE ﹣GH ）2=EF 2， 即2（DF 2+BE 2）=EF 2
考点：四边形综合题
3．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2
1.(2
a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌
)BDE
()2探究2：如图2，在一般的Rt
ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．
()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为
2
12
a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为
2
14a ． 【解析】 【分析】
()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论； ()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌
BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形
的性质可以得出1
BF BC 2
=
，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由
三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】
()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，
ABC DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABC ∴≌
()BDE AAS
BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=?，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()2BCD 的面积为21a 2
，
理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，
BED ACB 90∠∠∴==，
线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，
AB BD ∴=，ABD 90∠=， ABC DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABC ∴≌
()BDE AAS ，
BC DE a ∴==，
BCD 1
S
BC DE 2=?，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，
AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22
==， FAB ABF 90∠∠∴+=，
ABD 90∠=，
ABF DBE 90∠∠∴+=，
FAB EBD ∠∠∴=，
线段BD 是由线段AB 旋转得到的，
AB BD ∴=，
在AFB 和BED 中，
AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， AFB ∴≌
()BED AAS ，
1BF DE a 2
∴
==， 2BCD
1111
S
BC DE a a a 2224
=
?=??=， BCD ∴的面积为21
a 4
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
4．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF ⊥BD 交 BC 于 F ，连接 DF ，G 为 DF 中点，连接 EG ，CG . (1) 求证：EG =CG ；
(2) 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°,如图②所示,取 DF 中点 G ,连接 EG ,CG .问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3) 将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG ．
证明：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN．
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴△AMG≌△ENG．
∴ AG=EG
∴ EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立．
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明
△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;
试题解析：
解：（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴，
同理，在Rt△DEF中，，
∴CG=EG；
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；
连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，
∴△DAG≌△DCG，
∴AG=CG，
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG，
∴MG=NG，
在矩形AENM中，AM=EN.，
在Rt△AMG与Rt△ENG中，
∵AM=EN，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG，
∴AG=EG，
∴EG=CG，
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，如图所示：
由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG。
【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。
5．把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；
（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1) BH=CK;(2) 存在，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时BH 的长度为．
【解析】
（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；
（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=1
2
x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于
△ABC面积的
5
12
，代入得出方程
1
2
x2-3x+9=
5
12
×
1
2
×6×6，求出即可．
解：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：连接OC，
由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，
∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，
∴∠CGB=90°=∠KGH，
∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，
在△CGK和△BGH中
∵，
∴△CGK≌△BGH（ASA），
∴CK=BH，即BH=CK；
四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；
（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
5
12
的位置．
设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB﹣BH=6﹣x，
∴S△CHK=1
2
CH×CK=3x﹣
1
2
x2，
∴S△GHK=S四边形CKGH﹣S△CKH=9﹣（3x﹣1
2
x2）=
1
2
x2﹣3x+9，
∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的5
12
，
∴1
2
x2﹣3x+9=
5
12
×
1
2
×6×6，
解得
136
x=
236
x=（经检验，均符合题意）．
∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的5
12的位置，此时x的值为36
±．
“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目．
6．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；
（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．
【答案】（1）15°；（2）见解析．
【解析】
试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，
∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；
（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣
120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，
∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．
考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．
7．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．
（1）①依题意补全图形；
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．
【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；
（3）．
【解析】
试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，
再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．
（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．
（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离．
试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）；
②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°．
∴∠CDE=∠CED=45°．
又∵∠ADC=135°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上．
∴AE=AD+DE．
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
又∵AC=BC，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．
∴DE=2CM．
∴AE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为．
考点：作图—旋转变换．
8．如图2，边长为2的等边△ABC内接于⊙O，△ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到
△，A′C′分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为．
（1）当＝，△A′B′C′与△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合；
（2）当＝60°时（如图1），该图（）
A．是中心对称图形但不是轴对称图形
B．是轴对称图形但不是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
（3）如图2，当，△ADE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如不会变化，求出它的周长.
【答案】（1）120°；（2）C；（3）△的周长不变.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的中心角为120°可直接求解；
（2）根据题意可知，当=60°时，点A、、B、、C、为⊙O的六等分点，，所有的三角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）得到结论：周长不发生变化，连接A，根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可
得，即，再根据等弧所对的圆周角相等，得，由等角对等边的性质可得，同理，因此可求△的周长
==.
【详解】
解：（1）120°.
如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得∠O=120°；
（2）C
（3）△的周长不变；
理由如下：连接AA′，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴△的周长=．即
考点：正多边形与圆，圆周角定理