中国农业大学
2005~2006学年第 一 学期(2005.12) 概率论与数理统计(B)试题(A 卷) 课程考试试题
一. 选择题（14分,每题2分）
1． 如果 成立，则事件A 与B 互为对立.
(A)Φ=AB ； (B) S B A = ； (c) Φ=AB 且S B A = ; (D) A 与B 互不相容. 2．某人射击中靶的概率为0.75. 若射击直到中靶为止，则射击次数为3 的概率为 ． (A ) 3)75.0(； (B )2)25.0(75.0； (C )2
)75.0(25.0； (D )3)25.0(．
3．设),(Y X 的联合概率密度为：??
?<+=,
,
0;
1,
/1),(22他其y x y x f π
则X 与Y 为 的随机变量.
(A ) 独立同分布； (B )独立不同分布； (C )不独立同分布； (D )不独立不同分布.
4．总体未知参数θ的估计量θ
?是 . （A ） 随机变量; （B ） 总体; （C ） θ ; （D ） 均值.
5. 设Y X ,均服从正态分布，则协方差0),(=Y X Cov 是Y X 与相互独立的______________. （A ） 充分条件; (B) 必要条件; （C ） 充要条件; (D) 既不充分又不必要条件. 6．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则__________________. （A ）n X X X ,,,21 同分布; （B ）n X X X ,,,21 与X 同分布; （C ）n X X X ,,,21 独立同分布; （D ）n X X X ,,,21 与X 相互独立.
7. 总体X~N (a ,σ2)，期望a 未知，要检验假设0H ：σ=σ0 (σ0为已知常数)，使用统计量______________.
（A ） n
a
X /σ-; （B ）n s a
X /-; （C ）22ns σ; （D ）2
2)1(σs n -.
二、填空题（16分 每空2分）
1.设3/2)(3)(==B P A P ，A 与B 都不发生的概率是A 与B 同时发生的概率的2倍，则
=-)(B A P ．
2. 设X ~)49,(a N ，则)(X E = ; )(X D = ; )(2
X E = .
3. 设51,,X X 为来自于总体)1,0(N 的样本，则~521X X X +++ ；
25
2221X X X +++
~ .
考生诚信承诺
1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。 2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。
专业： 班级： 学号： 姓名： 成绩：
4. 从总体ξ中抽取简单随机样本n X X ,,1 ,X 是样本均值，2
S 是样本方差，a E =)(ξ,
2)(σξ=D ,则=)(X E ____________, =)(2S E _____________.
三、计算题(70分)
1．(10分)编号为1，2，3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,从中任选一台． （1） 求此台仪器正在工作的概率；
（2） 已知选到的仪器正在工作，求它编号为2的概率．
2. (9分)设随机变量X 的密度函数为:1()0.4
133
k x F x x r x
=≤
; 求: (1) k; (2) r; (3).)20(≤ 3. (18分) 设二维随机变量( X , Y )的联合密度函数为： ?? ?≤≤≤≤=. , 0, 10,10, ),(他其y x cxy y x f 试求 (1) 系数c ； (2) )(Y X P <; (3) )/(/y x f Y X ; (4) X 与Y 相互独立吗？为什么？ 4.(9分)设总体)100,72(~N X , n X X ,,1 为简单随机样本, 为使样本均值大于70 的概率不小于90%,则样本容量至少取多少(Φ(1.29)≈0.9)? 5. (12分)设总体X 的分布函数为/,x 21xe x>0 f(x)=0, x 0 θ θ-????≤? 其中0θ>是未知参数，n X X ,,1 为来自总体X 的简单随机样本， 求：(1)θ的矩估计量；(2) θ的极大似然估计量. 6．(12分)某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为 12690C 12710C 12630C 12650 C 设数据服从正态分布),(2σμN ， (1) 检验可否认为锰的熔化点的期望为12600 C ？(2) 求测定值的方差置信水平为α-1的置信区间 （α=0.05）. 注： 1318.2)4( ,7764.2)4( ,3534.2)3( ,1824.3)3(05.0025.005.0025.0====t t t t ， ,348.9)3(2025.0=χ ,815.7)3(205.0=χ ,143.11)4(2025.0=χ ,488.9)4(2 05.0=χ ,216.0)3(2975.0=χ ,352.0)3(295.0=χ ,484.0)4(2975.0=χ 711.0)4(295.0=χ. 概率论与数理统计（B ）试题答案（A 卷） 一、1.C 2.B 3.C 4. A 5. B 6.D 7.D 二、1. 95 2.a ; 49; 49+2a ； 3.)5,0(N ;)5(2χ ； 4. 2 ,σa . 三、1．解：设{} 台正在工作从三台仪器中任选的一 =A ， {}）（所选仪器编号为3,2,1==i i B i (1) )()|()()|()()|()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++= = 7 .031 4.0318.0319.0=?+?+? (2) 21 87.031 8.0) ()|() ()|()|(3 1 222=?= = ∑=i i i B P B A P B P B A P A B P 2.解：(1) 0)(=-∞F 0=∴k (2) 1)(=+∞F 1=∴r (3) 4.004.0)0()2()20(=-=-=≤ ? ? +∞∞-+∞ ∞ -=1 ),(dxdy y x f ??=101 01cxydxdy 即141 =c 4=∴c (2) ??= dxdy y x f Y X P ),()( ({}x y y x G >|,）（为 )??= =1 10 21 4x xydy dx (3) ?? ?≤≤≤≤=其它， 01010 ,4),(y x xy y x f - ?????≤≤===∴??∞+∞ -其它 010 .24),()(1 y y xydx dx y x f y f Y ?? ?≤≤==≤≤∴其它时， 01 0 2)(),()|(10|x x y f y x f y x f y Y Y X (4) ???≤≤=∴其它 010 2)(x x x f X ?? ?≤≤=其它 01 0 2)(y y y f Y )()(),(y f x f y x f Y X ?=∴ 所以Y X ,相互独立 4.解 设样本容量为 n ，则)/100.72(~n N X )2.0()/107270( 1)70(9.0n n X P Φ=-Φ-=>≤∴ 29.12.0,9.029.1 ≥≈Φn 得）（因为 所以6025.41≥n 样本容量至少取42 5.解：矩估计：θθ θ21 )(20 2 ==-+∞ ? dx e x X E x ； X 21 ?= θ . 极大似然估计 极大似然函数为 θ θ θθθ∑∏= ∏ ==- =-=n i i i x i n i n x i n i e x e x L 1 )(1 1 )(1 2/2 1 ； 取对数， ∑==- ∏+-=n i i i n i x x n LnL 1 1 1 ln ln 2)(θ θθ； 求导数，并令其等于0， ∑=+-=n i i x n d L d 1 2 1 2)(ln θθθθ=0； 有 X x n n i i 2121?1==∑=θ. 6．解：(1) 设C H 001260:=μ； C H 0 11260:≠μ 由已知计算 7 .144/3 4012601267/0=-= -n S X μ=3.83 - 而 )3(X 1824.3)3(025.00 025.0t n S t >-∴ =μ C H 0 01260 望不为即认为锰的溶化点的期拒绝∴ (2) ） ）（的置信区间为（) 1()1(;)1(1 22 12 22 22 ----- n S n n S n ααχχσ 即（0.2163 40 3 , 348.93403?? ）=（4.278,185.185） 中国农业大学 2008 ~2009 学年春季学期 概率论与数理统计（C ） 课程考试试题（A ） 一、 填空 (每题4分, 共20分) 1、设事件A 、B 相互独立，P(A)=0.1, P(B) = 0.6, 则P(AB)=_______, P(A ?B)= _________, _________ )(, __________)(=?=B A P B A P 。 2、加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分 别是2% , 3% , 5% ,假定各道工序是互不影响的, 则加工出来的零 件的次品率为_________; 在前两道工序都是正品的条件下第三道 工序也是正品的概率为___________。 3、设随机变量X 的概率密度为 f(x)= 1 , 01,11 2 >≤-x x x π 则F(x)= ， E(X)= __________。 ____________________ 4、设随机变量X 服从参数为θ的指数分布，则Y=X 3 的概率密度为 ________________________； D(X) = _____________。 5、设有N 个产品,其中有M 个次品, 进行放回抽样, 定义X i 如下: X i = 1, 当第i 次取到次品 0, 当第i 次取到正品 则X i ~ _______________, 样本(X 1, X 2, …X 10 )的分布(即联合分布律)为________________。 二、单项选择填空题(每题2分, 共10分) 1、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 恰好有一个发生是（ ） a 、ABC ; b 、C B A ??； c 、C B A C B A C B A ??; d 、C AB C B A BC A ?? 2、设二维随机变量(X,Y)是G: x 2 +y 2 ≤R 2 上的均匀分布,其概率密度 是 f(x,y)= C , x 2 +y 2 ≤R 2 0 , 其它 则C 的值为( ) a 、πR 2 ; b 、2πR ； c 、2 1R π； d 、R π21。 3、设随机变量X ~ t(n) (n>1) , Y= 21 X , 则Y~ ( ) a 、χ2 (n) ; b 、χ2 (n-1) ; c 、F(n,1) ； d 、F(1,n) 4、人的体重为随机变量ξ, E(ξ)=a , D(ξ)= b. 10个人的平均体重记 为η, 则( )正确。 a 、E(η)= a ； b 、E(η)= 0.1a ； c 、D(η)=0.01b ； d 、D(η)=b 。 5、设X i ~ N(0 , 4), i=1,2,3, 且相互独立, 则( )成立. a 、 );1,0(~41 N X b 、)1,0(~8 32N X X +; c 、)8,0(~321N X X X ++； d 、X 1+X 2 –X 3 ~N(0, 4)。 三、设甲盒中装有3只黑球2只白球, 乙盒中装有2只黑球4只白球, (1)从甲盒中任取两球, 求至少取到一只白球的概率; (2)从两盒中任取一盒,然后从该盒中任取一球, 求恰好取到白球概率; (3)独立地分别在两盒中各取一球, 求恰好取到一只黑球一只白球的概率。 (15分) 四、有一大批产品,其验收方案如下. 先作第一次检验:从中任取10件, 经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验, 其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受这批产品. 若产 品的次品率为10% ,求下列事件的概率: (1) 这批产品经第一次检验就能接受; (2) 需作第二次检验; (3) 这批产品按第二次检验的标准被接受; (4) 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被接受; (5) 这批产品被接受。 (15分) 五、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为 4.8y(2-x) , 0 ≤ x ≤1, 0≤ y ≤ x f(x,y) = 0, 其它 （1）求 f X (x) , f Y (y) ; (2) 问X 与Y 是否相互独立? (10分) 六、设X 1,X 2, …X n 是来自参数为λ的泊松总体的一个样本,求: (1) λ的矩估计量; (2) λ的最大似然估计量。 （10分） 七、设总体X~N(μ1,σ2), 总体Y~(μ2,σ2), X 1,X 2,…X n1 为来自总体X 的样本,Y 1,Y 2,…,Y n2 为来自总体Y 的样本, (1) 求参数μ1- μ2 的一个无偏估计量; (2) 证明:])()([2121 12 212 2 1Y Y X X n n S n i i n i i W -+--+=∑∑==是σ2的无偏估计。 （10分） 八、正常人的脉博平均为72次/分，某医生测得10例慢性四乙基铅 中毒患者的脉搏（次/分）均值为67.4，方差为35.16，已知脉搏服从正态分布, (1) 求总体方差σ2的置信区间 (α=0.1) ; (2) 在显著性水平α=0.05下, 四乙基铅中毒患者和正常人的脉搏 有无显著差异? 参考数据：t 0.05(10)=1.8125, t 0.05(9)=1.8331, t 0.025(9)=2.2622, t 0.025(10)=2.2281, χ20.05(10)=18.307, χ20.05(9)=16.919 χ20.1(9)=14.684, χ20.95(9)=3.325, χ20.9( 9)=4.168, χ20.95(10)=3.94 （10分） 2008~2009学年春季概率统计C 试卷A 参考答案 一、1. 0.06，0.64，0.36，0.94； 2. 1-(1-p1）（1-p2）（1-p3），1-p3； 3. x<-1, F(x)=0; -1≤x<1,F(x)=1/π(arcsinx+π/2); x ≥1,F(x)=1, 0; 4. f(x)= 0, 313 21 3 1>--y y e y ?? 5. (0-1) , ∑-∑==- 10 1101 10)1() (I I I I X X N M N M 0, y ≤ 0 二、 c 、 c 、 c 、 a 、 b 三、（1）p 1= 1-P(全黑)=107 1031125 2 3=-=-c c -------------------- 5分 （2）p 2= P(白球)=45 16 6 4215221= ?+? ---------------------- 10分 (3）p 3=P(甲黑乙白?甲白乙黑)=15 8 62526453=?+? ----------- 15分 四、解：设X 为第一次检验的次品数，X~b(10, 0.1), Y 为第二次检验的次品数，Y~b(5, 0.1), (1) p 1=P(X=0) = (0.9)10 = 0.349 ---------------------- 3分 (2) p 2=P(X=1)+P(X=2)=110C 0.1?0.99+2 10C 0.12?0.98=0.581 ------ 6分 (3) p 3=P(Y=0)= 0.95=0.59 -------------------------- 9分 (4) p 4= p 2 ? p 3 = 0.581? 0.59 = 0.343 ------------------------ 12分 (5) p 5= p 1+ p 4 = 0.349 + 0.343 = 0.692 ----------------------- 15分 五、(1)=)(x f X 10)2(4.2)2(8.40 2≤≤-=-? x x x dy x y x 0, 其它 ------- 4分 f Y (y)= 10)43(4.2)2(8.41 2≤≤+-=-? y y y y dx x y y 0 其它 --------- 8分 (2) 因在区域 0≤x ≤1, 0≤y ≤x 上, f(x,y) = 4.8y(2-x) ≠ f X (x)f Y (y) =2.42x 2y(2-x)(3-4y+y 2) 故 X 与Y 不独立。 -----------------10分 六、(1) 因 μ1 =λ , X =1?μ ,所以λ的矩估计 X =λ? -----------3分 (2)∏∏ =-=-∑= ==n i i n x n i i x x e x e L n i i i 1 1 ! ! )(1 λ λ λ λλ , -------------6分 ∑∑==--=n i i n i i x n x L 1 1 !ln ln )(ln λλ ------------- 8分 X n x d L d n i i =?=-=∑=λ λ λ ?0 ln 1 ------------------10分 七、(1)因21)(μμ-=-Y X E , 所以Y X -是μ1- μ2 的无偏估计 ----- 4分 (2) ]1)1()1([)(212 2 22112 -+-+-=n n S n S n E S E W ------------------6分 =2 ) ()1()()1(212 22211-+-+-n n S E n S E n ----------------------- 8分 = 2212 2212 )1()1(σσσ=-+-+-n n n n ------------------------10分 八、(1) )325 .336 9, 919.1636 9()) 1()1(, ) 1()1((22 1222 2 ??=-----n S n n S n ααχχ = (19.15, 97.44) ------------------4分 (2) H 0: μ = 67.4 ; H 1: μ ≠ 67.4 用t 检验法 ------------ 6分 S=6 , 因 )9(2622.2424.210 /6724.67/025.00t n S X =>=-= -μ 所以拒绝H 0, 认为患者与正常人的脉搏有显著差异。- 中国农业大学 2008 ~2009 学年秋季学期 概率论与数理统计（Ｃ）课程考试试题（A ） 一、 填空题(每题3分, 共30分) 1、设A 、B 是两随机事件,且P(A)=0.6, P(B)=0.7,则在条件( ) 下P(AB)取到最大值( );在条件( )下, P(AB)取到最小值( )。 2、 在15只同类型的产品中有2只次品，从中取3次,每次取一只作 不放回抽样，则恰好取到2只次品的概率为（ ）。 3、设随机变量X 服从参数3 1=θ的指数分布, 则F(1) =( )。 4、若随机变量X 与Y 相互独立同分布,都服从N(μ, σ2), Z 1= αX +βY , Z 2= αX - βY , 则Cov(Z 1, Z 2) = ( )。 5、设随机变量X 的密度函数 f (x ) = π π><≤≤x x x x ,0, 0,0, sin 2 1 则m =( ) 时, P( X < m ) = P( X > m )。 6、设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布, 且E[(X -1)(X -2)]=1, 则 λ =( )。 7、设X 1, X 2, X 3相互独立,都服从b(1, 0.5), X =X 1+X 2+X 3, 则P(X >1) =( )。 8、已知X 1, X 2, ? , X n 独立同分布,且)(~2212 n X n i i χ∑=?? ? ??,则X i ~ ( )。 9、设总体X ~ N(0,1) , X 1, X 2, ? , X n 为X 的一个简单随机样本,则 24 23 21X X X X +- ~ ( )。 10、设X 1, X 2, ? , X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个简单随机样本，则 （X 1,X 2, ? ,X n ）的分布律为（ ）。 二、判断题 (每题2分共10分,正确的打“∨”,错误的打“?”) 1、如果)(~),(~22221221n n χχχχ，则)(~2122 221n n ++χχχ。 （ ） 2、设X 1, X 2, ? , X n 为X 的一个简单随机样本,那么样本二阶 中心矩B 2=21 )(1X X n n i i -∑=不是总体方差D(X ) 的无偏估计。 （ ） 3、在假设检验中,犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的 概率β之和一定等于1。 ( ) 4、D(X ) = 0的充分必要条件是 X = C 。 ( ) 5、两随机变量X 与Y 的相关系数 ρxy = 0时, X 与Y 不一定 相互独立。 ( ) 三、假设某地区位于甲、乙两河流汇合处,当任一河流泛滥时,该地区就 遭遇水灾。设某时期甲河流泛滥的概率为0.1, 乙河流泛滥的概率为 0.2, 当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3, 求: (1) 某时期内该地区遭受水灾的概率; (2) 乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。 （10分） 四、设随机变量X 的概率密度为 f (x ) = , 00 , ≤>-x x e x λ 求: (1) λ值 ; (2) D(2X - 1) ; (3) Y =X 2 的概率密度。 (10分) 五、设二维随机变量（X ,Y ）的概率密度为 ,)(2 1 )(y x e y x +-+ x>0, y>0 f (x , y ) = 0, 其它 (1) 问X 与Y 是否相互独立； (2) 求 F X ( x ) 。 （10分） 六、设总体X 的概率密度为 10, )1(<<+x x a a f (x ) = 0, 其它 求：(1) 参数 a 的矩估计量；(2) 参数 a 的最大似然估计量。 (15分) 七、要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中 随机抽取25件，测得其平均寿命值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布, 求: （1）μ的置信水平为0.95的置信区间； （2）在显著性水平 α = 0.05 下确定这批元件是否合格? 即检验假设 H 0：μ ≥1000； H 1：μ <1000 参考数据：t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(25)=1.7081, t 0.025(24)=2.0639 t 0.025(25)=2.0595 , z 0.025 =1.96, z 0.05=1.645 （10分） 八、设X 1, X 2, ? , X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，E(X )=μ , D(X )= σ2 ,2 1 2 )(11X X n S n i i --=∑=, 试证明: 221)(S n X - 是 μ2 的无偏估计。(5分) 2008~2009学年秋季概率统计C 试卷A 参考答案 一、1. B ?A, 0.6, A ?B=S, 0.3 ； 2. 35 1 ； 3、1-e -3 ； 4. （α2- β2）σ2 ; 5. 2 π ; 6. 1 ; 7. 21 , 8. N( 0, 4) ; 9. t(2) ; 10. ! 1 1 i n i n x x e n i i =-∏∑=λ λ . 二、 ? ∨ ? ? ∨ 三、设A ：“甲河泛滥”, B:“乙河泛滥”, C: “该地区遭受水灾”, A 、B 相容不独立. (1) P(C) = P(A ?B) = P(A)+P(B)- P(A)P(B/A) = 0.1+0.2 - 0.1?0.3 = 0.27 (2)P(A/B) =15.02 .03 .01.0)()/()(=?=B P A B P A P , 四、解：(1) 因X 服从指数分布, 故λ =1 (2) D(2X-1) = 4D(X) = 4 (3) Y=X 2 在( 0, +∞ ) 单调, y x y x y 21,= '= y> 0, f Y (y) = y e y - 21 ; y ≤ 0 , f Y (y)=0 五、(1) ? ? ?∞ +--∞ +--+-∞ ++ =+=>0 )(0 2 2 2)(,0dy ye e dy e xe dy e y x x f x y x y x y x X x x x e x e xe ---+=Γ+Γ=2 1)2(2)1(2 x ≤ 0 , f X (x) = 0 类似有 y > 0, 0)(,0,2 1)(=≤+= -y f y e y y f Y y Y 因x>0, y>0 时, f(x,y) ≠f X (x)f Y (y) , 所以X 与Y 不独立。 (2) x ≤ 0 , F X (x) = 0 , x > 0, F X (x) = )22(2 1)2(212100 x x x t t t x e xe e te dt e t -------=--=+? 六、（1）因21 0121)1()(++++= +=?a a x a a dx x a X E ?2 1 10++=a a 又 ,)(?X x E = X a a =++? 2?1? , 所以 X X a --=11 2? （2）0 i n a i n i x a x a a L )()1()1()(1 1 ==∏+=+∏= )ln()1ln()(ln 1 i n i x a a n a L =∏++= )1ln (?, 0)ln(1 )(ln 1 1+-=?=∏++=∑==n i i i n i x n a x a n da a L d . 七、(1) 所求置信区间为: 2.3995025 10096.1950025 .0±=? ±=±n z X σ =（910.8 , 989.2） (2) 用Z 检验法，因 645.15.225 /1001000950-<-=-= z ， 故拒绝H 0, 认为这批元件不合格。 八、证: 因 )(1)(]1)[(2222S E n X E S n X E -=- =222 22 )(1)()(μσμσ=-+= -+n n X D n X E X D 所以2 2 1)(S n X - 是μ2的无偏估计。 中国农业大学 2009 ~2010 学年春季学期 概率论与数理统计（C ）课程考试试题(A) 一、选择题（15分） 1、设事件,A B 的概率均大于零小于1，且,A B 相互独立，则（ ） （A ）,A B 互不相容 （B ）,A B 一定相容 （C ）,A B 互不相容 （D ）,A B 互不相容 2、设()x ?为连续型随机变量X 的密度函数，()F x 为它的分布函数，则（ ） （A ）0()1x ?≤≤ （B ）()()P X x x ?== （C ）()()P X x F x =≤ （D ）'()()P X x F x == 3、设k 在[0,5]上服从均匀分布，则方程24420x kx k +++=有实根的概率为（ ） （A ）35 （B ）25 （C ）1 5 （D ）1 4、设有二维随机变量(,)X Y ，已知()9,()4D X D Y ==，,X Y 的相关系数为1 3 XY ρ= ，则()D X Y -=（ ） （A ）15 （B ）9 （C ）13 （D ）5 5、设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布，都服从正态分布(1,1),N 且4 21[4]i i k X =-∑服从2χ分布， 则常数k 和2χ分布的自由度n 分别为（ ） （A ）1,14k n == （B ）1,12k n == （C ）1,44k n == （D ）1 ,42 k n == 二、填空题（15分） 1、甲乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为11 ,,32 则目标被击中的概率为 。 2、设(4,9),X N 确定常数c 使得{}{},P X c P X c >=≤则c = 。 考生诚信承诺 3． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。 4． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。 学院： 班级： 学号： 姓名： 3、设随机变量12,X X 独立同分布 i X 0 1 P 12 12 则随机变量12min{,}Y X X =的概率分布为 。 4、设总体2(,)X N μσ，μ未知，12,,n X X X 是来自总体X 的样本，则μ的极大似然估计 量为 。 5、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为(),01,0(,)0, x y be x y f x y -+?<<<<+∞ =??其它， 则常数b = 。 三、某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个， 废品率为0.05。 求：(1) 任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2) 若将所有产品开箱混放，任取一个为废品的概率。 (10分) 四、 某种电子管的寿命X （小时）的概率密度为 2100 ,100()0,100x f x x x ?>? =??≤? 一台仪器装有三个这种电子管，（假设三个电子管的寿命是相互独立的） （1） 求在最初使用的150小时内，三个电子管都未被替换的概率； （2）求在最初使用的150小时内，恰有一个电子管被替换的概率。（10分） 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下： 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 《概率论与数理统计》作业集及答案概率论与数理统计期末复习资料(学生)
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
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