2001年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定解答：
解：∵==，
∴a+b+c=，
∴a=0，b=1，c=1，
2a+999b+1001c=2000．
故选B．
2．（7分）若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则的值是（）
．B．C．
﹣D．
﹣
解答：解：∵5a2+2002a+9=0，
则5++=0，
∴9（）2+2002（）+5=0，
又9b2+2002b+5=0，
而≠b，
故，b为方程9x2+2002x+5=0的两根，
故两根之积==．
∴=
故选A．
3．（7分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）
．B．C．
∴AC=AD，
又∵∠ABC=∠BAD=15°
∴BD=AD，
∵BC=1，
∴AD+DC=1，
设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），
∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，
解得：x=﹣3+2，
∴AC=（4﹣2）
=2﹣
故选B．
4．（7分）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）
2
故选B．
5．（7分）①在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0的根为；
②在△ABC中，若AC2+BC2＞AB2，则△ABC是锐角三角形；
③在△ABC和△AB1C1中，a、b、c分别为△ABC的三边，a1、b1、c1分别为△AB1C1的三边，若a＞a1，b＞b1，c＞c1，则△ABC的面积大S于△AB1C1的面积S1．
以上三个命题中，真命题的个数是（）
6．（7分）某商场对顾客实行优惠，规定：
（1）如一次购物不超过200元，则不予折扣；
（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
（3）如一次购物超过500元的，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）
二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）
7．（7分）已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（1，1+）或（﹣1，1+）．
解答：解：如图，PQ与y轴正方向的夹角是30°，设Q坐标（x，y），
x=QH=2×sin30°=1；y=OH=2×cos30°+1=1+，
解得Q坐标为（1，1+），
由于坐标的对称性在第二象限也有一个点满足要求，
纵坐标相等，横坐标互为相反数，Q坐标为（﹣1，1+），
故答案为：（1，1+）或（﹣1，1+）．
8．（7分）已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．
∴DP==，
∴PT=1+=．
故答案为：．
分）已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x y+xy=120，则x+y= 34 ．
解答：解：由xy+x+y=23，x2y+xy2=120，得xy，x+y是关于t的一元二次方程t2﹣23t+120=0的两根，解得t=8或15，
∴或（舍去）
∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=82﹣2×15=34．
三、解答题（共7小题，满分70分）
11．（10分）在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线y=ax+b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F．试求a，b的值使得AD2+BE2+CF2达到最小值．
解：由题意可得：D（0，b），E（1，a+b），F（2，2a+b），
∴AD2+BE2+CF2=（b﹣1）2+（a+b﹣3）2+（2a+b﹣6）2，
=（b﹣1）2+[（a﹣3）+b]2+[2（a﹣3）+b]2，
=3b2﹣2b+1+5（a﹣3）2+6（a﹣3）b，
=5[a﹣3+（）]2+b2﹣2b+1，
=5[a﹣3+（）]2+（b﹣）2+，
∴a﹣3+=0，b﹣=0．
解得a=，b=时，有最小值为．
12．（10分）（1）证明：若x取任意整数时，二次函数y=ax+bx+c总取整数值，那么2a、a﹣b、c都是整数．
（2）写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．
当x=﹣1时，y﹣1=a﹣b+c为整数，于是a﹣b=y﹣1﹣y0为整数；
当x=﹣2时，y﹣2=4a﹣2b+c为整数，
于是2a=y﹣2﹣2y﹣1+y0为整数，于是，2a、a﹣b、c都是整数；
（2）所求的逆命题为：2a、a﹣b、c都是整数，那么x取任意整数时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值，这是一个真命题．
证明：若c，a﹣b，2a都是整数，y=ax2+bx+c=ax（x+1）﹣（a﹣b）x+c，
当x为整数时，x（x+1）是偶数，
故x（x+1）必是整数，
由2a是整数得2a×x（x+1）是整数，
又有a﹣b，c是整数得﹣（a﹣b）x+c是整数，
因此，当x取任意整数时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值．
13．（10分）如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．
（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．
14．（10分）求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程x﹣3ax+2b=0，x﹣3bx+2c=0，x﹣3cx+2a=0的所有的根都是正整数．
解答：解：x2﹣3ax+2b=0可知a，
△=（﹣3a）2﹣4×2b=9a2﹣8b≥0，
因为x是整数，所以设9a2﹣8b=s2，
（3a+s）×（3a﹣s）=8b=1×8b=2×4b=4×2b=8×b，
讨论：（1）、（3a+s）×（3a﹣s）=1×8b，
3a+s=1 ①，
3a﹣s=8b ②，
①+②得 6a=1+8b，
同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，
∴a+b+c=＜0（不符合已知条件），
（2）、（3a+s）×（3a﹣s）=8b*1，
3a+s=8b ①，
3a﹣s=1 ②，
①+②得 6a=1+8b，
同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，
∴a+b+c=＜0（不符合已知条件），
（3）、（3a+s）×（3a﹣s）=2×4b，
（3a+s）=4b ①，
（3a﹣s）=2 ②，
①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，
同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，
解得 a=b=c=1，x=1，2，
（4）、（3a+s）×（3a﹣s）=2×4b，
（3a+s）=2 ①，
（3a﹣s）=4b ②，
①+②得 6a=2+4b，即3a=1+2b，
同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，
解得a=b=c=1，x=1，2，
（5）、（3a+s）×（3a﹣s）=4×2b，
3a+s=4 ①，
3a﹣s=2b ②，
①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，
同理可得 3b=2+c，3c=2+a，
解得 a=b=c=1，x=1，2，
（6）、（3a+s）×（3a﹣s）=4×2b，
3a+s=2b ①，
3a﹣s=4 ②，
①+②得 6a=4+2b，即3a=2+b，
同理可得 3b=2+c，3c=2+a，
解得 a=b=c=1，x=1，2；
（7）、（3a+s）×（3a﹣s）=8×b，
3a+s=8 ①，
3a﹣s=b ②，
①+②得 6a=8+b，
同理可得 6b=8+c，6c=8+a，
∴a+b+c=，可见a、b、c至少一个不是整数，不符合已知条件；
（8）、（3a+s）×（3a﹣s）=8×b，
3a+s=b ①，
3a﹣s=8 ②，
①+②得 6a=8+b，
同理可得 6b=8+c，6c=8+a，
∴a+b+c=，可见a、b、c至少一个不是整数，不符合已知条件；
答：当a=b=c=1时，x=1或2．
15．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM?PN=PR?PS．
解答：证明：∵直线l平行于BD，
∴==，得=①，
==，得=②，
由①②得=，即PM?PN=PR?PS．