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线性代数

复习

1

第一章行列式

基本要求:

1)了解行列式的定义和性质。

2)掌握三阶,四阶行列式的计算方法,会计算简单的n 阶行列式。3)掌握克莱姆法则。行列

三阶行列二阶行列

2

3

一、全排列及逆序数

的逆序数

求排列:

例 1 2 )("1?n n 211210)

()()(?×=

?+?+++=n n n n t "解:二、n 阶行列式的定义

n

np p p a a a

t D "221

11∑

?=

)(n

q q q n a a a

s D "21

211∑

?=

)(n

n p q p q p q a a a

s t D "221

11∑

+?=

)(

4

四、行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行(或两列),行列式变号。性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同

一数k,等于用数k 乘以此行列式。

性质4行列中如果有两行(列)元素成比例,则此行列为0。

性质5行列式的加法:

n

np i ip i ip p a b a a

t D "")()(+?=∑

1

11性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数,然后

加到另一行(列)对应的元素上去,行列式值不变。

推论:若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。

5

2. 行列式按行(列)展开

的各元素与其

列行列式等于它的任一行)(

数余子式乘积之和。对应的代),,,( n i A a A a A a D in in i i i i ""212211=+++=即:)

,,,( n j A a A a A a D nj nj j j j j ""212211=+++=或|

| || O

B A B

C A =

6

六、克莱姆法则

.克莱姆法则一D

D x D D x D D x n n =

== , , ,"2

211行列式:

范德蒙∏≥>≥????=

=

1

112

11

222

2

1

)

(1112

1

j i n j i n n

n n n

n x x x x x x x x x x x D n

"

""

""""""""""

"Dn 的具体表达

第二章矩阵及其运算

?理解矩阵的概念。

?了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,以及他们的性质

?掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律,了解方阵的幂,方阵乘积的行列式。

?理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求矩阵的逆。

?了解分块矩阵及其运算。

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第三章矩阵的初等变换

与线性方程组

?矩阵的初等变换

?矩阵的秩

?线性方程组的解

?变换矩阵

8

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三种初等行(列)变换:

(1)对调两行(列)r i ←→r j (c i ←→c j );(2)用非零数k 乘某行(列)r i ×k (c i ×k);(3)某行(列)乘k 加到另一行(列) r i +kr j (c i +kc j )。行最简形矩阵:非零行的第一个非零元为1 同时其所在的列的其它元素都为零。

矩阵的标准形:

n

m r E F ×????

??=00

0?????????????

????00000310003011040101 ??????

??????

????→?00

000

0010000010

00001

列变换

10

).

,()( 3b A R A R b Ax n =?=有解元非齐次线性方程组定理.

n b ,A R B R A R .一量,由克莱姆法则解唯知时,方程组没有自由未当注===)()()( 1:.

,,,,,,,)()( 2. 2121个解所以此时方程有无穷多,的解,它们可任意取值个参数:可得含令它们分别为个自由未知量,

时,方程组有当r n r n c c c r n c c c r n n r B R A R ????<=="".

)( n A R O Ax n

,,,.321的解称为方程组的通解个参数含r n c c c r n ??".

,),(.4 来从而写出方程组的通解化为行最简形可将增广矩阵在方程组有解的情形下b A 定理1 若A ~ B , 则R(A) = R(B)

第四章向量组的线性相关性

z理解n维向量的概念、向量的线性组合和线性表示。z理解向量组线性相关、线性无关的概念,了解有关

向量组线性相关、线性无关的重要结论。

z了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。

z了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵秩

的关系。

z了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等

概念。

z理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念。

z理解非齐次线性方程组的结构及通解的概念。

11

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定理1是矩阵线性表示向量组能由向量?m A b ααα""21,:()()的秩。的秩等于矩阵b B A m m ,,,2121αααααα""""==定理2)

,,,(,,,2121m m A αααααα""=?矩阵线性相关向量组m

A R m A R m =?<)(,,,;)(21线性无关的秩ααα"第四章重要结论

定理3.1也线性相关

线性相关若111,,,:,,:+?m m m B A ααααα""2.3定理),,2,1(,,1

1m j j a a

a a a r rj j

j rj ij j "##=??????

????????=

????

??????=+βα设也线性无关

线性无关若向量组m m B A ββαα,,:,,:11""?

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第四章重要结论

3.3定理时必线性相关

当维向量组成的向量组个m n n m <,定理3.4b

B A m m ,,,,:,,,:2121αααααα""线性无关设向量组且表示式唯一线性表示可由则线性相关,,,,,21m b ααα"4定理也等于其行向量组的秩

组的秩矩阵的秩等于其列向量,6定理是一个向量空间,当

全体解所构成的集合S O x A n m =×。

的维数是解空间时其系数矩阵的秩r n S r A R n m ?=×,)(定理5).

()(A R B R A B ≤?线性表示能由向量组设向量组

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求解空间基的方法;

的证明方法给出了一种上述定理注:6 .1.

2.解空间的基不唯一r A R O Ax S ==)(, .在的基础解系的基也称为方程组解空间3;

,,:构成的向量组,个解向量时它是由r n r n ??ξξξ"21},

{,,)(O S O Ax n A R ===即此时只有零解时当.

因而没有基础解系称是其基础解系时,即有非零解当,,,, .r n O Ax ?=ξξξ"214)

,,, ,(r n i R k k k k x i r n r n ?=∈++=??""212211ξξξ空间可表示为:

为方程的通解,此时解{}

r n i R k k k k x S i r n r n ?=∈++==??,,, ,""212211ξξξ.

.系;通解的区别注意:解空间;基础解5

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